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Matemáticas 3.º ESO · Mediatriz, bisectriz y lugares geométricos

Recuerda: mediatriz y bisectriz con regla y compás

Objetivo: Al terminar, sabrás trazar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo con regla y compás y comprobar con medidas su propiedad de equidistancia.

Recuerda

Mediatriz y bisectriz

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento $AB$ es la recta perpendicular a $AB$ que pasa por su punto medio $M$ .

Construcción con regla y compás:

Abre el compás algo más de la mitad de $AB$ .
Pincha en $A$ y traza un arco por encima y otro por debajo del segmento.
Sin cambiar la abertura, pincha en $B$ y traza dos arcos que corten a los anteriores.
Une con la regla los dos puntos de corte: esa recta es la mediatriz. Donde corta a $AB$ está el punto medio $M$ .

Propiedad: cualquier punto $P$ de la mediatriz está a la misma distancia de $A$ que de $B$ : $\;PA = PB$ .

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que sale del vértice y lo divide en dos ángulos iguales.

Construcción con regla y compás:

Pincha en el vértice $V$ y traza un arco que corte a los dos lados del ángulo en $R$ y $S$ .
Con la misma abertura (o con otra cualquiera, pero igual para los dos), pincha en $R$ y en $S$ y traza dos arcos que se corten en un punto $Q$ dentro del ángulo.
Une $V$ con $Q$ : esa semirrecta es la bisectriz.

Propiedad: cualquier punto de la bisectriz está a la misma distancia de los dos lados del ángulo. (La distancia de un punto a una recta se mide siempre por la perpendicular.)

En la cuadrícula

Si el segmento es horizontal, su mediatriz es la recta vertical que pasa por su punto medio. Si un ángulo está formado por una línea horizontal y una vertical de la cuadrícula, su bisectriz va por las diagonales de los cuadraditos, y desde cualquier punto de ella hay los mismos cuadraditos hasta cada lado.

Puntos clave

Mediatriz de $AB$ : recta perpendicular a $AB$ por su punto medio.
Todo punto de la mediatriz equidista de $A$ y de $B$ : $PA = PB$ .
Bisectriz de un ángulo: semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales.
Todo punto de la bisectriz equidista de los dos lados del ángulo.
La distancia de un punto a una recta se mide por la perpendicular.

Errores frecuentes

ErrorAbrir el compás menos de la mitad del segmento al trazar la mediatriz.
Cómo corregirloSi la abertura es menor que la mitad de $AB$ , los arcos no se cortan. Ábrelo claramente más de la mitad.
ErrorCambiar la abertura del compás entre el arco de $A$ y el de $B$ .
Cómo corregirloLos dos arcos se trazan con la misma abertura; si no, la recta no pasa por el punto medio.
ErrorMedir la distancia de un punto a un lado del ángulo en una dirección cualquiera.
Cómo corregirloLa distancia a una recta es el segmento perpendicular a ella; usa la escuadra.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Mediatriz de un segmento de 6 cm construcción y comprobación con medidas
Dibuja un segmento $AB$ de 6 cm y traza su mediatriz con regla y compás. Marca en la mediatriz un punto $P$ a 4 cm del punto medio $M$ . Mide $PA$ y $PB$ . ¿Qué observas?

Resolución
1. Abrimos el compás unos 4 cm (más de la mitad de 6 cm) y trazamos arcos desde $A$ y desde $B$ , arriba y abajo.
2. Unimos los dos cortes: la mediatriz corta a $AB$ en $M$ , con $AM = MB = 3$ cm.
3. Con la regla marcamos $P$ en la mediatriz a 4 cm de $M$ .
4. Al medir: $PA = 5$ cm y $PB = 5$ cm.
Observación: $PA = PB$ . Cualquier otro punto de la mediatriz también estaría a la misma distancia de $A$ y de $B$ .
Ejemplo 2. Bisectriz de un ángulo de 120° construcción con transportador y compás
Dibuja con el transportador un ángulo de 120° y traza su bisectriz con regla y compás. Comprueba con el transportador cuánto mide cada una de las dos partes.

Resolución
1. Dibujamos el ángulo de vértice $V$ y lados de unos 7 cm.
2. Arco con centro en $V$ que corta a los lados en $R$ y $S$ .
3. Arcos iguales desde $R$ y desde $S$ que se cortan en $Q$ .
4. Trazamos la semirrecta $VQ$ .
Al medir, cada parte mide $120° : 2 = 60°$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dibuja un segmento $AB$ de 9 cm y traza su mediatriz con regla y compás. a) ¿A qué distancia de $A$ está el punto medio $M$ ? b) Marca en la mediatriz un punto $P$ a 6 cm de $M$ y mide $PA$ y $PB$ .

Ver solución
a) 4,5 cm. b) PA = PB = 7,5 cm.
a) $M$ es el punto medio: $AM = 9 : 2 = 4{,}5$ cm. b) Al medir se obtiene $PA = PB = 7{,}5$ cm (los dos iguales, porque $P$ está en la mediatriz).
2. Fácil
Dibuja un ángulo de 130° y traza su bisectriz con regla y compás. ¿Cuánto mide cada uno de los dos ángulos que se forman? Comprueba con el transportador.

Ver solución
65° cada uno.
La bisectriz divide el ángulo en dos iguales: $130° : 2 = 65°$ .
3. Media
Dibuja un ángulo llano (180°) de vértice $V$ y traza su bisectriz. ¿Qué ángulo forma la bisectriz con los lados? ¿Qué relación tiene esa bisectriz con la recta que forman los dos lados?

Ver solución
Forma 90° con cada lado: es la perpendicular a esa recta por V.
$180° : 2 = 90°$ . La bisectriz de un ángulo llano es la perpendicular a la recta por el vértice $V$ . (Si los arcos se hacen desde dos puntos a la misma distancia de $V$ , es justo la mediatriz de ese segmento.)

Para practicar más

1. Fácil
Dibuja un segmento $AB$ de 16 cm y traza su mediatriz. Marca en ella un punto $P$ a 6 cm del punto medio. ¿Cuánto miden $PA$ y $PB$ ?

Ver solución
PA = PB = 10 cm.
$AM = MB = 8$ cm. Al medir: $PA = PB = 10$ cm.
2. Media
Dibuja un ángulo de 80° de vértice $V$ y traza su bisectriz. Marca en ella un punto $P$ a 5 cm de $V$ . Con la escuadra, traza la perpendicular desde $P$ a cada lado y mide las dos distancias.

Ver solución
Las dos miden lo mismo, unos 3,2 cm.
Las perpendiculares desde $P$ a los lados miden lo mismo (aproximadamente 3,2 cm), porque $P$ está en la bisectriz: equidista de los dos lados.
3. Fácil
Di si es verdadero o falso y explica por qué: a) La mediatriz de un segmento pasa por su punto medio. b) La mediatriz de un segmento es paralela al segmento. c) Un punto que está a 3 cm de $A$ y a 3 cm de $B$ está en la mediatriz de $AB$ . d) La bisectriz de un ángulo de 90° forma ángulos de 45° con los lados.

Ver solución
a) V. b) F (es perpendicular). c) V. d) V.
a) Verdadero: es la perpendicular por el punto medio. b) Falso: es perpendicular al segmento. c) Verdadero: está a la misma distancia de $A$ y de $B$ , y esos puntos son los de la mediatriz. d) Verdadero: $90° : 2 = 45°$ .