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Matemáticas 3.º ESO · Resolución de triángulos rectángulos

Resolución de triángulos rectángulos conocidos un lado y un ángulo

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular todos los lados y ángulos de un triángulo rectángulo cuando conoces un lado y un ángulo agudo, usando la calculadora y eligiendo la razón trigonométrica adecuada, y aplicarlo a problemas de alturas y distancias.

Explicación

Resolver un triángulo rectángulo

Resolver un triángulo es calcular sus tres lados y sus tres ángulos. En un triángulo rectángulo ya sabemos que un ángulo mide $90^\circ$ ; si además conocemos un lado y un ángulo agudo, podemos calcular todo lo demás.

La calculadora

Comprueba que está en modo grados (en la pantalla aparece D o DEG). Las teclas son sin (seno), cos (coseno) y tan (tangente). Por ejemplo: $\text{sen}\,35^\circ \approx 0{,}5736 \qquad \cos 35^\circ \approx 0{,}8192 \qquad \text{tg}\,35^\circ \approx 0{,}7002$ Prueba: $\text{sen}\,30^\circ$ debe dar exactamente $0{,}5$ .

El método

Dibuja el triángulo y marca los datos y lo que buscas.
El otro ángulo agudo: los dos ángulos agudos suman $90^\circ$ , así que $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B}$ .
Los lados: elige la razón que relaciona el lado que conoces con el que buscas y despeja.
- Si conoces la hipotenusa $a$ : $\;b = a \cdot \text{sen}\,\widehat{B}$ , $\;c = a \cdot \cos\widehat{B}$ .
- Si conoces un cateto, por ejemplo $c$ (contiguo a $\widehat{B}$ ): $\;b = c \cdot \text{tg}\,\widehat{B}$ , $\;a = \dfrac{c}{\cos\widehat{B}}$ .
Comprueba con Pitágoras: $a^2 \approx b^2 + c^2$ .

Usa la calculadora sin redondear los pasos intermedios y redondea el resultado final a las centésimas.

Problemas de alturas y distancias

Ángulo de elevación: el que forma con la horizontal la visual dirigida hacia un punto más alto (lo alto de un edificio, una cometa…).
Si los ojos (o la mano) del observador están a cierta altura del suelo, hay que sumarla al final.

Puntos clave

Resolver = hallar los 3 lados y los 3 ángulos.
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°.
Con la hipotenusa: cateto = hipotenusa · sen (ángulo opuesto) = hipotenusa · cos (ángulo contiguo).
Con un cateto: el otro cateto sale con la tangente y la hipotenusa con el coseno (o el seno).
Calculadora en modo grados (D o DEG).

Errores frecuentes

ErrorTener la calculadora en radianes (R o RAD) y obtener resultados absurdos (sen 30 ≈ −0,99).
Cómo corregirloComprueba antes que sen 30° = 0,5; si no, cambia a modo grados.
ErrorMultiplicar cuando hay que dividir: escribir $a = c \cdot \cos\widehat{B}$ .
Cómo corregirloEscribe primero la razón ( $\cos\widehat{B} = \dfrac{c}{a}$ ) y despeja después; la hipotenusa tiene que salir mayor que los catetos.
ErrorOlvidar sumar la altura de los ojos del observador.
Cómo corregirloEl triángulo empieza a la altura de los ojos: suma esa altura al cateto calculado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Conocida la hipotenusa numérico
Resuelve el triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ , con hipotenusa $a = 10$ cm y $\widehat{B} = 35^\circ$ .

Resolución
- $\widehat{C} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .
- $b$ es el cateto opuesto a $\widehat{B}$ : $\text{sen}\,35^\circ = \dfrac{b}{10} \Rightarrow b = 10 \cdot \text{sen}\,35^\circ \approx 5{,}74$ cm.
- $c$ es el contiguo a $\widehat{B}$ : $\cos 35^\circ = \dfrac{c}{10} \Rightarrow c = 10 \cdot \cos 35^\circ \approx 8{,}19$ cm.
Comprobación: $5{,}74^2 + 8{,}19^2 \approx 32{,}95 + 67{,}08 = 100{,}03 \approx 10^2$ . ✔
Ejemplo 2. Conocido un cateto numérico (despejar en la razón)
Resuelve el triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ , con el cateto $c = 6$ m y $\widehat{B} = 50^\circ$ .

