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Explicación

¿Cuándo son iguales dos triángulos?

Dos figuras son iguales (o congruentes) si se puede colocar una exactamente encima de la otra moviéndola (deslizándola, girándola o dándole la vuelta), sin estirarla ni encogerla.

Si dos triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ son iguales, sus tres lados y sus tres ángulos son iguales uno a uno. Los elementos que se corresponden se llaman homólogos: al lado $AB$ le corresponde $A'B'$ , al ángulo $\hat{A}$ le corresponde $\hat{A}'$ , etc. Se escribe $ABC \cong A'B'C'$ (se lee « $ABC$ es igual a $A'B'C'$ »), con los vértices en el orden en que se corresponden.

En un triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales: el lado homólogo de $BC$ es el opuesto al ángulo igual a $\hat{A}$ .

Criterios de igualdad de triángulos

No hace falta comprobar los seis elementos. Basta con tres datos bien elegidos:

Criterio	Qué hay que comprobar
LLL (lado, lado, lado)	Los tres lados son iguales.
LAL (lado, ángulo, lado)	Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son iguales.
ALA (ángulo, lado, ángulo)	Un lado y los dos ángulos contiguos a él son iguales.

Como los ángulos de un triángulo suman $180^\circ$ , si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercero también lo es. Por eso, si conocemos un lado y dos ángulos cualesquiera, calculamos el tercer ángulo y comprobamos ALA.

Datos que NO bastan

Tres ángulos iguales (AAA): los triángulos tienen la misma forma, pero pueden tener distinto tamaño (son semejantes, no iguales).
Dos lados y un ángulo que no está entre ellos: en general no bastan; con esos datos se pueden construir dos triángulos distintos.

Puntos clave

Dos triángulos son iguales si se pueden superponer: tienen los tres lados y los tres ángulos iguales.
Criterio LLL: tres lados iguales.
Criterio LAL: dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
Criterio ALA: un lado igual y los dos ángulos contiguos a él iguales.
Los ángulos de un triángulo suman $180^\circ$ : con dos ángulos se calcula el tercero.
A lados iguales se oponen ángulos iguales: así se encuentran los vértices homólogos.
Tres ángulos iguales no bastan: los triángulos pueden ser de distinto tamaño.

Errores frecuentes

ErrorUsar LAL con un ángulo que no está entre los dos lados conocidos.
Cómo corregirloMarca en el dibujo los dos lados: el ángulo tiene que estar en el vértice donde se juntan esos dos lados.
ErrorPensar que dos triángulos con los mismos ángulos son siempre iguales.
Cómo corregirloLos ángulos dan la forma, no el tamaño. Hace falta, además, al menos un lado homólogo igual (criterio ALA).
ErrorEmparejar los vértices por su letra o por su posición en el dibujo.
Cómo corregirloEmpareja por las medidas: el vértice homólogo de $A$ es el que está entre los lados iguales a los que forman $\hat{A}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Calcar y superponer experimental (superposición y LLL)
En una hoja hay dibujados dos triángulos: $ABC$ , con $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm y $CA = 6$ cm, y $PQR$ , con $PQ = 6$ cm, $QR = 5$ cm y $RP = 7$ cm. a) ¿Son iguales? ¿Por qué criterio? b) ¿Qué vértice de $PQR$ corresponde a cada vértice de $ABC$ ? c) Si $\hat{A} = 78^\circ$ , ¿qué ángulo de $PQR$ mide también $78^\circ$ ?

Resolución
a) Ordenamos los lados de menor a mayor: $ABC$ tiene $5,\ 6,\ 7$ cm y $PQR$ también $5,\ 6,\ 7$ cm. Los tres lados son iguales: son iguales por el criterio LLL. Si calcamos $ABC$ en papel vegetal, lo podemos colocar exactamente encima de $PQR$ .

b) Emparejamos los lados iguales: $AB = QR = 5$ cm, $CA = PQ = 6$ cm, $BC = RP = 7$ cm.
- $A$ está entre los lados de 5 y 6 cm; en $PQR$ , el vértice entre los lados de 5 y 6 cm es $Q$ . Luego $A \leftrightarrow Q$ .
- $B$ está entre los lados de 5 y 7 cm → $B \leftrightarrow R$ .
- $C$ está entre los lados de 6 y 7 cm → $C \leftrightarrow P$ .
Escribimos $ABC \cong QRP$ .

