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Matemáticas 3.º ESO · Áreas de figuras circulares y compuestas

Recuerda: longitud de arco y área del sector circular

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la longitud de un arco y el área de un sector circular a partir del radio y del ángulo, por proporcionalidad con la circunferencia y el círculo completos.

Recuerda

Arcos y sectores

Para una circunferencia de radio $r$ :

Longitud de la circunferencia: $L = 2\pi r$
Área del círculo: $A = \pi r^2$

Un arco es un trozo de circunferencia y un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco. Los dos dependen del ángulo central $\alpha$ (el ángulo que forman los dos radios).

Por proporcionalidad

La circunferencia completa corresponde a $360^\circ$ . Si el ángulo es $\alpha$ , tomamos la fracción $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ del total:

$L_{\text{arco}} = \dfrac{2\pi r \cdot \alpha}{360^\circ} \qquad\qquad A_{\text{sector}} = \dfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^\circ}$

Por ejemplo, un ángulo de $90^\circ$ es $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$ de vuelta: su arco es la cuarta parte de la circunferencia y su sector, la cuarta parte del círculo.

Fracciones de vuelta que conviene conocer

Ángulo	$360^\circ$	$180^\circ$	$120^\circ$	$90^\circ$	$60^\circ$	$45^\circ$
Parte de la vuelta	1	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{8}$

Un sector de $180^\circ$ es un semicírculo y uno de $90^\circ$ , un cuarto de círculo.

El perímetro de un sector es el arco más los dos radios: $P = 2r + L_{\text{arco}}$ .

Usa la tecla $\pi$ de la calculadora y redondea solo al final (a las centésimas). Si te piden el resultado exacto, déjalo en función de $\pi$ (por ejemplo, $12\pi\ \text{cm}^2$ ).

Puntos clave

Arco: $L = \dfrac{2\pi r \cdot \alpha}{360^\circ}$ ; sector: $A = \dfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^\circ}$ .
La fracción $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ indica qué parte de la vuelta completa ocupa el ángulo.
El perímetro del sector suma los dos radios y el arco.
Longitudes en cm, m…; áreas en cm², m²…

Errores frecuentes

ErrorUsar el diámetro en lugar del radio en $\pi r^2$ .
Cómo corregirloSi te dan el diámetro, divídelo entre 2 antes de sustituir.
ErrorDar como perímetro del sector solo la longitud del arco.
Cómo corregirloEl borde del sector tiene tres partes: el arco y los dos radios.
ErrorRedondear $\pi$ a 3,14 a mitad del cálculo y arrastrar el error.
Cómo corregirloDeja $\pi$ hasta el final (o usa la tecla $\pi$ ) y redondea el resultado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Arco y sector de 120° numérico
En una circunferencia de 6 cm de radio, calcula la longitud del arco y el área del sector correspondientes a un ángulo central de $120^\circ$ .

Resolución
$120^\circ$ es $\dfrac{120}{360} = \dfrac{1}{3}$ de vuelta.
- Arco: $L = \dfrac{2\pi \cdot 6 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = 4\pi \approx 12{,}57\ \text{cm}$
- Sector: $A = \dfrac{\pi \cdot 6^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = 12\pi \approx 37{,}70\ \text{cm}^2$
Comprobación: la circunferencia mide $12\pi$ y el círculo $36\pi$ ; un tercio de cada uno da lo mismo. ✔
Ejemplo 2. Una porción de pizza situación real
Una pizza de 30 cm de diámetro se corta en 8 porciones iguales. Calcula el área de una porción y la longitud del borde de masa (el arco) que le corresponde.

Resolución
Radio: $r = 15$ cm. Cada porción es un sector de $\dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ$ .
- Área: $A = \dfrac{\pi \cdot 15^2 \cdot 45^\circ}{360^\circ} = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88{,}36\ \text{cm}^2$
- Borde: $L = \dfrac{2\pi \cdot 15 \cdot 45^\circ}{360^\circ} = \dfrac{15\pi}{4} \approx 11{,}78\ \text{cm}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En un círculo de 10 cm de radio, calcula la longitud del arco y el área del sector de $72^\circ$ . Da el resultado exacto (en función de $\pi$ ) y aproximado a las centésimas.

