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Matemáticas 3.º ESO · Teorema de Tales y semejanza de triángulos

Triángulos en posición de Tales y división de un segmento (ampliación)

Objetivo: Al terminar, sabrás reconocer dos triángulos en posición de Tales, calcular lados con la proporción entre ellos y dividir un segmento en partes iguales o proporcionales con regla y compás.

Explicación

Triángulos en posición de Tales

Dos triángulos $ABC$ y $AB'C'$ están en posición de Tales cuando:

tienen un ángulo común ( $\hat{A}$ ),
$B'$ está en el lado $AB$ y $C'$ en el lado $AC$ (o en sus prolongaciones), y
los lados opuestos a $\hat{A}$ son paralelos: $B'C' \parallel BC$ .

Entonces sus lados son proporcionales: $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$ Por eso los dos triángulos son semejantes (tienen los mismos ángulos y los lados proporcionales), con razón $k = \dfrac{AB'}{AB}$ . También se cumple, por el teorema de Tales, $\dfrac{AB'}{B'B} = \dfrac{AC'}{C'C}$ .

Esta situación aparece en rampas, tejados, escaleras de tijera o columpios: siempre que una barra o una línea paralela a un lado corta a los otros dos.

Dividir un segmento en partes iguales

Para dividir el segmento $AB$ en $n$ partes iguales:

Traza desde $A$ una semirrecta auxiliar cualquiera.
Con el compás, marca sobre ella $n$ segmentos iguales consecutivos, a partir de $A$ .
Une la última marca con $B$ .
Traza paralelas a ese segmento por las demás marcas (con escuadra y cartabón). Cortan a $AB$ en los puntos de división.

Por el teorema de Tales, como los segmentos de la semirrecta son iguales, los de $AB$ también lo son.

Dividir un segmento en partes proporcionales

Para dividir $AB$ en partes proporcionales a, por ejemplo, $2$ y $3$ , se marcan en la semirrecta $2 + 3 = 5$ segmentos iguales, se une la marca 5 con $B$ y se traza la paralela por la marca 2. Las partes miden $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{3}{5}$ de $AB$ .

Puntos clave

Posición de Tales: ángulo común y lados opuestos paralelos.
En posición de Tales, $\dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{AC'}{AC} = \dfrac{B'C'}{BC}$ .
Dos triángulos en posición de Tales son semejantes.
Para dividir un segmento en $n$ partes iguales: semirrecta auxiliar, $n$ marcas iguales, unir la última con el extremo y trazar paralelas.
Para partes proporcionales a $p$ y $q$ , se marcan $p + q$ partes iguales en la semirrecta.

Errores frecuentes

ErrorEscribir $\dfrac{AB'}{B'B} = \dfrac{B'C'}{BC}$ , mezclando un trozo del lado con el lado entero.
Cómo corregirloLa razón $\dfrac{B'C'}{BC}$ va con los lados enteros desde $A$ : $\dfrac{AB'}{AB}$ y $\dfrac{AC'}{AC}$ .
ErrorDividir midiendo con la regla cuando la división no es exacta (por ejemplo, 7 cm entre 3).
Cómo corregirloUsa la construcción con paralelas: es exacta aunque las partes midan un número decimal infinito.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un triángulo dentro de otro numérico
En el triángulo $ABC$ , $AB = 12$ cm, $AC = 15$ cm y $BC = 9$ cm. Por el punto $B'$ del lado $AB$ con $AB' = 4$ cm se traza la paralela a $BC$ , que corta a $AC$ en $C'$ . Calcula $AC'$ y $B'C'$ .

Resolución
$ABC$ y $AB'C'$ están en posición de Tales (ángulo $\hat{A}$ común y $B'C' \parallel BC$ ). La razón es $\dfrac{AB'}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ . $AC' = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5\ \text{cm} \qquad B'C' = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3\ \text{cm}$
Ejemplo 2. Dividir 7 cm en tres partes iguales construcción con regla y compás
Divide un segmento $AB$ de 7 cm en tres partes iguales sin medir las partes con la regla.