Resolución
- $\widehat{C} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$ .
- $c$ es contiguo a $\widehat{B}$ y buscamos el opuesto $b$ : $\text{tg}\,50^\circ = \dfrac{b}{6} \Rightarrow b = 6 \cdot \text{tg}\,50^\circ \approx 7{,}15$ m.
- Hipotenusa: $\cos 50^\circ = \dfrac{6}{a} \Rightarrow a = \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx 9{,}33$ m.
Comprobación: $\sqrt{6^2 + 7{,}15^2} \approx 9{,}33$ . ✔
Ejemplo 3. La altura de un edificio situación real (ángulo de elevación)
Desde un punto de la calle situado a 40 m del pie de un edificio, una chica ve la azotea con un ángulo de elevación de $62^\circ$ . Sus ojos están a 1,6 m del suelo. ¿Qué altura tiene el edificio?

Resolución
Triángulo rectángulo con vértice en los ojos: cateto contiguo 40 m (horizontal), cateto opuesto $h$ (desde la altura de los ojos hasta la azotea). $\text{tg}\,62^\circ = \dfrac{h}{40} \Rightarrow h = 40 \cdot \text{tg}\,62^\circ \approx 75{,}23\ \text{m}$ Altura del edificio: $75{,}23 + 1{,}6 \approx 76{,}83$ m.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve el triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ , con $a = 15$ cm y $\widehat{B} = 28^\circ$ .

Ver solución
$\widehat{C} = 62^\circ$ ; $b \approx 7{,}04$ cm; $c \approx 13{,}24$ cm
$\widehat{C} = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$ . $b = 15 \cdot \text{sen}\,28^\circ \approx 7{,}04$ cm; $c = 15 \cdot \cos 28^\circ \approx 13{,}24$ cm. Comprobación: $\sqrt{7{,}04^2 + 13{,}24^2} \approx 15$ . ✔
2. Media
Resuelve el triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ , con $b = 9$ cm y $\widehat{B} = 40^\circ$ .

Ver solución
$\widehat{C} = 50^\circ$ ; $c \approx 10{,}73$ cm; $a \approx 14{,}00$ cm
$\widehat{C} = 50^\circ$ . $b$ es opuesto a $\widehat{B}$ : $\text{tg}\,40^\circ = \dfrac{9}{c} \Rightarrow c = \dfrac{9}{\text{tg}\,40^\circ} \approx 10{,}73$ cm. $\text{sen}\,40^\circ = \dfrac{9}{a} \Rightarrow a = \dfrac{9}{\text{sen}\,40^\circ} \approx 14{,}00$ cm.
3. Media
La escalera de un camión de bomberos se extiende 25 m y forma un ángulo de $70^\circ$ con la horizontal. Su base giratoria está a 2 m del suelo. ¿A qué altura del suelo llega el extremo de la escalera? ¿A qué distancia horizontal de la base?

Ver solución
Altura ≈ 25,49 m; distancia horizontal ≈ 8,55 m
Hipotenusa 25 m. Subida (opuesta a $70^\circ$ ): $25 \cdot \text{sen}\,70^\circ \approx 23{,}49$ m; altura sobre el suelo: $23{,}49 + 2 \approx 25{,}49$ m. Distancia horizontal (contigua): $25 \cdot \cos 70^\circ \approx 8{,}55$ m.
4. Media
Irene vuela una cometa en el parque Juan Carlos I. Ha soltado 60 m de hilo, que está tenso y forma $38^\circ$ con la horizontal. Su mano está a 1,1 m del suelo. ¿A qué altura está la cometa?

