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Matemáticas 3.º ESO · Posiciones relativas de rectas y circunferencias

Tangentes y posiciones de dos circunferencias

Objetivo: Al terminar, sabrás usar que la tangente es perpendicular al radio para trazar y medir tangentes, y clasificar dos circunferencias según la distancia entre sus centros y sus radios.

Explicación

La tangente es perpendicular al radio

Si una recta $t$ es tangente a una circunferencia de centro $O$ en el punto $T$ , entonces el radio $OT$ es perpendicular a $t$ . (Es lógico: $T$ es el punto de $t$ más cercano a $O$ , y la distancia más corta a una recta es la perpendicular.)

Para trazar la tangente en un punto $T$ de la circunferencia: se dibuja el radio $OT$ y la perpendicular a él por $T$ .
Tangentes desde un punto exterior $P$ : se halla el punto medio $M$ del segmento $OP$ y se traza la circunferencia de centro $M$ que pasa por $O$ y por $P$ . Corta a la circunferencia dada en dos puntos $T_1$ y $T_2$ : las rectas $PT_1$ y $PT_2$ son las dos tangentes. (Funciona porque el ángulo $\widehat{OTP}$ , inscrito en una semicircunferencia, es recto.)
Como el triángulo $OTP$ es rectángulo en $T$ , la longitud del segmento de tangente se calcula con Pitágoras: $PT = \sqrt{OP^2 - r^2}$ .

Posiciones relativas de dos circunferencias

Sean $r_1 \ge r_2$ los radios y $d$ la distancia entre los centros. Se compara $d$ con la suma $r_1 + r_2$ y con la diferencia $r_1 - r_2$ :

Comparación	Posición	Puntos comunes
$d > r_1 + r_2$	Exteriores	0
$d = r_1 + r_2$	Tangentes exteriores	1
$r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$	Secantes	2
$d = r_1 - r_2$	Tangentes interiores	1
$d < r_1 - r_2$	Interiores (una dentro de otra)	0
$d = 0$	Concéntricas (caso particular de interiores)	0

Cuando dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta que une los centros.

Puntos clave

La tangente en $T$ es perpendicular al radio $OT$ .
Longitud de la tangente desde un punto exterior $P$ : $PT = \sqrt{OP^2 - r^2}$ .
Dos circunferencias: se compara la distancia entre centros $d$ con $r_1 + r_2$ y con $r_1 - r_2$ .
Tangentes exteriores: $d = r_1 + r_2$ ; tangentes interiores: $d = r_1 - r_2$ .
Secantes: $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ ; exteriores: $d > r_1 + r_2$ ; interiores: $d < r_1 - r_2$ .

Errores frecuentes

ErrorComparar la distancia entre centros solo con la suma de radios.
Cómo corregirloCompara también con la diferencia: si $d$ es menor que $r_1 - r_2$ , una circunferencia está dentro de la otra, no son secantes.
ErrorRestar los radios al revés y obtener una diferencia negativa.
Cómo corregirloResta siempre el radio mayor menos el menor.
ErrorAplicar Pitágoras a la tangente tomando $OP$ como cateto.
Cómo corregirloEl ángulo recto está en $T$ , así que la hipotenusa es $OP$ : $PT^2 = OP^2 - r^2$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Las seis posiciones numérico
Dos circunferencias tienen radios 5 cm y 3 cm. Indica su posición relativa si la distancia entre sus centros es: a) 10 cm; b) 8 cm; c) 5 cm; d) 2 cm; e) 1 cm; f) 0 cm.

Resolución
Suma: $5 + 3 = 8$ cm. Diferencia: $5 - 3 = 2$ cm. a) $10 > 8$ → exteriores. b) $8 = 8$ → tangentes exteriores. c) $2 < 5 < 8$ → secantes. d) $2 = 2$ → tangentes interiores. e) $1 < 2$ → interiores. f) $d = 0$ → concéntricas.
Ejemplo 2. Dos monedas sobre la mesa situación real
Una moneda de 2 € tiene unos 25,75 mm de diámetro y una de 1 €, unos 23,25 mm. a) Si las pones sobre la mesa tocándose por el borde, ¿a qué distancia están sus centros? b) Si pones la de 1 € encima de la de 2 €, con los centros a 1 mm, y las miras desde arriba, ¿qué posición tienen sus bordes?

Resolución
Radios: $r_1 = 25{,}75 : 2 = 12{,}875$ mm y $r_2 = 23{,}25 : 2 = 11{,}625$ mm. a) Tocándose por fuera son tangentes exteriores: $d = r_1 + r_2 = 12{,}875 + 11{,}625 = 24{,}5$ mm. b) Diferencia: $12{,}875 - 11{,}625 = 1{,}25$ mm. Como $d = 1 < 1{,}25$ , los bordes son interiores: se ve el borde de la de 2 € rodeando por completo a la de 1 €.
Ejemplo 3. La longitud de una tangente gráfico y numérico
Una circunferencia tiene centro $O$ y radio 9 cm. Un punto $P$ está a 15 cm de $O$ . a) Explica cómo se trazan las tangentes desde $P$ . b) Calcula la longitud del segmento de tangente $PT$ .