Resolución
Al dividir, $7 : 3 = 2{,}333\ldots$ cm: con la regla no se puede marcar con exactitud. Construcción:
1. Desde $A$ , traza una semirrecta auxiliar que forme un ángulo agudo con $AB$ .
2. Con una abertura cualquiera del compás (por ejemplo, 2 cm), marca sobre ella tres puntos $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ con $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3$ .
3. Une $P_3$ con $B$ .
4. Por $P_1$ y $P_2$ traza paralelas a $P_3B$ . Cortan a $AB$ en $M_1$ y $M_2$ .
Por el teorema de Tales, $AM_1 = M_1M_2 = M_2B = \dfrac{7}{3}$ cm.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Los triángulos $ABC$ y $AB'C'$ están en posición de Tales ( $B'$ en $AB$ , $C'$ en $AC$ y $B'C' \parallel BC$ ). Si $AB' = x$ , $B'B = 6$ cm, $AC' = 4$ cm y $C'C = 8$ cm, calcula $x$ y la longitud de $AB$ .

Ver solución
x = 3 cm; AB = 9 cm.
Por Tales: $\dfrac{AB'}{B'B} = \dfrac{AC'}{C'C} \;\Rightarrow\; \dfrac{x}{6} = \dfrac{4}{8} \;\Rightarrow\; x = 3$ cm. $AB = 3 + 6 = 9$ cm.
2. Fácil
Dibuja un segmento de 10 cm y divídelo en 4 partes iguales con la construcción de Tales. ¿Cuánto debe medir cada parte? Comprueba tu dibujo con la regla.

Ver solución
2,5 cm cada parte.
Semirrecta auxiliar desde $A$ ; 4 marcas iguales con el compás; se une la cuarta con $B$ y se trazan paralelas por las otras tres. Cada parte mide $10 : 4 = 2{,}5$ cm.
3. Media
Divide un segmento de 12 cm en tres partes proporcionales a 1, 2 y 3. a) Calcula cuánto mide cada parte. b) Explica la construcción.

Ver solución
a) 2 cm, 4 cm y 6 cm. b) 6 marcas iguales; unir la sexta con B y trazar paralelas por la 1.ª y la 3.ª.
a) Hay $1 + 2 + 3 = 6$ partes iguales de $12 : 6 = 2$ cm: las partes miden $2$ , $2 \cdot 2 = 4$ y $3 \cdot 2 = 6$ cm. b) Se marcan 6 segmentos iguales en la semirrecta auxiliar, se une la marca 6 con $B$ y se trazan paralelas por la marca 1 y por la marca $1 + 2 = 3$ .

Para practicar más

1. Media
Una escalera de tijera tiene las dos patas de 2 m y, abierta, sus pies quedan a 1,2 m uno del otro. Una cadena une las dos patas a 0,5 m de la bisagra (medidos sobre cada pata) y queda paralela al suelo. ¿Cuánto mide la cadena?

Ver solución
0,3 m (30 cm)
El triángulo de la cadena y el de la escalera están en posición de Tales (ángulo común en la bisagra y cadena paralela al suelo). Razón: $\dfrac{0{,}5}{2} = 0{,}25$ . Cadena: $0{,}25 \cdot 1{,}2 = 0{,}3$ m.
2. Fácil
Divide un segmento de 9 cm en 5 partes iguales con la construcción de Tales. ¿Cuánto mide cada parte?

Ver solución
1,8 cm
5 marcas iguales en la semirrecta auxiliar, unir la quinta con el extremo y trazar paralelas por las otras cuatro. Cada parte: $9 : 5 = 1{,}8$ cm.
3. Media
Divide un segmento de 14 cm en dos partes proporcionales a 2 y 5. Calcula cuánto mide cada parte y explica la construcción.

Ver solución
4 cm y 10 cm.
$2 + 5 = 7$ partes de $14 : 7 = 2$ cm: las partes miden $2 \cdot 2 = 4$ cm y $5 \cdot 2 = 10$ cm. Construcción: 7 marcas iguales en la semirrecta, unir la séptima con el extremo $B$ y trazar la paralela por la segunda marca.