Ver solución
≈ 38,04 m
Hipotenusa: 60 m. Altura sobre la mano (opuesta a $38^\circ$ ): $60 \cdot \text{sen}\,38^\circ \approx 36{,}94$ m. Altura de la cometa: $36{,}94 + 1{,}1 \approx 38{,}04$ m.
5. Difícil
Cuando los rayos del sol forman $32^\circ$ con el suelo, la sombra de una farola mide 9 m. a) ¿Qué altura tiene la farola? b) En ese mismo momento, ¿cuánto mide la sombra de un chico de 1,70 m?

Ver solución
a) ≈ 5,62 m. b) ≈ 2,72 m
a) Sombra = cateto contiguo; altura = opuesto: $h = 9 \cdot \text{tg}\,32^\circ \approx 5{,}62$ m. b) $\text{tg}\,32^\circ = \dfrac{1{,}70}{s} \Rightarrow s = \dfrac{1{,}70}{\text{tg}\,32^\circ} \approx 2{,}72$ m.

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve el triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ , con $a = 20$ cm y $\widehat{B} = 63^\circ$ .

Ver solución
$\widehat{C} = 27^\circ$ ; $b \approx 17{,}82$ cm; $c \approx 9{,}08$ cm
$\widehat{C} = 27^\circ$ ; $b = 20 \cdot \text{sen}\,63^\circ \approx 17{,}82$ cm; $c = 20 \cdot \cos 63^\circ \approx 9{,}08$ cm.
2. Fácil
Resuelve el triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ , con $c = 12$ cm y $\widehat{B} = 25^\circ$ .

Ver solución
$\widehat{C} = 65^\circ$ ; $b \approx 5{,}60$ cm; $a \approx 13{,}24$ cm
$\widehat{C} = 65^\circ$ ; $b = 12 \cdot \text{tg}\,25^\circ \approx 5{,}60$ cm; $a = \dfrac{12}{\cos 25^\circ} \approx 13{,}24$ cm.
3. Media
Un tobogán de un parque acuático baja desde 6 m de altura con una inclinación constante de $35^\circ$ respecto a la horizontal. ¿Qué longitud tiene el tobogán? ¿Cuánto espacio ocupa en horizontal?

Ver solución
Tobogán ≈ 10,46 m; horizontal ≈ 8,57 m
Altura: cateto opuesto a $35^\circ$ . Tobogán (hipotenusa): $\text{sen}\,35^\circ = \dfrac{6}{L} \Rightarrow L = \dfrac{6}{\text{sen}\,35^\circ} \approx 10{,}46$ m. Horizontal: $\text{tg}\,35^\circ = \dfrac{6}{x} \Rightarrow x = \dfrac{6}{\text{tg}\,35^\circ} \approx 8{,}57$ m.
4. Media
Un avión despega del aeropuerto de Barajas y asciende en línea recta formando un ángulo de $12^\circ$ con la pista. Cuando ha recorrido 3 km en su trayectoria, ¿a qué altura está? ¿Qué distancia horizontal ha avanzado?

Ver solución
Altura ≈ 623,74 m; horizontal ≈ 2934,44 m
Hipotenusa: 3000 m. Altura: $3000 \cdot \text{sen}\,12^\circ \approx 623{,}74$ m. Horizontal: $3000 \cdot \cos 12^\circ \approx 2934{,}44$ m.
5. Difícil
La sección de la cubierta de una nave es un triángulo isósceles. Cada faldón mide 6 m y forma $25^\circ$ con la horizontal. a) ¿Qué altura tiene la cubierta? b) ¿Qué anchura cubre? c) ¿Cuál es el área de la sección?

Ver solución
a) ≈ 2,54 m. b) ≈ 10,88 m. c) ≈ 13,79 m²
La altura divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos de hipotenusa 6 m y ángulo $25^\circ$ . a) $h = 6 \cdot \text{sen}\,25^\circ \approx 2{,}54$ m. b) Media anchura: $6 \cdot \cos 25^\circ \approx 5{,}44$ m; anchura $\approx 10{,}88$ m. c) $A = \dfrac{\text{anchura} \cdot h}{2} = 6 \cos 25^\circ \cdot 6\,\text{sen}\,25^\circ \approx 13{,}79$ m².