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Matemáticas 3.º ESO · Teorema de Tales y semejanza de triángulos

Triángulos semejantes en figuras solapadas (ampliación)

Objetivo: Al terminar, sabrás descubrir triángulos semejantes que se solapan dentro de una figura (altura sobre la hipotenusa, diagonales de un trapecio, cuerdas que se cortan) y usarlos para calcular longitudes y demostrar relaciones.

Explicación

Triángulos que se solapan

En muchas figuras hay triángulos semejantes que comparten un ángulo o un lado y se superponen. Para no equivocarse:

Busca dos ángulos iguales (criterio AA): un ángulo común, ángulos rectos, ángulos opuestos por el vértice, alternos internos entre paralelas…
Dibuja los triángulos por separado, girándolos para que los vértices homólogos queden en la misma posición.
Escribe la proporción con lados homólogos (los que están enfrente de ángulos iguales).

Tres situaciones típicas

Altura sobre la hipotenusa. En el triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ , la altura $AH$ divide la hipotenusa $a = BC$ en dos proyecciones, $m = BH$ y $n = HC$ . Los tres triángulos $ABC$ , $HBA$ y $HAC$ son semejantes (todos tienen un ángulo recto y comparten un ángulo agudo). De ahí salen: $h^2 = m \cdot n \quad \text{(teorema de la altura)} \qquad c^2 = a \cdot m,\quad b^2 = a \cdot n \quad \text{(teorema del cateto)}$ donde $h = AH$ , $c = AB$ y $b = AC$ .

Diagonales de un trapecio. Si $AB \parallel CD$ y las diagonales se cortan en $O$ , los triángulos $OAB$ y $OCD$ son semejantes (ángulos opuestos por el vértice y alternos internos): $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$

Dos cuerdas que se cortan. Si las cuerdas $AB$ y $CD$ de una circunferencia se cortan en $P$ , los triángulos $PAC$ y $PDB$ son semejantes (ángulos opuestos por el vértice y ángulos inscritos que abarcan el mismo arco). Por eso: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Puntos clave

Con dos ángulos iguales basta para que dos triángulos sean semejantes (AA).
Separa y gira los triángulos solapados antes de escribir la proporción.
Altura sobre la hipotenusa: $h^2 = m \cdot n$ ; cateto: $c^2 = a \cdot m$ .
Trapecio: las diagonales se cortan en la razón de las bases.
Cuerdas que se cortan en $P$ : $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ .

Errores frecuentes

ErrorEmparejar los lados por su posición en el dibujo, no por los ángulos.
Cómo corregirloMarca los ángulos iguales con el mismo color: los lados homólogos son los que están enfrente de ángulos del mismo color.
ErrorEn el teorema del cateto, multiplicar la hipotenusa por la proyección del otro cateto.
Cómo corregirloCada cateto va con su proyección, la que está pegada a él: $c^2 = a \cdot m$ si $m$ es la proyección de $c$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La altura sobre la hipotenusa numérico (triángulos solapados)
En el triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ , la altura $AH$ divide la hipotenusa en $BH = 9$ cm y $HC = 16$ cm. a) Demuestra que $HBA$ y $HAC$ son semejantes. b) Calcula la altura $AH$ y los catetos.

Resolución
a) $\widehat{BHA} = \widehat{AHC} = 90^\circ$ . Además, $\widehat{HBA} = \widehat{HAC}$ , porque los dos suman $90^\circ$ con $\widehat{HAB}$ (en $HBA$ , $\hat{B} + \widehat{HAB} = 90^\circ$ ; y $\widehat{HAB} + \widehat{HAC} = \hat{A} = 90^\circ$ ). Por AA, $HBA \sim HAC$ , con $H \leftrightarrow H$ , $B \leftrightarrow A$ , $A \leftrightarrow C$ .

b) Proporción entre catetos homólogos: $\dfrac{HB}{HA} = \dfrac{HA}{HC} \;\Rightarrow\; HA^2 = 9 \cdot 16 = 144 \;\Rightarrow\; AH = 12$ cm.

Catetos (Pitágoras en cada triángulo pequeño): $AB = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\ \text{cm} \qquad AC = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20\ \text{cm}$ Comprobación: $15^2 + 20^2 = 625 = 25^2$ y la hipotenusa mide $9 + 16 = 25$ cm. ✔
Ejemplo 2. Las diagonales de un trapecio numérico (ángulos alternos y opuestos)
En el trapecio $ABCD$ , las bases son $AB = 6$ cm y $CD = 15$ cm. Las diagonales se cortan en $O$ y la diagonal $AC$ mide 14 cm. Calcula $OA$ y $OC$ .

Resolución
$\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (opuestos por el vértice) y $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (alternos internos, $AB \parallel CD$ ). Por AA, $OAB \sim OCD$ con razón $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$ .

