Razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y tangente

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorTomar como cateto opuesto el que forma el ángulo.

  Cómo corregirloMarca el ángulo con un arco: el cateto opuesto es el que no lo toca.

• ErrorDividir la hipotenusa entre un cateto (y obtener un seno mayor que 1).

  Cómo corregirloLa hipotenusa siempre va en el denominador del seno y del coseno; si te sale más de 1, revisa.

• ErrorPensar que en un triángulo más grande las razones son mayores.

  Cómo corregirloSi el ángulo es el mismo, los triángulos son semejantes y los cocientes no cambian.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Las razones de los dos ángulos agudos numérico

   Un triángulo rectángulo tiene catetos de 20 cm y 21 cm. Llama $\alpha$ al ángulo opuesto al cateto de 20 cm y $\beta$ al opuesto al de 21 cm. Calcula las razones trigonométricas de $\alpha$ y de $\beta$.

   Resolución

   Hipotenusa (Pitágoras): $\sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{841} = 29$ cm.

   	sen	cos	tg
   $\alpha$	$\dfrac{20}{29} \approx 0{,}6897$	$\dfrac{21}{29} \approx 0{,}7241$	$\dfrac{20}{21} \approx 0{,}9524$
   $\beta$	$\dfrac{21}{29} \approx 0{,}7241$	$\dfrac{20}{29} \approx 0{,}6897$	$\dfrac{21}{20} = 1{,}05$

   Observa: el cateto opuesto a $\alpha$ es el contiguo a $\beta$, por eso $\text{sen}\,\alpha = \cos\beta$ y $\cos\alpha = \text{sen}\,\beta$.

2. Ejemplo 2. Dos triángulos en la cuadrícula gráfico (cuadrícula y semejanza)

   En papel cuadriculado se dibujan los puntos $O(0, 0)$, $P(8, 0)$ y $Q(8, 6)$, y también $P'(4, 0)$ y $Q'(4, 3)$. Los triángulos $OPQ$ y $OP'Q'$ son rectángulos (en $P$ y en $P'$) y comparten el ángulo $\alpha$ en $O$. Calcula las razones de $\alpha$ en cada triángulo.

   Resolución

   Triángulo grande $OPQ$: cateto contiguo $OP = 8$, cateto opuesto $PQ = 6$, hipotenusa $OQ = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. $$\text{sen}\,\alpha = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \qquad \cos\alpha = \dfrac{8}{10} = 0{,}8 \qquad \text{tg}\,\alpha = \dfrac{6}{8} = 0{,}75$$ Triángulo pequeño $OP'Q'$: contiguo 4, opuesto 3, hipotenusa $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$. $$\text{sen}\,\alpha = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \cos\alpha = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 \qquad \text{tg}\,\alpha = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$$ Los resultados coinciden: los triángulos son semejantes (razón 2) y las razones solo dependen del ángulo.

3. Ejemplo 3. La rampa mecánica del centro comercial situación real (pendiente)

   Una rampa mecánica de un centro comercial sube de una planta a otra salvando un desnivel de 4,5 m con un recorrido horizontal de 36 m. a) ¿Qué longitud tiene la rampa? b) Calcula las razones trigonométricas de su ángulo de inclinación $\alpha$. c) ¿Qué pendiente tiene, en porcentaje?

   Resolución

   a) Longitud (hipotenusa): $\sqrt{36^2 + 4{,}5^2} = \sqrt{1316{,}25} \approx 36{,}28$ m.

   b) Opuesto: 4,5 m (desnivel); contiguo: 36 m (horizontal). $$\text{sen}\,\alpha = \dfrac{4{,}5}{36{,}28} \approx 0{,}1240 \qquad \cos\alpha = \dfrac{36}{36{,}28} \approx 0{,}9923 \qquad \text{tg}\,\alpha = \dfrac{4{,}5}{36} = 0{,}125$$

   c) La pendiente es la tangente: $0{,}125 = 12{,}5\ \%$ (sube 12,5 cm por cada metro en horizontal).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   En un triángulo $ABC$ rectángulo en $A$, la hipotenusa mide $a = 41$ cm y los catetos $b = 9$ cm y $c = 40$ cm. Calcula las razones trigonométricas de $\widehat{B}$ y de $\widehat{C}$.

   Ver solución

   $\text{sen}\,\widehat{B} = \tfrac{9}{41} \approx 0{,}2195$; $\cos\widehat{B} = \tfrac{40}{41} \approx 0{,}9756$; $\text{tg}\,\widehat{B} = \tfrac{9}{40} = 0{,}225$; $\text{sen}\,\widehat{C} = \tfrac{40}{41}$; $\cos\widehat{C} = \tfrac{9}{41}$; $\text{tg}\,\widehat{C} = \tfrac{40}{9} \approx 4{,}4444$

   Para $\widehat{B}$: opuesto $b = 9$, contiguo $c = 40$: $\text{sen}\,\widehat{B} = \dfrac{9}{41} \approx 0{,}2195$, $\cos\widehat{B} = \dfrac{40}{41} \approx 0{,}9756$, $\text{tg}\,\widehat{B} = \dfrac{9}{40} = 0{,}225$. Para $\widehat{C}$: opuesto $c = 40$, contiguo $b = 9$: $\text{sen}\,\widehat{C} = \dfrac{40}{41} \approx 0{,}9756$, $\cos\widehat{C} = \dfrac{9}{41} \approx 0{,}2195$, $\text{tg}\,\widehat{C} = \dfrac{40}{9} \approx 4{,}4444$.