c) El ángulo homólogo de $\hat{A}$ es $\hat{Q}$ : $\hat{Q} = 78^\circ$ .
Ejemplo 2. ¿Qué criterio se aplica? numérico (identificar el criterio)
Decide en cada caso si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son iguales y, si lo son, por qué criterio. a) $AB = DE = 4$ cm, $AC = DF = 6$ cm, $\hat{A} = \hat{D} = 50^\circ$ . b) $BC = EF = 8$ cm, $\hat{B} = \hat{E} = 70^\circ$ , $\hat{C} = \hat{F} = 45^\circ$ . c) $\hat{A} = \hat{D} = 60^\circ$ , $\hat{B} = \hat{E} = 80^\circ$ , $\hat{C} = \hat{F} = 40^\circ$ . d) $\hat{A} = \hat{D} = 35^\circ$ , $\hat{B} = \hat{E} = 65^\circ$ , $BC = EF = 9$ cm.

Resolución
a) $\hat{A}$ está entre $AB$ y $AC$ , y $\hat{D}$ entre $DE$ y $DF$ : dos lados y el ángulo comprendido → iguales por LAL.

b) El lado $BC$ está entre $\hat{B}$ y $\hat{C}$ , y $EF$ entre $\hat{E}$ y $\hat{F}$ : un lado y sus dos ángulos contiguos → iguales por ALA.

c) Solo sabemos que los ángulos son iguales. No podemos asegurar que sean iguales: pueden ser uno más grande que otro (son semejantes).

d) El lado de 9 cm no está entre los ángulos conocidos. Calculamos el tercer ángulo: $\hat{C} = \hat{F} = 180^\circ - 35^\circ - 65^\circ = 80^\circ$ . Ahora $BC$ está entre $\hat{B} = 65^\circ$ y $\hat{C} = 80^\circ$ , y $EF$ entre $\hat{E} = 65^\circ$ y $\hat{F} = 80^\circ$ → iguales por ALA.
Ejemplo 3. Dos triángulos en la cuadrícula gráfico (cuadrícula y Pitágoras)
En la cuadrícula están dibujados los triángulos $T_1$ , de vértices $A(1, 1)$ , $B(5, 1)$ y $C(2, 4)$ , y $T_2$ , de vértices $A'(11, 1)$ , $B'(11, 5)$ y $C'(8, 2)$ . ¿Son iguales?

Resolución
Calculamos los lados. Los horizontales o verticales se cuentan en la cuadrícula; los inclinados, con el teorema de Pitágoras.

$T_1$ : $AB = 5 - 1 = 4$ ; $BC = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$ ; $CA = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ .

$T_2$ : $A'B' = 5 - 1 = 4$ ; $B'C' = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$ ; $C'A' = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ .

Los tres lados son iguales: $T_1$ y $T_2$ son iguales (criterio LLL). De hecho, $T_2$ es $T_1$ girado un cuarto de vuelta.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son iguales y por qué criterio: a) $AB = DE = 7$ cm, $BC = EF = 9$ cm, $CA = FD = 5$ cm. b) $AB = DE = 3$ cm, $\hat{A} = \hat{D} = 55^\circ$ , $\hat{B} = \hat{E} = 90^\circ$ . c) $AB = DE = 6$ cm, $BC = EF = 4$ cm, $\hat{B} = \hat{E} = 120^\circ$ . d) $\hat{A} = \hat{D} = 30^\circ$ , $\hat{B} = \hat{E} = 60^\circ$ , $\hat{C} = \hat{F} = 90^\circ$ .

Ver solución
a) LLL. b) ALA. c) LAL. d) No se puede asegurar (solo ángulos).
a) Tres lados iguales → LLL. b) $AB$ está entre $\hat{A}$ y $\hat{B}$ (y $DE$ entre $\hat{D}$ y $\hat{E}$ ) → ALA. c) $\hat{B}$ está entre $AB$ y $BC$ → LAL. d) Solo ángulos: pueden ser de distinto tamaño. No se puede asegurar que sean iguales.
2. Fácil
Los triángulos $MNP$ y $XYZ$ tienen $MN = 8$ cm, $NP = 10$ cm, $PM = 12$ cm, $XY = 10$ cm, $YZ = 12$ cm y $ZX = 8$ cm. a) ¿Son iguales? b) Empareja sus vértices. c) ¿Qué ángulo de $XYZ$ es igual a $\hat{M}$ ?