Entonces $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{2}{5}$ : $AC$ queda dividida en $2 + 5 = 7$ partes iguales de $14 : 7 = 2$ cm. $OA = 2 \cdot 2 = 4\ \text{cm} \qquad OC = 5 \cdot 2 = 10\ \text{cm}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 cm y 12 cm. a) Calcula la hipotenusa. b) Usando el teorema del cateto, calcula las proyecciones de cada cateto sobre la hipotenusa. c) Calcula la altura sobre la hipotenusa y comprueba el teorema de la altura.

Ver solución
a) 15 cm. b) 5,4 cm y 9,6 cm. c) 7,2 cm; 7,2² = 5,4 · 9,6 = 51,84.
a) $a = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$ cm. b) $9^2 = 15 \cdot m \Rightarrow m = \dfrac{81}{15} = 5{,}4$ cm; $12^2 = 15 \cdot n \Rightarrow n = \dfrac{144}{15} = 9{,}6$ cm. (Suman 15 ✔.) c) $h^2 = 5{,}4 \cdot 9{,}6 = 51{,}84 \Rightarrow h = 7{,}2$ cm. Otra forma: el área es $\dfrac{9 \cdot 12}{2} = \dfrac{15 \cdot h}{2} \Rightarrow h = \dfrac{108}{15} = 7{,}2$ cm. ✔
2. Difícil
En el triángulo $ABC$ , $AB = 12$ cm, $AC = 9$ cm y $BC = 10{,}5$ cm. Se marca $D$ en $AB$ con $AD = 6$ cm y $E$ en $AC$ de modo que $\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$ . a) Demuestra que $ADE$ y $ACB$ son semejantes e indica los vértices homólogos. b) Calcula $AE$ y $DE$ .

Ver solución
a) AA (Â común y ADE = ACB); A ↔ A, D ↔ C, E ↔ B. b) AE = 8 cm, DE = 7 cm.
a) $\hat{A}$ es común y $\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$ → AA. Homólogos: $A \leftrightarrow A$ , $D \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow B$ . (¡Ojo! $DE$ no es paralelo a $BC$ .) b) Razón: $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ . Entonces $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow AE = \dfrac{2}{3} \cdot 12 = 8$ cm, y $\dfrac{DE}{CB} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow DE = \dfrac{2}{3} \cdot 10{,}5 = 7$ cm.
3. Media
Dos cuerdas $AB$ y $CD$ de una circunferencia se cortan en el punto $P$ . Si $PA = 4$ cm, $PB = 9$ cm y $PC = 3$ cm, calcula $PD$ y la longitud de la cuerda $CD$ .

Ver solución
PD = 12 cm; CD = 15 cm.
$PA \cdot PB = PC \cdot PD \;\Rightarrow\; 4 \cdot 9 = 3 \cdot PD \;\Rightarrow\; PD = 12$ cm. $CD = 3 + 12 = 15$ cm.

Para practicar más

1. Media
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa mide 6 cm y una de las proyecciones mide 4 cm. Calcula la otra proyección, la hipotenusa y los dos catetos (exactos y aproximados a las centésimas).

Ver solución
Proyección 9 cm; hipotenusa 13 cm; catetos 2√13 ≈ 7,21 cm y 3√13 ≈ 10,82 cm.
Teorema de la altura: $6^2 = 4 \cdot n \Rightarrow n = 9$ cm. Hipotenusa: $a = 4 + 9 = 13$ cm. Teorema del cateto: $c^2 = 13 \cdot 4 = 52 \Rightarrow c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21$ cm; $b^2 = 13 \cdot 9 = 117 \Rightarrow b = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \approx 10{,}82$ cm. Comprobación: $52 + 117 = 169 = 13^2$ . ✔
2. Media
Las bases de un trapecio $ABCD$ miden $AB = 8$ cm y $CD = 20$ cm. Sus diagonales se cortan en $O$ y la diagonal $BD$ mide 21 cm. Calcula $OB$ y $OD$ .

Ver solución
OB = 6 cm; OD = 15 cm.
$OAB \sim OCD$ (AA: opuestos por el vértice y alternos internos) con razón $\dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}$ . $BD$ se divide en $2 + 5 = 7$ partes de $21 : 7 = 3$ cm: $OB = 6$ cm y $OD = 15$ cm.

3. Difícil

Demuestra el teorema del cateto: en el triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ , con altura $AH$ , se cumple $AB^2 = BC \cdot BH$ . Pista: compara los triángulos $ABC$ y $HBA$ .

Ver solución

ABC ∼ HBA por AA (ángulo recto y B̂ común); de AB/HB = BC/BA sale AB² = BC · BH.

Afirmación	Razón
$\widehat{BAC} = \widehat{BHA} = 90^\circ$	Ángulo recto en $A$ ; $AH$ es altura
$\hat{B}$ es común	Mismo ángulo en los dos triángulos
$ABC \sim HBA$	Criterio AA ( $A \leftrightarrow H$ , $B \leftrightarrow B$ , $C \leftrightarrow A$ )
$\dfrac{AB}{HB} = \dfrac{BC}{BA}$	Lados homólogos proporcionales
$AB^2 = BC \cdot BH$	Multiplicando en cruz