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Matemáticas 3.º ESO · Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Problemas encadenados con Pitágoras: cuerdas, tangentes y figuras inscritas

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas que encadenan varios triángulos rectángulos o que exigen plantear una ecuación con el teorema de Pitágoras: distancias a cuerdas, tangentes y figuras inscritas en una circunferencia.

Explicación

Cómo atacar un problema de Pitágoras «con varios pasos»

Dibuja la figura con los datos y marca los ángulos rectos.
Busca triángulos rectángulos escondidos: a veces hay que trazar un radio, una altura o una perpendicular.
Decide en qué orden usarlos: el resultado de un triángulo es un dato del siguiente (problemas encadenados).
Si la incógnita aparece en dos lados del mismo triángulo, llámala $x$ y plantea una ecuación.
Comprueba que el resultado tiene sentido (la hipotenusa es el lado mayor, las longitudes son positivas).

Configuraciones que conviene reconocer

Cuerda de una circunferencia. La perpendicular desde el centro a una cuerda la corta por la mitad. Con el radio $r$ , la distancia del centro a la cuerda $d$ y la mitad de la cuerda $\frac{c}{2}$ : $r^2 = d^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2$

Tangente desde un punto exterior. El radio $OT$ es perpendicular a la tangente en $T$ : $OP^2 = r^2 + PT^2$

Figuras inscritas en una circunferencia.

Rectángulo inscrito: su diagonal es un diámetro.
Cuadrado inscrito en una circunferencia de radio $r$ : su diagonal mide $2r$ , así que su lado mide $l = r\sqrt{2}$ .

Ecuación. Ejemplo: si un cateto mide $x$ y la hipotenusa $x + 2$ , se plantea $x^2 + c^2 = (x + 2)^2$ y, al desarrollar, el $x^2$ se va y queda una ecuación de primer grado. Si los dos catetos dependen de $x$ , sale una ecuación de segundo grado.

Puntos clave

Busca o traza el triángulo rectángulo: un radio, una altura o una perpendicular.
Cuerda: $r^2 = d^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2$ .
Tangente: $OP^2 = r^2 + PT^2$ (ángulo recto en el punto de tangencia).
Rectángulo inscrito: la diagonal es un diámetro. Cuadrado inscrito: $l = r\sqrt{2}$ .
Si la incógnita está en dos lados, plantea una ecuación con Pitágoras y descarta las soluciones negativas.

Errores frecuentes

ErrorUsar la cuerda entera como cateto.
Cómo corregirloLa perpendicular desde el centro divide la cuerda en dos mitades: el cateto es $c/2$ .
ErrorDesarrollar $(x + 2)^2$ como $x^2 + 4$ .
Cómo corregirloEs una identidad notable: $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ .
ErrorDar como válida una solución negativa de la ecuación.
Cómo corregirloUna longitud no puede ser negativa: descártala.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Cabe el camión por el túnel? situación real (cuerda)
Un túnel tiene forma de semicírculo de 5 m de radio. Un camión de 4 m de ancho circula justo por el centro del túnel. ¿Qué altura máxima puede tener el camión para pasar? Redondea a los centímetros.

Resolución
Dibujamos el semicírculo con su centro $O$ en el suelo. Las esquinas superiores del camión están a $4 : 2 = 2$ m del centro en horizontal y deben quedar por debajo del techo.

En la esquina justo en el techo se forma un triángulo rectángulo con:
- hipotenusa: el radio, 5 m (del centro $O$ al techo);
- cateto horizontal: 2 m;
- cateto vertical: la altura $h$ . $h = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21} \approx 4{,}58\ \text{m}$ El camión puede medir como mucho unos 4,58 m de alto (en la práctica, algo menos por seguridad).
Ejemplo 2. El árbol partido ecuación
Un árbol de 16 m de altura se parte por una tormenta. La parte de arriba queda doblada y su copa toca el suelo a 8 m del pie del tronco. ¿A qué altura se partió?