Ver solución
a) Sí, por LLL. b) M ↔ Z, N ↔ X, P ↔ Y (MNP ≅ ZXY). c) Ẑ.
a) Los dos tienen lados de 8, 10 y 12 cm → iguales por LLL. b) $M$ está entre los lados de 8 y 12 cm; en $XYZ$ el vértice entre 8 ( $ZX$ ) y 12 ( $YZ$ ) es $Z$ . $N$ está entre 8 y 10 → $X$ (entre $ZX = 8$ y $XY = 10$ ). $P$ está entre 10 y 12 → $Y$ . Luego $MNP \cong ZXY$ . c) $\hat{M} = \hat{Z}$ .
3. Media
Un rectángulo $ABCD$ se corta por la diagonal $AC$ . Explica por qué los triángulos $ABC$ y $CDA$ son iguales y di qué criterio usas.

Ver solución
Son iguales por LLL: AB = CD, BC = DA y AC es común.
En un rectángulo los lados opuestos son iguales: $AB = CD$ y $BC = DA$ . Además, el lado $AC$ es común a los dos triángulos. Tres lados iguales → iguales por LLL. (También vale LAL: $AB = CD$ , $BC = DA$ y $\hat{B} = \hat{D} = 90^\circ$ .)
4. Media
Dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa de 13 cm y uno de los catetos de 5 cm. a) Calcula el otro cateto de cada uno. b) ¿Son iguales? ¿Por qué criterio?

Ver solución
a) 12 cm en los dos. b) Sí, por LLL (5, 12 y 13 cm).
a) Por el teorema de Pitágoras: $c = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm, en los dos triángulos. b) Los dos tienen lados de 5, 12 y 13 cm → iguales por LLL. (También por LAL: catetos de 5 y 12 cm y ángulo recto entre ellos.)
5. Difícil
Los triángulos $ABC$ y $DEF$ cumplen $\hat{A} = 40^\circ$ , $\hat{B} = 75^\circ$ , $AB = 6$ cm y $\hat{D} = 75^\circ$ , $\hat{E} = 65^\circ$ , $DE = 6$ cm. Lucía dice: «Tienen un lado de 6 cm y dos ángulos iguales, así que son iguales por ALA». ¿Tiene razón?

Ver solución
No: tienen los mismos ángulos, pero los lados de 6 cm no son homólogos. No son iguales (son semejantes).
Calculamos los terceros ángulos: $\hat{C} = 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ = 65^\circ$ y $\hat{F} = 180^\circ - 75^\circ - 65^\circ = 40^\circ$ . Los dos triángulos tienen ángulos de $40^\circ$ , $65^\circ$ y $75^\circ$ .

Pero el lado de 6 cm de $ABC$ ( $AB$ ) está entre los ángulos de $40^\circ$ y $75^\circ$ , mientras que el de $DEF$ ( $DE$ ) está entre los de $75^\circ$ y $65^\circ$ . No son lados homólogos, así que no se cumple ALA. Como los ángulos son iguales, los triángulos tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño: el lado de $ABC$ homólogo de $DE$ es $BC$ (entre $75^\circ$ y $65^\circ$ ), que es más corto que 6 cm porque está enfrente del ángulo menor, $\hat{A} = 40^\circ$ . Lucía no tiene razón.

Para practicar más

1. Fácil
Indica si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son iguales y por qué criterio: a) $AB = DE = 5$ cm, $\hat{B} = \hat{E} = 40^\circ$ , $BC = EF = 8$ cm. b) $AC = DF = 10$ cm, $\hat{A} = \hat{D} = 25^\circ$ , $\hat{C} = \hat{F} = 110^\circ$ . c) $AB = DE = 4$ cm, $BC = EF = 4$ cm, $CA = FD = 4$ cm. d) $\hat{A} = \hat{D} = 50^\circ$ , $\hat{C} = \hat{F} = 70^\circ$ , $AB = DE = 7$ cm.

