Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U10 · Geometría plana: Pitágoras, Tales, áreas y trigonometría básica

Matemáticas 3.º ESO · Áreas de figuras circulares y compuestas

Segmento circular y figuras circulares combinadas

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el área de un segmento circular (sector menos triángulo) y resolver problemas con figuras formadas por varios arcos, como hojas, pétalos y lúnulas.

Explicación

Segmento circular

Un segmento circular es la parte del círculo comprendida entre una cuerda $AB$ y su arco. Si $O$ es el centro y $\alpha$ el ángulo $\widehat{AOB}$ : $A_{\text{segmento}} = A_{\text{sector}} - A_{\text{triángulo } OAB}$

El triángulo $OAB$ es isósceles (dos lados son radios). Su área se calcula según el ángulo:

$\alpha = 90^\circ$ : triángulo rectángulo de catetos $r$ y $r$ : $A = \dfrac{r^2}{2}$ .
$\alpha = 60^\circ$ : triángulo equilátero de lado $r$ ; su altura sale con Pitágoras: $h = \sqrt{r^2 - \left(\tfrac{r}{2}\right)^2}$ .
$\alpha = 120^\circ$ : la altura desde $O$ divide el triángulo en dos triángulos rectángulos con ángulos de $30^\circ$ y $60^\circ$ ; la altura mide $\dfrac{r}{2}$ y la media cuerda, por Pitágoras, $\sqrt{r^2 - \left(\tfrac{r}{2}\right)^2}$ .

Figuras combinadas

Muchas figuras «curvas» se obtienen sumando o restando sectores, segmentos, triángulos y cuadrados:

Hoja (dos cuartos de círculo dentro de un cuadrado): son dos segmentos de $90^\circ$ .
Lúnula: región entre dos arcos de circunferencias distintas. Se calcula como una diferencia de áreas.

Dibuja siempre la figura y señala qué piezas sumas y cuáles restas.

Puntos clave

Segmento circular = sector − triángulo formado por los dos radios y la cuerda.
Con 60°, el triángulo es equilátero; con 90°, rectángulo isósceles; con 120°, se parte en dos con la altura.
Las figuras de arcos se descomponen en sectores, segmentos y polígonos.
Da el resultado exacto (con $\pi$ y raíces) y luego el aproximado.

Errores frecuentes

ErrorConfundir el segmento circular (entre cuerda y arco) con el sector (entre dos radios y arco).
Cómo corregirloEl segmento no llega al centro: es el sector sin el triángulo.
ErrorTomar como altura del triángulo equilátero el propio lado.
Cómo corregirloCalcula la altura con Pitágoras: $h = \sqrt{r^2 - (r/2)^2}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Segmento de 90° numérico
En un círculo de 8 cm de radio, la cuerda $AB$ une dos puntos tales que $\widehat{AOB} = 90^\circ$ . Calcula el área del segmento circular menor.

Resolución
- Sector de $90^\circ$ : $\dfrac{\pi \cdot 8^2}{4} = 16\pi\ \text{cm}^2$ .
- Triángulo $OAB$ (rectángulo, catetos 8 y 8): $\dfrac{8 \cdot 8}{2} = 32\ \text{cm}^2$ .
- Segmento: $16\pi - 32 \approx 50{,}27 - 32 = 18{,}27\ \text{cm}^2$ .
Ejemplo 2. La hoja dentro del cuadrado geométrico (figura combinada)
En un cuadrado $ABCD$ de 10 cm de lado se trazan dos cuartos de circunferencia de radio 10 cm: uno con centro en $A$ y otro con centro en $C$ . Los dos arcos van de $B$ a $D$ y encierran una figura con forma de hoja. Calcula su área.

Resolución
La diagonal $BD$ divide la hoja en dos segmentos circulares iguales de $90^\circ$ y radio 10.
- Cada segmento: $\dfrac{\pi \cdot 10^2}{4} - \dfrac{10 \cdot 10}{2} = 25\pi - 50\ \text{cm}^2$ .
- Hoja: $2\,(25\pi - 50) = 50\pi - 100 \approx 57{,}08\ \text{cm}^2$ .
Otra forma: los dos cuartos de círculo suman $50\pi$ y se solapan justo en la hoja; como juntos cubren el cuadrado una vez más la hoja, $50\pi = 100 + \text{hoja}$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Calcula el área del segmento circular determinado por una cuerda que subtiende un ángulo central de $60^\circ$ en un círculo de 8 cm de radio.