2. 2. Media

   Dibuja en papel cuadriculado el triángulo de vértices $O(1, 1)$, $P(8, 1)$ y $Q(8, 5)$, rectángulo en $P$. Calcula las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ que tiene en $O$.

   Ver solución

   $\text{sen}\,\alpha \approx 0{,}4961$; $\cos\alpha \approx 0{,}8682$; $\text{tg}\,\alpha = \tfrac{4}{7} \approx 0{,}5714$

   Contiguo $OP = 7$, opuesto $PQ = 4$. Hipotenusa: $OQ = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65} \approx 8{,}06$. $\text{sen}\,\alpha = \dfrac{4}{\sqrt{65}} \approx 0{,}4961$; $\cos\alpha = \dfrac{7}{\sqrt{65}} \approx 0{,}8682$; $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{4}{7} \approx 0{,}5714$.

3. 3. Media

   La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 65 cm y uno de sus catetos, 33 cm. Calcula las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ opuesto a ese cateto.

   Ver solución

   $\text{sen}\,\alpha \approx 0{,}5077$; $\cos\alpha \approx 0{,}8615$; $\text{tg}\,\alpha = \tfrac{33}{56} \approx 0{,}5893$

   Otro cateto: $\sqrt{65^2 - 33^2} = \sqrt{3136} = 56$ cm. $\text{sen}\,\alpha = \dfrac{33}{65} \approx 0{,}5077$; $\cos\alpha = \dfrac{56}{65} \approx 0{,}8615$; $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{33}{56} \approx 0{,}5893$.

4. 4. Media

   En un parque de aventura, el cable de una tirolina mide 37 m y está tenso. Su punto de salida está 12 m más alto que el de llegada. a) ¿Qué distancia horizontal hay entre la salida y la llegada? b) Calcula el seno, el coseno y la tangente del ángulo $\alpha$ que forma el cable con la horizontal.

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   a) 35 m. b) $\text{sen}\,\alpha \approx 0{,}3243$; $\cos\alpha \approx 0{,}9459$; $\text{tg}\,\alpha \approx 0{,}3429$

   a) $x = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1225} = 35$ m. b) Opuesto a $\alpha$: el desnivel (12 m); contiguo: la distancia horizontal (35 m); hipotenusa: el cable (37 m). $\text{sen}\,\alpha = \dfrac{12}{37} \approx 0{,}3243$; $\cos\alpha = \dfrac{35}{37} \approx 0{,}9459$; $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{12}{35} \approx 0{,}3429$.

5. 5. Difícil

   a) ¿Puede haber un ángulo agudo con $\text{sen}\,\alpha = 1{,}2$? ¿Y con $\text{tg}\,\alpha = 1{,}2$? Razónalo. b) Sabiendo que $\text{tg}\,\alpha = 2$, dibuja un triángulo rectángulo con ese ángulo y calcula $\text{sen}\,\alpha$ y $\cos\alpha$.

   Ver solución

   a) Seno 1,2: no; tangente 1,2: sí. b) $\text{sen}\,\alpha = \tfrac{2}{\sqrt{5}} \approx 0{,}8944$; $\cos\alpha = \tfrac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}4472$

   a) El seno es cateto/hipotenusa y el cateto es menor que la hipotenusa: el seno es menor que 1, así que $\text{sen}\,\alpha = 1{,}2$ es imposible. La tangente es cateto/cateto y puede ser mayor que 1 (opuesto mayor que contiguo): $\text{tg}\,\alpha = 1{,}2$ sí es posible. b) $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{2}{1}$: un triángulo con cateto opuesto 2 y contiguo 1. Hipotenusa: $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. $\text{sen}\,\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \approx 0{,}8944$; $\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}4472$. (Con catetos 4 y 2, o 6 y 3, sale lo mismo.)

Para practicar más

1. 1. Fácil

   En un triángulo $ABC$ rectángulo en $A$, la hipotenusa mide $a = 61$ mm y el cateto $b = 11$ mm. Calcula el cateto $c$ y las razones trigonométricas de $\widehat{B}$ y de $\widehat{C}$.