Ver solución
a) LAL. b) ALA. c) LLL (equiláteros de 4 cm). d) ALA (tras calcular el tercer ángulo, 60°).
a) $\hat{B}$ está entre $AB$ y $BC$ → LAL. b) $AC$ está entre $\hat{A}$ y $\hat{C}$ → ALA. c) Tres lados iguales → LLL. d) $\hat{B} = \hat{E} = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$ . $AB$ está entre $\hat{A}$ y $\hat{B}$ , y $DE$ entre $\hat{D}$ y $\hat{E}$ → ALA.
2. Fácil
Los triángulos $RST$ y $KLM$ tienen $RS = 9$ cm, $ST = 6$ cm, $TR = 11$ cm, $KL = 11$ cm, $LM = 9$ cm y $MK = 6$ cm. a) ¿Son iguales? b) Empareja sus vértices. c) Si $\hat{T} = 55^\circ$ , ¿qué ángulo de $KLM$ mide $55^\circ$ ?

Ver solución
a) Sí, por LLL. b) R ↔ L, S ↔ M, T ↔ K. c) K̂.
a) Los dos tienen lados de 6, 9 y 11 cm → LLL. b) $R$ está entre 9 y 11 cm → en $KLM$ , entre $LM = 9$ y $KL = 11$ está $L$ . $S$ está entre 9 y 6 → $M$ (entre $LM = 9$ y $MK = 6$ ). $T$ está entre 6 y 11 → $K$ . Luego $RST \cong LMK$ . c) $\hat{K} = \hat{T} = 55^\circ$ .
3. Media
Dibuja dos triángulos distintos que tengan ángulos de $30^\circ$ , $60^\circ$ y $90^\circ$ : uno con la hipotenusa de 4 cm y otro con la hipotenusa de 6 cm. ¿Son iguales? ¿Qué te dice esto sobre los tres ángulos como criterio?

Ver solución
No son iguales (tienen la misma forma y distinto tamaño). Tres ángulos iguales no bastan para que dos triángulos sean iguales.
Los dos tienen los mismos ángulos, pero sus hipotenusas miden 4 cm y 6 cm: no se pueden superponer. Son semejantes (uno es una ampliación del otro), pero no iguales. Por eso «tres ángulos iguales» no es un criterio de igualdad: hace falta al menos un lado homólogo igual.
4. Media
Las dos escuadras metálicas que sujetan una balda de una estantería son triángulos rectángulos. En las dos, los catetos miden 30 cm (el vertical, pegado a la pared) y 40 cm (el horizontal, bajo la balda). a) ¿Son iguales las dos escuadras? ¿Por qué criterio? b) ¿Cuánto mide la barra inclinada (hipotenusa) de cada una?

Ver solución
a) Sí, por LAL (catetos de 30 y 40 cm con el ángulo recto entre ellos). b) 50 cm.
a) En las dos, los catetos de 30 cm y 40 cm forman un ángulo recto: dos lados y el ángulo comprendido → iguales por LAL. b) $h = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ cm. Como son iguales, la barra mide 50 cm en las dos.
5. Difícil
Un rectángulo $ABCD$ tiene $AB = 24$ cm y $BC = 10$ cm. a) Justifica que los triángulos $ABC$ y $BAD$ son iguales y di el criterio. b) Deduce que las dos diagonales, $AC$ y $BD$ , miden lo mismo y calcula su longitud.

Ver solución
a) Iguales por LAL (AB común, BC = AD, ángulos rectos en B y en A). b) AC = BD = 26 cm.
a) En $ABC$ y $BAD$ : el lado $AB$ es común; $BC = AD = 10$ cm (lados opuestos del rectángulo); $\hat{B} = \hat{A} = 90^\circ$ está entre ellos. Por LAL, $ABC \cong BAD$ . b) Los lados homólogos $AC$ (opuesto a $\hat{B}$ ) y $BD$ (opuesto a $\hat{A}$ ) son iguales. Por Pitágoras: $AC = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{676} = 26$ cm. Las dos diagonales miden 26 cm.

Triángulos iguales: criterios LLL, LAL y ALA