Ver solución
$\dfrac{32\pi}{3} - 16\sqrt{3} \approx 5{,}80$ cm²
Sector: $\dfrac{\pi \cdot 64 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \dfrac{32\pi}{3} \approx 33{,}51$ cm². El triángulo es equilátero de lado 8: $h = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm; área $\dfrac{8 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \approx 27{,}71$ cm². Segmento: $\approx 33{,}51 - 27{,}71 = 5{,}80$ cm².
2. Difícil
Un parterre circular de un parque tiene 12 m de radio. Un camino recto lo cruza siguiendo una cuerda $AB$ con $\widehat{AOB} = 120^\circ$ (sin contar el ancho del camino). Calcula el área del segmento circular menor. Pista: la altura del triángulo $OAB$ desde $O$ mide la mitad del radio.

Ver solución
$48\pi - 36\sqrt{3} \approx 88{,}44$ m²
Sector: $\dfrac{\pi \cdot 144 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = 48\pi \approx 150{,}80$ m². Triángulo: altura $6$ m; media cuerda (Pitágoras) $\sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ m, cuerda $12\sqrt{3} \approx 20{,}78$ m. Área: $\dfrac{12\sqrt{3} \cdot 6}{2} = 36\sqrt{3} \approx 62{,}35$ m². Segmento: $\approx 150{,}80 - 62{,}35 = 88{,}44$ m².
3. Difícil
Lúnula de Hipócrates. Se dibuja un cuarto de círculo de centro $O$ y radio 6 cm, con extremos $A$ y $B$ . Sobre la cuerda $AB$ , por fuera, se dibuja una semicircunferencia de diámetro $AB$ . La lúnula es la región que está dentro del semicírculo pero fuera del cuarto de círculo. a) Calcula $AB$ . b) Calcula el área de la lúnula. ¿Qué observas?

Ver solución
a) $6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ cm. b) 18 cm², igual que el triángulo $OAB$
a) $AB = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ cm. b) Semicírculo de radio $3\sqrt{2}$ : $\dfrac{\pi\,(3\sqrt{2})^2}{2} = 9\pi$ cm². Segmento del cuarto de círculo: $\dfrac{\pi \cdot 36}{4} - \dfrac{6 \cdot 6}{2} = 9\pi - 18$ cm². Lúnula = semicírculo − segmento $= 9\pi - (9\pi - 18) = 18$ cm². La lúnula, limitada solo por arcos, tiene la misma área que el triángulo $OAB$ y ¡no aparece $\pi$ !

Para practicar más

1. Media
De una tarta redonda de 10 cm de radio se corta un trozo con un corte recto que une dos puntos del borde cuyos radios forman $90^\circ$ . Calcula el área de la cara de arriba del trozo y la longitud de su borde (arco más corte).

Ver solución
Área: $25\pi - 50 \approx 28{,}54$ cm². Borde: $5\pi + 10\sqrt{2} \approx 29{,}85$ cm
Área del segmento: $\dfrac{\pi \cdot 100}{4} - \dfrac{10 \cdot 10}{2} = 25\pi - 50 \approx 28{,}54$ cm². Arco: $\dfrac{2\pi \cdot 10}{4} = 5\pi \approx 15{,}71$ cm. Corte (Pitágoras): $\sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$ cm. Borde: $\approx 29{,}85$ cm.
2. Difícil
Flor de cuatro pétalos. En un cuadrado de 8 cm de lado se dibujan hacia dentro cuatro semicircunferencias que tienen por diámetro cada uno de los lados. Se forman cuatro pétalos que se juntan en el centro. Calcula el área de la flor. Pista: cada pétalo son dos segmentos circulares de $90^\circ$ y radio 4 cm.

Ver solución
$32\pi - 64 \approx 36{,}53$ cm²
Segmento de $90^\circ$ y radio 4: $\dfrac{\pi \cdot 16}{4} - \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 4\pi - 8$ cm². Cada pétalo: $2\,(4\pi - 8)$ . Cuatro pétalos: $8\,(4\pi - 8) = 32\pi - 64 \approx 36{,}53$ cm².
3. Difícil
Triángulo de Reuleaux. Sobre un triángulo equilátero de 6 cm de lado se traza, con centro en cada vértice, el arco de radio 6 cm que une los otros dos vértices. Se obtiene una figura «redondeada» que se usa en algunas brocas y tapas. Calcula su área y su perímetro.

Ver solución
Área: $18\pi - 18\sqrt{3} \approx 25{,}37$ cm². Perímetro: $6\pi \approx 18{,}85$ cm
Triángulo: $h = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ ; área $\dfrac{6 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59$ cm². Cada segmento ( $60^\circ$ , radio 6): $\dfrac{\pi \cdot 36}{6} - 9\sqrt{3} = 6\pi - 9\sqrt{3} \approx 3{,}26$ cm². Área: $9\sqrt{3} + 3\,(6\pi - 9\sqrt{3}) = 18\pi - 18\sqrt{3} \approx 25{,}37$ cm². Perímetro: tres arcos de $60^\circ$ : $3 \cdot \dfrac{2\pi \cdot 6}{6} = 6\pi \approx 18{,}85$ cm.