← Guías de Matemáticas 3.º ESO
UNIDAD 10
Geometría plana: Pitágoras, Tales, áreas y trigonometría básica
Mediatriz, bisectriz y lugares geométricos
- RepasoRecuerda: mediatriz y bisectriz con regla y compásAl terminar, sabrás trazar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo con regla y compás y comprobar con medidas su propiedad de equidistancia.
- AmpliaciónAmpliación: lugares geométricos en situaciones realesAl terminar, sabrás describir la mediatriz, la bisectriz, la circunferencia y las paralelas a una recta como lugares geométricos y usarlos para localizar puntos que cumplen varias condiciones en situaciones reales.
- Problemas con lugares geométricos: circuncentro, incentro y varias condicionesAl terminar, sabrás resolver problemas en los que un punto debe cumplir varias condiciones cortando lugares geométricos (mediatriz, bisectriz, circunferencia, paralelas), localizar el circuncentro y el incentro y justificar por qué la mediatriz es el lugar de los puntos que equidistan de los extremos.
Posiciones relativas de rectas y circunferencias
- RepasoRecuerda: punto, recta, semirrecta, segmento y planoAl terminar, sabrás identificar puntos, rectas, semirrectas, segmentos y planos en dibujos y objetos cotidianos y nombrarlos con su notación.
- AmpliaciónAmpliación: posiciones relativas de dos rectasAl terminar, sabrás clasificar dos rectas del plano en secantes, perpendiculares, paralelas o coincidentes y trazar paralelas y perpendiculares por un punto con escuadra y cartabón.
- AmpliaciónAmpliación: rectas y planos en el espacioAl terminar, sabrás describir las posiciones de rectas y planos en objetos del espacio (aristas y caras de un cubo: paralelas, secantes o que se cruzan) y justificar afirmaciones sobre ellas.
- Punto y recta respecto a una circunferenciaAl terminar, sabrás clasificar la posición de un punto (interior, sobre, exterior) y de una recta (exterior, tangente, secante) respecto a una circunferencia comparando su distancia al centro con el radio.
- Tangentes y posiciones de dos circunferenciasAl terminar, sabrás usar que la tangente es perpendicular al radio para trazar y medir tangentes, y clasificar dos circunferencias según la distancia entre sus centros y sus radios.
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
- RepasoRecuerda: el teorema de Pitágoras, diagonales y alturasAl terminar, sabrás aplicar el teorema de Pitágoras para calcular diagonales de rectángulos y cuadrados y alturas de triángulos isósceles y equiláteros.
- AmpliaciónAmpliación: Pitágoras en polígonos: apotemas, trapecios y rombosAl terminar, sabrás calcular apotemas de polígonos regulares (sobre todo del hexágono) y lados y alturas de trapecios y rombos con el teorema de Pitágoras.
- AmpliaciónAmpliación: Pitágoras en situaciones reales: escaleras, pantallas y rampasAl terminar, sabrás resolver problemas de contexto (escaleras, pantallas, rampas, cables) eligiendo el triángulo rectángulo adecuado y aplicando el teorema de Pitágoras.
- Problemas encadenados con Pitágoras: cuerdas, tangentes y figuras inscritasAl terminar, sabrás resolver problemas que encadenan varios triángulos rectángulos o que exigen plantear una ecuación con el teorema de Pitágoras: distancias a cuerdas, tangentes y figuras inscritas en una circunferencia.
Pitágoras en el espacio
- RepasoRecuerda: la diagonal del ortoedro y del cuboAl terminar, sabrás calcular la diagonal de un ortoedro y de un cubo aplicando el teorema de Pitágoras dos veces y usarla para saber si un objeto cabe en una caja.
- Pitágoras en pirámides y conosAl terminar, sabrás relacionar la altura, la apotema y la arista lateral de una pirámide regular, y la altura, el radio y la generatriz de un cono, usando los triángulos rectángulos que hay en ellos.
- AmpliaciónAmpliación: troncos y recorridos mínimos sobre superficiesAl terminar, sabrás resolver problemas de distancias en el espacio identificando el triángulo rectángulo adecuado: troncos de pirámide y de cono, y recorridos mínimos sobre la superficie de un cuerpo mediante su desarrollo plano.