   Ver solución

   $c = 60$ mm. $\text{sen}\,\widehat{B} \approx 0{,}1803$; $\cos\widehat{B} \approx 0{,}9836$; $\text{tg}\,\widehat{B} \approx 0{,}1833$; $\text{sen}\,\widehat{C} \approx 0{,}9836$; $\cos\widehat{C} \approx 0{,}1803$; $\text{tg}\,\widehat{C} \approx 5{,}4545$

   $c = \sqrt{61^2 - 11^2} = \sqrt{3600} = 60$ mm. $\text{sen}\,\widehat{B} = \dfrac{11}{61} \approx 0{,}1803$; $\cos\widehat{B} = \dfrac{60}{61} \approx 0{,}9836$; $\text{tg}\,\widehat{B} = \dfrac{11}{60} \approx 0{,}1833$. $\text{sen}\,\widehat{C} = \dfrac{60}{61} \approx 0{,}9836$; $\cos\widehat{C} = \dfrac{11}{61} \approx 0{,}1803$; $\text{tg}\,\widehat{C} = \dfrac{60}{11} \approx 5{,}4545$.

2. 2. Fácil

   Dibuja en papel cuadriculado el triángulo de vértices $O(0, 0)$, $P(5, 0)$ y $Q(5, 3)$. Calcula las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ en $O$.

   Ver solución

   $\text{sen}\,\alpha \approx 0{,}5145$; $\cos\alpha \approx 0{,}8575$; $\text{tg}\,\alpha = 0{,}6$

   Contiguo 5, opuesto 3, hipotenusa $\sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$. $\text{sen}\,\alpha = \dfrac{3}{\sqrt{34}} \approx 0{,}5145$; $\cos\alpha = \dfrac{5}{\sqrt{34}} \approx 0{,}8575$; $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.

3. 3. Media

   El mástil central de una carpa de fiestas se sujeta con una cuerda de 5,3 m que va desde lo alto del mástil hasta una estaca clavada en el suelo a 2,8 m del pie del mástil. a) ¿Qué altura tiene el mástil? b) Calcula las razones trigonométricas del ángulo que forma la cuerda con el suelo.

   Ver solución

   a) 4,5 m. b) $\text{sen} \approx 0{,}8491$; $\cos \approx 0{,}5283$; $\text{tg} \approx 1{,}6071$

   a) $h = \sqrt{5{,}3^2 - 2{,}8^2} = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5$ m. b) $\text{sen}\,\alpha = \dfrac{4{,}5}{5{,}3} \approx 0{,}8491$; $\cos\alpha = \dfrac{2{,}8}{5{,}3} \approx 0{,}5283$; $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{4{,}5}{2{,}8} \approx 1{,}6071$.

4. 4. Media

   Una señal de tráfico avisa de una pendiente del 12 % en una carretera de la sierra de Madrid. a) ¿Cuál es la tangente del ángulo de inclinación $\alpha$? b) Por cada 100 m recorridos en horizontal, ¿cuántos metros se recorren sobre la carretera? c) Calcula $\text{sen}\,\alpha$ y $\cos\alpha$. d) ¿Cuánto sube un coche que avanza 2 km en horizontal?

   Ver solución

   a) 0,12. b) ≈ 100,72 m. c) $\text{sen}\,\alpha \approx 0{,}1191$; $\cos\alpha \approx 0{,}9929$. d) 240 m

   a) Pendiente del 12 %: sube 12 m por cada 100 m en horizontal; $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{12}{100} = 0{,}12$. b) $\sqrt{100^2 + 12^2} = \sqrt{10\,144} \approx 100{,}72$ m. c) $\text{sen}\,\alpha = \dfrac{12}{100{,}72} \approx 0{,}1191$; $\cos\alpha = \dfrac{100}{100{,}72} \approx 0{,}9929$. d) $2000 \cdot 0{,}12 = 240$ m.

5. 5. Difícil

   Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 7 cm, y otro, catetos de 7,5 cm y 17,5 cm. a) Calcula la tangente del ángulo opuesto al cateto menor en cada uno. b) ¿Qué puedes decir de esos ángulos? ¿Por qué ocurre? c) Comprueba que también coinciden los senos.

   Ver solución

   a) Las dos valen $\tfrac{3}{7} \approx 0{,}4286$. b) Son iguales: los triángulos son semejantes (razón 2,5). c) Los dos senos valen ≈ 0,3939

   a) $\dfrac{3}{7} \approx 0{,}4286$ y $\dfrac{7{,}5}{17{,}5} = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}4286$. b) Tienen la misma tangente, así que son el mismo ángulo. Los lados del segundo son los del primero multiplicados por 2,5: son triángulos semejantes. c) Hipotenusas: $\sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58} \approx 7{,}62$ cm y $\sqrt{7{,}5^2 + 17{,}5^2} \approx 19{,}04$ cm (que es $2{,}5 \cdot \sqrt{58}$). Senos: $\dfrac{3}{\sqrt{58}} \approx 0{,}3939$ y $\dfrac{7{,}5}{19{,}04} \approx 0{,}3939$.