Resolución
Llamamos $x$ a la altura del punto donde se partió. La parte que se dobla mide $16 - x$ y es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $x$ (el tronco que queda en pie) y 8 m (en el suelo): $x^2 + 8^2 = (16 - x)^2$ $x^2 + 64 = 256 - 32x + x^2$ $32x = 192 \;\Rightarrow\; x = 6\ \text{m}$ Comprobación: la parte doblada mide $16 - 6 = 10$ m y $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$ . ✔

Se partió a 6 m de altura.
Ejemplo 3. Un cuadrado dentro de un círculo figura inscrita (encadenado)
Se dibuja un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio (sus cuatro vértices están sobre la circunferencia). a) Calcula el lado del cuadrado. b) Calcula el área de la parte del círculo que queda fuera del cuadrado.

Resolución
a) La diagonal del cuadrado es un diámetro: $d = 2 \cdot 5 = 10$ cm. Si el lado es $l$ : $l^2 + l^2 = 10^2 \Rightarrow 2l^2 = 100 \Rightarrow l^2 = 50 \Rightarrow l = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07\ \text{cm}$ b) Área del cuadrado: $l^2 = 50\ \text{cm}^2$ . Área del círculo: $\pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78{,}54\ \text{cm}^2$ . Parte fuera del cuadrado: $25\pi - 50 \approx 28{,}54\ \text{cm}^2$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En una circunferencia de 17 cm de radio se traza una cuerda de 30 cm. ¿A qué distancia está la cuerda del centro?

Ver solución
8 cm.
Mitad de la cuerda: 15 cm. $d = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ cm.
2. Fácil
Desde un punto $P$ situado a 20 cm del centro de una circunferencia de 12 cm de radio se traza una tangente que toca la circunferencia en $T$ . Calcula la longitud de $PT$ .

Ver solución
16 cm.
El radio $OT$ es perpendicular a la tangente: triángulo rectángulo en $T$ con hipotenusa $OP = 20$ cm. $PT = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ cm.
3. Media
La diagonal de un rectángulo mide 29 cm y uno de sus lados mide 1 cm más que el otro. Calcula sus lados.

Ver solución
20 cm y 21 cm.
Lados $x$ y $x + 1$ : $x^2 + (x + 1)^2 = 29^2$ $2x^2 + 2x + 1 = 841 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 840 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 420 = 0$ $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 1680}}{2} = \dfrac{-1 \pm 41}{2} \Rightarrow x = 20$ (la solución $x = -21$ no vale). Lados: 20 cm y 21 cm. Comprobación: $400 + 441 = 841 = 29^2$ . ✔
4. Media
Un rectángulo de 16 cm × 12 cm está inscrito en una circunferencia. a) Calcula el radio de la circunferencia. b) Calcula el área de la parte del círculo que queda fuera del rectángulo.

Ver solución
a) 10 cm. b) 100π − 192 ≈ 122,16 cm².
a) La diagonal es un diámetro: $\sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{400} = 20$ cm → radio 10 cm. b) $\pi \cdot 10^2 - 16 \cdot 12 = 100\pi - 192 \approx 314{,}16 - 192 = 122{,}16\ \text{cm}^2$ .
5. Difícil
En una circunferencia de 25 cm de radio se trazan dos cuerdas paralelas de 48 cm y 14 cm. ¿A qué distancia están entre sí si quedan al mismo lado del centro? ¿Y si quedan a lados opuestos?

Ver solución
17 cm; 31 cm.
Distancia del centro a la cuerda de 48 cm: $\sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7$ cm. Distancia del centro a la cuerda de 14 cm: $\sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$ cm. Mismo lado: $24 - 7 = 17$ cm. Lados opuestos: $24 + 7 = 31$ cm.
6. Difícil
Dos torres de 30 m y 20 m de altura están a 50 m de distancia. Entre ellas hay una fuente. Dos pájaros salen a la vez de lo alto de cada torre, vuelan en línea recta a la misma velocidad y llegan a la vez a la fuente. ¿A qué distancia de la torre de 30 m está la fuente? ¿Cuánto vuela cada pájaro? (Es un problema de Fibonacci, del siglo XIII.)