Ver solución
Arco: $4\pi \approx 12{,}57$ cm. Sector: $20\pi \approx 62{,}83$ cm²
$72^\circ$ es $\dfrac{1}{5}$ de vuelta. $L = \dfrac{2\pi \cdot 10 \cdot 72^\circ}{360^\circ} = 4\pi \approx 12{,}57$ cm; $A = \dfrac{\pi \cdot 10^2 \cdot 72^\circ}{360^\circ} = 20\pi \approx 62{,}83$ cm².
2. Media
El minutero de un reloj de pared mide 9 cm. a) ¿Qué ángulo gira en 20 minutos? b) ¿Qué distancia recorre su punta en ese tiempo? c) ¿Qué área barre?

Ver solución
a) $120^\circ$ . b) $6\pi \approx 18{,}85$ cm. c) $27\pi \approx 84{,}82$ cm²
a) En 60 min da una vuelta ( $360^\circ$ ); en 20 min, $\dfrac{20}{60} \cdot 360^\circ = 120^\circ$ . b) $L = \dfrac{2\pi \cdot 9 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = 6\pi \approx 18{,}85$ cm. c) $A = \dfrac{\pi \cdot 9^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = 27\pi \approx 84{,}82$ cm².
3. Media
Una cámara de vigilancia de un aparcamiento vigila un sector circular de $135^\circ$ y alcanza hasta 8 m. Calcula el área vigilada y el perímetro de esa zona.

Ver solución
Área: $24\pi \approx 75{,}40$ m². Perímetro: $16 + 6\pi \approx 34{,}85$ m
$A = \dfrac{\pi \cdot 8^2 \cdot 135^\circ}{360^\circ} = 24\pi \approx 75{,}40$ m². Arco: $L = \dfrac{2\pi \cdot 8 \cdot 135^\circ}{360^\circ} = 6\pi \approx 18{,}85$ m. Perímetro: $P = 2 \cdot 8 + 6\pi \approx 34{,}85$ m.

Para practicar más

1. Fácil
En un círculo de 4 cm de radio, completa la tabla (redondea a las centésimas):

Ángulo $90^\circ$ $30^\circ$ $270^\circ$

Longitud del arco (cm)

Área del sector (cm²)
Ver solución
90°: 6,28 cm y 12,57 cm²; 30°: 2,09 cm y 4,19 cm²; 270°: 18,85 cm y 37,70 cm²
Circunferencia: $8\pi$ cm; círculo: $16\pi$ cm².
- $90^\circ = \tfrac{1}{4}$ : $L = 2\pi \approx 6{,}28$ cm; $A = 4\pi \approx 12{,}57$ cm².
- $30^\circ = \tfrac{1}{12}$ : $L = \tfrac{2\pi}{3} \approx 2{,}09$ cm; $A = \tfrac{4\pi}{3} \approx 4{,}19$ cm².
- $270^\circ = \tfrac{3}{4}$ : $L = 6\pi \approx 18{,}85$ cm; $A = 12\pi \approx 37{,}70$ cm².
2. Media
Un abanico de papel abierto forma un sector circular de $150^\circ$ y sus varillas miden 21 cm. ¿Cuánto papel tiene (área del sector)? ¿Qué longitud tiene su borde curvo?

Ver solución
Área $\approx 577{,}27$ cm²; borde $\approx 54{,}98$ cm
$A = \dfrac{\pi \cdot 21^2 \cdot 150^\circ}{360^\circ} = 183{,}75\pi \approx 577{,}27$ cm². $L = \dfrac{2\pi \cdot 21 \cdot 150^\circ}{360^\circ} = 17{,}5\pi \approx 54{,}98$ cm.
3. Media
Un péndulo de 80 cm de longitud oscila de un extremo a otro formando un ángulo de $40^\circ$ . ¿Qué longitud tiene el arco que describe su extremo en cada oscilación?

Ver solución
$\dfrac{160\pi}{9} \approx 55{,}85$ cm
Es un arco de radio 80 cm y ángulo $40^\circ$ : $L = \dfrac{2\pi \cdot 80 \cdot 40^\circ}{360^\circ} = \dfrac{160\pi}{9} \approx 55{,}85$ cm.

Ángulo	$90^\circ$	$30^\circ$	$270^\circ$
Longitud del arco (cm)
Área del sector (cm²)