Igualdad de triángulos
- Triángulos iguales: criterios LLL, LAL y ALAAl terminar, sabrás comprobar si dos triángulos son iguales (superponiéndolos o con los criterios LLL, LAL y ALA), qué vértices y lados se corresponden y qué criterio se aplica en cada caso.
- Aplicar la igualdad de triángulos para deducir medidasAl terminar, sabrás encontrar triángulos iguales dentro de una figura, justificar con qué criterio lo son y usarlo para deducir longitudes y ángulos que no se pueden medir directamente.
- AmpliaciónDemostrar propiedades con triángulos iguales (ampliación)Al terminar, sabrás demostrar propiedades de figuras conocidas (triángulo isósceles, mediatriz, paralelogramo) buscando triángulos iguales y justificando cada paso.
Teorema de Tales y semejanza de triángulos
- RepasoRecuerda: el teorema de TalesAl terminar, sabrás aplicar el teorema de Tales para calcular un segmento desconocido cuando varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, y comprobar con él si una recta es paralela a otras dos.
- AmpliaciónTriángulos en posición de Tales y división de un segmento (ampliación)Al terminar, sabrás reconocer dos triángulos en posición de Tales, calcular lados con la proporción entre ellos y dividir un segmento en partes iguales o proporcionales con regla y compás.
- Problemas del teorema de Tales: ecuaciones y recíprocoAl terminar, sabrás plantear y resolver ecuaciones a partir del teorema de Tales cuando la incógnita aparece en varios segmentos, y usar el recíproco de Tales para justificar si dos rectas son paralelas.
- RepasoRecuerda: criterios de semejanza de triángulosAl terminar, sabrás decidir si dos triángulos son semejantes con los criterios AA, LAL y LLL, hallar la razón de semejanza y calcular lados desconocidos.
- AmpliaciónMedir alturas inaccesibles con triángulos semejantes (ampliación)Al terminar, sabrás calcular alturas y distancias que no se pueden medir directamente (edificios, árboles, torres) usando triángulos semejantes formados por sombras, espejos o la regla a brazo extendido.
- AmpliaciónTriángulos semejantes en figuras solapadas (ampliación)Al terminar, sabrás descubrir triángulos semejantes que se solapan dentro de una figura (altura sobre la hipotenusa, diagonales de un trapecio, cuerdas que se cortan) y usarlos para calcular longitudes y demostrar relaciones.
Áreas de figuras circulares y compuestas
- RepasoRecuerda: longitud de arco y área del sector circularAl terminar, sabrás calcular la longitud de un arco y el área de un sector circular a partir del radio y del ángulo, por proporcionalidad con la circunferencia y el círculo completos.
- AmpliaciónCorona circular y trapecio circularAl terminar, sabrás calcular el área de una corona circular y de un trapecio circular, y hallar el ángulo o el radio de un sector cuando conoces su área o su arco.
- AmpliaciónSegmento circular y figuras circulares combinadasAl terminar, sabrás calcular el área de un segmento circular (sector menos triángulo) y resolver problemas con figuras formadas por varios arcos, como hojas, pétalos y lúnulas.
- RepasoRecuerda: áreas y perímetros de figuras compuestasAl terminar, sabrás calcular el área y el perímetro de figuras compuestas descomponiéndolas en figuras conocidas (o completándolas y restando).
- AmpliaciónÁreas de figuras con partes circularesAl terminar, sabrás calcular el área y el perímetro de figuras formadas por polígonos y partes de círculo, sumando o restando áreas.
- AmpliaciónEstimación de áreas de figuras irregularesAl terminar, sabrás estimar el área de una figura irregular con una cuadrícula o aproximándola por figuras conocidas, dar una cota inferior y otra superior y valorar la precisión de la estimación.
- Áreas sombreadas y presupuestos con Pitágoras y semejanzaAl terminar, sabrás resolver problemas de áreas sombreadas y de presupuestos en los que antes hay que calcular alguna medida con el teorema de Pitágoras o con semejanza, y elegir la compra de material más económica.