Ampliación: lugares geométricos en situaciones reales

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorDibujar solo una de las dos paralelas a una recta a distancia $d$.

  Cómo corregirloHay una paralela a cada lado de la recta, salvo que el problema diga en qué lado está el punto.

• ErrorConfundir circunferencia (la línea) con círculo (la superficie).

  Cómo corregirlo«A 3 km» es la circunferencia; «a 3 km o menos», el círculo.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Una parada de autobús entre dos colegios gráfico (en una cuadrícula)

   Una calle recta es el eje horizontal de una cuadrícula en la que cada cuadrado mide 100 m. Dos colegios están en $A(1, 3)$ y $B(5, 1)$. Se quiere poner una parada de autobús en la calle que esté a la misma distancia de los dos colegios. ¿Dónde hay que ponerla? ¿A qué distancia queda de cada colegio?

   Resolución

   Condición 1: a la misma distancia de $A$ y $B$ → mediatriz de $AB$. Condición 2: en la calle → el eje horizontal.

   Trazamos la mediatriz de $AB$ con compás sobre la cuadrícula: pasa por el punto medio $M(3, 2)$ y corta a la calle en $P(2, 0)$.

   Comprobación con Pitágoras (contando cuadrados):

   • $PA$: 1 cuadrado en horizontal y 3 en vertical → $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
   • $PB$: 3 en horizontal y 1 en vertical → $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.

   La parada va en $(2, 0)$, a 200 m del origen, y queda a $\sqrt{10} \cdot 100 \approx 316$ m de cada colegio.

2. Ejemplo 2. Zona con cobertura de dos antenas situación real (regiones del plano)

   Dos antenas de telefonía, $A$ y $B$, están separadas 6 km y cada una da cobertura hasta 4 km. a) Describe la zona del plano donde hay cobertura de las dos antenas. b) ¿En qué puntos se cortan los bordes de las dos zonas? ¿A qué distancia están del punto medio $M$ de $AB$? c) Un móvil se conecta a la antena más cercana. ¿Qué línea separa los móviles conectados a $A$ de los conectados a $B$?

   Resolución

   a) Cobertura de $A$: círculo de centro $A$ y radio 4 km; igual para $B$. Hay cobertura de las dos en la parte común de los dos círculos (una zona con forma de lente alrededor de $M$).

   b) Los bordes se cortan en dos puntos que están a 4 km de $A$ y a 4 km de $B$: están en la mediatriz de $AB$. Con $AM = 3$ km: $$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7} \approx 2{,}65\ \text{km}$$ Son dos puntos, uno a cada lado de $AB$, a unos 2,65 km de $M$.

   c) La mediatriz de $AB$: a un lado los puntos más cerca de $A$ y al otro los más cerca de $B$.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   ¿Qué lugar geométrico describe cada situación? a) Los puntos de un campo de fútbol que están a la misma distancia de las dos porterías. b) Las posiciones de la punta del minutero de un reloj. c) Los puntos del suelo de una habitación que están a 1 m de una pared. d) Los puntos de una mesa a 30 cm o menos de un vaso.

   Ver solución

   a) La línea de medio campo (mediatriz). b) Una circunferencia. c) Una paralela a la pared. d) Un círculo de radio 30 cm.

   a) La mediatriz del segmento que une los centros de las dos porterías: la línea de medio campo. b) Una circunferencia con centro en el eje de las agujas y radio la longitud del minutero. c) Una recta paralela a la pared a 1 m (solo una, porque al otro lado de la pared ya no es la habitación). d) Un círculo de centro el vaso y radio 30 cm.

2. 2. Media

   Dibuja un segmento $AB$ de 4 cm. Con el compás, busca los puntos que están a 2 cm de $A$ y a 3 cm de $B$. ¿Cuántos hay?

   Ver solución

   Dos.

   Puntos a 2 cm de $A$: circunferencia de centro $A$ y radio 2 cm. Puntos a 3 cm de $B$: circunferencia de centro $B$ y radio 3 cm. Las dos circunferencias se cortan en dos puntos, uno a cada lado de $AB$.

3. 3. Difícil

   Una cabra está atada con una cuerda de 5 m a una argolla que puede deslizarse a lo largo de una barra recta de 8 m clavada en el suelo. a) Describe la zona en la que puede pastar. b) Calcula su área (usa $\pi \approx 3{,}14$ o la tecla $\pi$).

   Ver solución

   a) Un rectángulo de 8 m × 10 m con un semicírculo de radio 5 m en cada extremo. b) Unos 158,5 m².

   a) Son los puntos a 5 m o menos de algún punto de la barra: un rectángulo de $8 \times 10$ m (5 m a cada lado de la barra) y, en cada extremo, un semicírculo de radio 5 m. b) Los dos semicírculos forman un círculo: $$A = 8 \cdot 10 + \pi \cdot 5^2 = 80 + 25\pi \approx 80 + 78{,}54 = 158{,}54\ \text{m}^2$$

Para practicar más

1. 1. Media

   Dibuja dos puntos $A$ y $B$ a 4 cm de distancia. a) ¿Dónde están los centros de todas las circunferencias que pasan por $A$ y por $B$? b) Dibuja las circunferencias de radio 3 cm que pasan por $A$ y por $B$. ¿Cuántas hay? ¿A qué distancia del punto medio de $AB$ están sus centros?

   Ver solución

   a) En la mediatriz de AB. b) Dos; a unos 2,24 cm.

   a) El centro debe estar a la misma distancia de $A$ y de $B$: en la mediatriz de $AB$. b) El centro está en la mediatriz y a 3 cm de $A$: hay dos (uno a cada lado). Con $AM = 2$ cm: $\sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ cm de $M$.

2. 2. Media

   Dibuja un segmento $AB$ de 5 cm y busca con el compás los puntos que están a 3 cm de $A$ y a 4 cm de $B$. Elige uno, llámalo $P$ y mide el ángulo $\widehat{APB}$. ¿Por qué sale ese valor?

   Ver solución

   Hay dos puntos; el ángulo APB mide 90°.

   Se cortan la circunferencia de centro $A$ y radio 3 cm y la de centro $B$ y radio 4 cm: hay dos puntos. El ángulo $\widehat{APB}$ mide 90°: como $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, el triángulo $APB$ cumple el teorema de Pitágoras, así que es rectángulo en $P$.

3. 3. Difícil

   Un punto $P$ está a 1 cm de una recta $r$. ¿Cuántos puntos hay que estén a 2 cm de la recta $r$ y a 3 cm de $P$? Dibújalo.

   Ver solución

   Tres.

   Puntos a 2 cm de $r$: dos paralelas, $s$ (del lado de $P$) y $t$ (del otro lado). Puntos a 3 cm de $P$: circunferencia de centro $P$ y radio 3 cm.

   • $P$ está a $2 - 1 = 1$ cm de $s$, menos que 3: la circunferencia corta a $s$ en dos puntos.
   • $P$ está a $1 + 2 = 3$ cm de $t$, igual que el radio: la circunferencia toca a $t$ en un punto. En total, tres puntos.