Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U10 · Geometría plana: Pitágoras, Tales, áreas y trigonometría básica

Matemáticas 3.º ESO · Áreas de figuras circulares y compuestas

Recuerda: áreas y perímetros de figuras compuestas

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el área y el perímetro de figuras compuestas descomponiéndolas en figuras conocidas (o completándolas y restando).

Recuerda

Las fórmulas que ya conoces

Figura	Área
Rectángulo (base $b$ , altura $h$ )	$A = b \cdot h$
Cuadrado (lado $l$ )	$A = l^2$
Triángulo	$A = \dfrac{b \cdot h}{2}$
Romboide	$A = b \cdot h$
Rombo (diagonales $D$ y $d$ )	$A = \dfrac{D \cdot d}{2}$
Trapecio (bases $B$ y $b$ )	$A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$
Polígono regular (perímetro $P$ , apotema $a$ )	$A = \dfrac{P \cdot a}{2}$

Figuras compuestas

Una figura compuesta está formada por varias figuras conocidas. Para hallar su área hay dos estrategias:

Descomponer y sumar: se divide en figuras conocidas y se suman sus áreas.
Completar y restar: se completa hasta una figura conocida (por ejemplo, un rectángulo) y se restan las partes que sobran.

El perímetro es la longitud del borde exterior: las líneas que trazamos para descomponer no cuentan. Si algún lado es inclinado y no te dan su medida, no se puede contar en la cuadrícula: hace falta el teorema de Pitágoras (se estudia en 2.º ESO).

Paso a paso

Dibuja la figura y escribe sobre ella todas las medidas que conoces.
Decide cómo la vas a partir (o qué figura vas a completar).
Calcula las medidas que faltan sumando o restando las que tienes (por ejemplo, $7 - 3 = 4$ m).
Calcula el área de cada parte y suma (o resta).
Para el perímetro, recorre el borde de fuera tramo a tramo.

Puntos clave

Área de una figura compuesta = suma de las áreas de las partes (o figura completa menos lo que sobra).
El perímetro solo cuenta el borde exterior.
Las medidas que faltan se deducen de las que se conocen (restando lados o con Pitágoras).
En una cuadrícula, cada cuadro es una unidad de área.

Errores frecuentes

ErrorSumar en el perímetro las líneas interiores usadas para descomponer.
Cómo corregirloRepasa con el dedo el contorno de la figura y suma solo esos tramos.
ErrorOlvidar dividir entre 2 en el área del triángulo o del trapecio.
Cómo corregirloEscribe siempre la fórmula antes de sustituir.
ErrorContar dos veces una zona al descomponer.
Cómo corregirloMarca cada parte con un color o una letra; las partes no deben solaparse.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El plano de un salón en forma de L situación real (dos estrategias)
La planta de un salón tiene forma de L: es un rectángulo de 7 m de largo y 5 m de ancho al que le falta la esquina superior derecha, un rectángulo de 3 m (horizontal) × 2 m (vertical). Calcula su área y su perímetro.

Resolución
Descomponiendo: una franja inferior de $7 \cdot 3 = 21\ \text{m}^2$ y un rectángulo superior de $4 \cdot 2 = 8\ \text{m}^2$ . Área: $21 + 8 = 29\ \text{m}^2$ .

Completando: rectángulo completo $7 \cdot 5 = 35\ \text{m}^2$ menos la esquina $3 \cdot 2 = 6\ \text{m}^2$ : $35 - 6 = 29\ \text{m}^2$ . ✔

Perímetro: recorremos el borde: $7 + 3 + 3 + 2 + 4 + 5 = 24$ m.
Ejemplo 2. Una figura en la cuadrícula gráfico (cuadrícula y Pitágoras)
Calcula el área (en cuadros) y el perímetro (en lados de cuadro) del pentágono que tiene, en una cuadrícula, los vértices $(0, 0)$ , $(6, 0)$ , $(6, 3)$ , $(3, 5)$ y $(0, 3)$ .