Resolución
a) Se halla el punto medio $M$ de $OP$ y se traza la circunferencia de centro $M$ y radio $MO = 7{,}5$ cm. Corta a la circunferencia dada en $T_1$ y $T_2$ ; las rectas $PT_1$ y $PT_2$ son las tangentes. b) El radio $OT$ es perpendicular a la tangente, así que $OTP$ es un triángulo rectángulo en $T$ con hipotenusa $OP$ : $PT = \sqrt{OP^2 - OT^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\ \text{cm}$ Los dos segmentos de tangente, $PT_1$ y $PT_2$ , miden lo mismo: 12 cm.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica la posición relativa de cada par de circunferencias ( $r_1$ y $r_2$ son los radios y $d$ la distancia entre centros, en cm): a) $r_1 = 7$ , $r_2 = 3$ , $d = 12$ b) $r_1 = 7$ , $r_2 = 3$ , $d = 4$ c) $r_1 = 5$ , $r_2 = 5$ , $d = 6$ d) $r_1 = 8$ , $r_2 = 2$ , $d = 5$ e) $r_1 = 4{,}5$ , $r_2 = 2{,}5$ , $d = 7$

Ver solución
a) Exteriores. b) Tangentes interiores. c) Secantes. d) Interiores. e) Tangentes exteriores.
a) Suma 10, $12 > 10$ → exteriores. b) Diferencia $7 - 3 = 4 = d$ → tangentes interiores. c) Suma 10, diferencia 0: $0 < 6 < 10$ → secantes. d) Diferencia $8 - 2 = 6$ ; $5 < 6$ → interiores. e) Suma $4{,}5 + 2{,}5 = 7 = d$ → tangentes exteriores.
2. Media
Dos circunferencias tienen radios 9 cm y 4 cm. ¿A qué distancia deben estar sus centros para que sean tangentes exteriores? ¿Y tangentes interiores? ¿Entre qué valores debe estar esa distancia para que sean secantes?

Ver solución
13 cm; 5 cm; entre 5 y 13 cm.
Tangentes exteriores: $d = 9 + 4 = 13$ cm. Tangentes interiores: $d = 9 - 4 = 5$ cm. Secantes: $5 < d < 13$ cm.
3. Media
Desde un punto $P$ situado a 25 cm del centro de una circunferencia de radio 7 cm se traza una tangente que la toca en $T$ . ¿Cuánto mide $PT$ ?

Ver solución
24 cm.
El triángulo $OTP$ es rectángulo en $T$ : $PT = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\ \text{cm}$
4. Difícil
Una circunferencia de radio 3 cm y otra de radio desconocido tienen sus centros a 8 cm. a) ¿Cuánto mide el otro radio si son tangentes exteriores? b) ¿Y si son tangentes interiores (la de radio 3 cm dentro de la otra)?

Ver solución
a) 5 cm. b) 11 cm.
a) $3 + r = 8 \Rightarrow r = 5$ cm. b) $r - 3 = 8 \Rightarrow r = 11$ cm.

Para practicar más

1. Fácil
Dos circunferencias tienen radios 6 cm y 2 cm. Indica su posición relativa si la distancia entre los centros es: a) 9 cm; b) 8 cm; c) 7 cm; d) 4 cm; e) 3 cm.

Ver solución
a) Exteriores. b) Tangentes exteriores. c) Secantes. d) Tangentes interiores. e) Interiores.
Suma $6 + 2 = 8$ ; diferencia $6 - 2 = 4$ . a) $9 > 8$ → exteriores. b) $8 = 8$ → tangentes exteriores. c) $4 < 7 < 8$ → secantes. d) $4 = 4$ → tangentes interiores. e) $3 < 4$ → interiores.
2. Media
Tres monedas iguales de 2 cm de radio están sobre una mesa, cada una tocando a las otras dos. a) ¿Qué posición relativa tiene cada par de bordes? b) ¿Qué figura forman los tres centros? ¿Cuánto mide su perímetro?

Ver solución
a) Tangentes exteriores. b) Un triángulo equilátero de 4 cm de lado; perímetro 12 cm.
a) Cada par se toca por fuera: tangentes exteriores, con $d = 2 + 2 = 4$ cm. b) Los tres centros están a 4 cm entre sí: triángulo equilátero de lado 4 cm, perímetro $3 \cdot 4 = 12$ cm.
3. Media
Una circunferencia tiene radio 8 cm. Desde un punto exterior $P$ se traza una tangente y el segmento de tangente mide 15 cm. ¿A qué distancia está $P$ del centro?

Ver solución
17 cm.
Triángulo rectángulo en $T$ con catetos $OT = 8$ cm y $PT = 15$ cm: $OP = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\ \text{cm}$
4. Difícil
Una circunferencia tiene radio 2 cm y otra, radio $R$ (mayor que 2 cm). Sus centros están a 7 cm. a) ¿Qué valor debe tener $R$ para que sean tangentes exteriores? ¿Y tangentes interiores? b) ¿Para qué valores de $R$ son secantes? ¿Y cuándo la pequeña queda dentro de la grande sin tocarla?

Ver solución
a) 5 cm; 9 cm. b) Secantes si 5 < R < 9; interiores si R > 9.
a) Tangentes exteriores: $R + 2 = 7 \Rightarrow R = 5$ cm. Tangentes interiores: $R - 2 = 7 \Rightarrow R = 9$ cm. b) Secantes: $R - 2 < 7 < R + 2$ , es decir, $5 < R < 9$ cm. Interiores: $7 < R - 2$ , es decir, $R > 9$ cm.