Ver solución
A 20 m de la torre de 30 m; cada pájaro vuela unos 36,06 m.
Llamamos $x$ a la distancia de la fuente al pie de la torre de 30 m; hasta la otra torre hay $50 - x$ . Los dos vuelos miden lo mismo: $x^2 + 30^2 = (50 - x)^2 + 20^2$ $x^2 + 900 = 2500 - 100x + x^2 + 400 \;\Rightarrow\; 100x = 2000 \;\Rightarrow\; x = 20\ \text{m}$ Vuelo: $\sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{1300} \approx 36{,}06$ m. Comprobación: $\sqrt{30^2 + 20^2} = \sqrt{1300}$ . ✔

Para practicar más

1. Fácil
En una circunferencia de 7,5 cm de radio hay una cuerda de 9 cm. ¿A qué distancia está del centro?

Ver solución
6 cm.
Mitad de la cuerda: 4,5 cm. $d = \sqrt{7{,}5^2 - 4{,}5^2} = \sqrt{56{,}25 - 20{,}25} = \sqrt{36} = 6$ cm.
2. Media
Un cateto de un triángulo rectángulo mide 24 cm y la hipotenusa mide 12 cm más que el otro cateto. Calcula los lados que faltan.

Ver solución
Cateto 18 cm; hipotenusa 30 cm.
Cateto $x$ , hipotenusa $x + 12$ : $x^2 + 24^2 = (x + 12)^2$ $x^2 + 576 = x^2 + 24x + 144 \Rightarrow 24x = 432 \Rightarrow x = 18$ cm. Hipotenusa: 30 cm. Comprobación: $18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 = 30^2$ . ✔
3. Media
El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 4 cm. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia? Da el valor exacto y aproximado.

Ver solución
2√2 ≈ 2,83 cm.
Diagonal del cuadrado (= diámetro): $\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm. Radio: $2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ cm.
4. Difícil
Hasta dónde se ve. Desde el mirador del Faro de Moncloa, a unos 92 m de altura, la visual que roza el horizonte es tangente a la Tierra. Tomando el radio de la Tierra como 6371 km, ¿a qué distancia está el horizonte (sin contar montañas ni edificios)?

Ver solución
A unos 34 km.
Triángulo rectángulo en el punto de tangencia $T$ : el cateto $OT$ es el radio terrestre, $r = 6371$ km, y la hipotenusa es la distancia del centro de la Tierra al mirador, $6371 + 0{,}092 = 6371{,}092$ km. $PT = \sqrt{6371{,}092^2 - 6371^2} \approx \sqrt{1172{,}27} \approx 34{,}2\ \text{km}$ Se ve el horizonte a unos 34 km.
5. Difícil
Espiral de Teodoro. Se dibuja un triángulo rectángulo con catetos de 1 cm. Sobre su hipotenusa, como cateto, se dibuja otro triángulo rectángulo cuyo otro cateto mide 1 cm, y así sucesivamente. a) Calcula las hipotenusas de los cuatro primeros triángulos. b) ¿Cuánto mide la hipotenusa del quinto triángulo? c) ¿Qué triángulo es el primero cuya hipotenusa mide 4 cm?

Ver solución
a) √2, √3, 2 y √5 cm. b) √6 ≈ 2,45 cm. c) El 15.º
a) $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ ; $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1} = \sqrt{3}$ ; $\sqrt{3 + 1} = 2$ ; $\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ . b) En cada paso se suma 1 bajo la raíz: el triángulo número $n$ tiene hipotenusa $\sqrt{n + 1}$ . El quinto: $\sqrt{6} \approx 2{,}45$ cm. c) $\sqrt{n + 1} = 4 \Rightarrow n + 1 = 16 \Rightarrow n = 15$ : el 15.º triángulo.