Resolución
Es un rectángulo de $6 \times 3$ con un triángulo encima de base 6 y altura 2.
- Área: $6 \cdot 3 + \dfrac{6 \cdot 2}{2} = 18 + 6 = 24$ cuadros.
- Los dos lados inclinados son hipotenusas de triángulos rectángulos de catetos 3 y 2: $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$ .
- Perímetro: $6 + 3 + 3 + 2\sqrt{13} = 12 + 2\sqrt{13} \approx 19{,}21$ lados de cuadro.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dibuja en papel cuadriculado (cuadros de 1 cm) la flecha de vértices $(0, 1)$ , $(5, 1)$ , $(5, 0)$ , $(8, 2)$ , $(5, 4)$ , $(5, 3)$ y $(0, 3)$ , en este orden, y calcula su área.

Ver solución
16 cm²
Rectángulo de $5 \times 2$ : 10 cm². Triángulo de base 4 (de $y = 0$ a $y = 4$ ) y altura 3: $\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$ cm². Total: $10 + 6 = 16$ cm².
2. Media
Para la obra de teatro del instituto se hace un decorado de cartón con forma de casa: un rectángulo de 3 m de ancho y 2,4 m de alto rematado por un triángulo (el tejado) de 1,2 m de altura. Se recorta una puerta de 0,8 m × 2 m. ¿Cuántos metros cuadrados de cartón hay que pintar?

Ver solución
7,4 m²
Rectángulo: $3 \cdot 2{,}4 = 7{,}2$ m². Triángulo: $\dfrac{3 \cdot 1{,}2}{2} = 1{,}8$ m². Puerta: $0{,}8 \cdot 2 = 1{,}6$ m². Área a pintar: $7{,}2 + 1{,}8 - 1{,}6 = 7{,}4$ m².
3. Media
Una figura está formada por un cuadrado de 8 cm de lado y un triángulo equilátero de 8 cm de lado apoyado sobre uno de sus lados (como una casita). Calcula su perímetro y su área.

Ver solución
Perímetro: 40 cm. Área: $64 + 16\sqrt{3} \approx 91{,}71$ cm²
Perímetro (borde exterior): 3 lados del cuadrado y 2 del triángulo: $5 \cdot 8 = 40$ cm. Altura del triángulo (Pitágoras, con la mitad de la base): $h = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm. Área: $64 + \dfrac{8 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 64 + 16\sqrt{3} \approx 64 + 27{,}71 = 91{,}71$ cm².

Para practicar más

1. Fácil
Dibuja en papel cuadriculado (cuadros de 1 cm) la figura en forma de T con vértices $(2, 0)$ , $(4, 0)$ , $(4, 4)$ , $(6, 4)$ , $(6, 6)$ , $(0, 6)$ , $(0, 4)$ y $(2, 4)$ , en este orden. Calcula su área y su perímetro.

Ver solución
Área: 20 cm². Perímetro: 24 cm
Barra superior: $6 \cdot 2 = 12$ cm²; pie: $2 \cdot 4 = 8$ cm². Área: 20 cm². Perímetro: $2 + 4 + 2 + 2 + 6 + 2 + 2 + 4 = 24$ cm.
2. Media
Un salón rectangular de 6 m × 4 m tiene un mirador adosado a uno de los lados de 4 m. El mirador es un trapecio isósceles de bases 4 m y 2 m y 1 m de altura. Si el parqué cuesta 25 €/m², ¿cuánto cuesta poner parqué en todo el suelo?

Ver solución
27 m²; 675 €
Rectángulo: $6 \cdot 4 = 24$ m². Trapecio: $\dfrac{(4 + 2) \cdot 1}{2} = 3$ m². Total: 27 m². Coste: $27 \cdot 25 = 675$ €.
3. Media
A un rectángulo de cartón de 12 cm × 8 cm se le recortan en las cuatro esquinas triángulos rectángulos isósceles de catetos 2 cm. Calcula el área y el perímetro del octógono que queda.

Ver solución
Área: 88 cm². Perímetro: $24 + 8\sqrt{2} \approx 35{,}31$ cm
Cada triángulo: $\dfrac{2 \cdot 2}{2} = 2$ cm². Área: $96 - 4 \cdot 2 = 88$ cm². Lados rectos que quedan: $2 \cdot (12 - 4) + 2 \cdot (8 - 4) = 24$ cm. Cada corte (Pitágoras): $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ cm. Perímetro: $24 + 4 \cdot 2\sqrt{2} = 24 + 8\sqrt{2} \approx 35{,}31$ cm.