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Matemáticas 3.º ESO · Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Ampliación: Pitágoras en situaciones reales: escaleras, pantallas y rampas

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de contexto (escaleras, pantallas, rampas, cables) eligiendo el triángulo rectángulo adecuado y aplicando el teorema de Pitágoras.

Explicación

Pitágoras en la vida real

Muchas situaciones esconden un triángulo rectángulo: una pared y el suelo, el ancho y el alto de una pantalla, una rampa y el suelo, una cuerda tensada… El trabajo está en verlo.

Pasos:

Haz un esquema sencillo y marca el ángulo recto (pared–suelo, alto–ancho…).
Decide qué lado es la hipotenusa (el opuesto al ángulo recto: la escalera, la diagonal de la pantalla, la rampa, la cuerda).
Pasa todo a la misma unidad.
Aplica Pitágoras y responde a la pregunta con la unidad y el redondeo adecuados.

Pantallas. El tamaño de una pantalla en pulgadas es la longitud de su diagonal (1 pulgada = 2,54 cm). El formato 16:9 indica que el ancho y el alto son proporcionales a 16 y 9: ancho $= 16k$ y alto $= 9k$ , con $k = \dfrac{\text{diagonal}}{\sqrt{16^2 + 9^2}} = \dfrac{\text{diagonal}}{\sqrt{337}}$ .

Puntos clave

Busca el ángulo recto: pared–suelo, ancho–alto, horizontal–vertical.
La escalera, la rampa, la cuerda o la diagonal suelen ser la hipotenusa.
Tamaño de una pantalla: su diagonal en pulgadas (1 pulgada = 2,54 cm).
Trabaja con todas las medidas en la misma unidad.

Errores frecuentes

ErrorTomar la altura de la pared como hipotenusa en el problema de la escalera.
Cómo corregirloLa escalera es el lado inclinado, opuesto al ángulo recto entre pared y suelo: es la hipotenusa.
ErrorPensar que un televisor de 55 pulgadas mide 55 pulgadas de ancho.
Cómo corregirloLas pulgadas son de la diagonal; el ancho es menor.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Cabe la tele en el mueble? situación real (pantallas)
Una televisión de 55 pulgadas tiene formato 16:9. El hueco del mueble mide 125 cm de ancho y 70 cm de alto. Sin contar el marco, ¿cabe la pantalla?

Resolución
Diagonal: $55 \cdot 2{,}54 = 139{,}7$ cm. Ancho $16k$ , alto $9k$ : $(16k)^2 + (9k)^2 = 139{,}7^2 \;\Rightarrow\; 337k^2 = 139{,}7^2 \;\Rightarrow\; k = \frac{139{,}7}{\sqrt{337}} \approx 7{,}610$ Ancho $\approx 16 \cdot 7{,}610 \approx 121{,}8$ cm; alto $\approx 9 \cdot 7{,}610 \approx 68{,}5$ cm.

Como $121{,}8 < 125$ y $68{,}5 < 70$ , sí cabe (aunque justa: con el marco habría que comprobarlo).
Ejemplo 2. La escalera apoyada en la pared situación real (escalera)
Una escalera de 5 m se apoya en una pared vertical con el pie a 1,4 m de la pared. ¿A qué altura llega?

Resolución
La escalera es la hipotenusa; el suelo y la pared, los catetos: $h = \sqrt{5^2 - 1{,}4^2} = \sqrt{25 - 1{,}96} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\ \text{m}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
La rampa de entrada de un garaje baja 3 m de profundidad y ocupa 15 m en horizontal. ¿Cuánto mide la rampa? Redondea a los centímetros.

Ver solución
Unos 15,30 m.
$\sqrt{15^2 + 3^2} = \sqrt{234} \approx 15{,}30$ m.
2. Media
Una tableta tiene una pantalla de 10 pulgadas con formato 4:3. ¿Cuánto miden su ancho y su alto, en pulgadas y en centímetros?

Ver solución
8 × 6 pulgadas = 20,32 cm × 15,24 cm.
Ancho $4k$ , alto $3k$ : $(4k)^2 + (3k)^2 = 10^2 \Rightarrow 25k^2 = 100 \Rightarrow k = 2$ . Ancho 8 pulgadas $= 8 \cdot 2{,}54 = 20{,}32$ cm; alto 6 pulgadas $= 6 \cdot 2{,}54 = 15{,}24$ cm.
3. Media
Andrés vuela una cometa en la playa con 65 m de hilo tenso. La cometa está justo encima de un punto del suelo situado a 25 m de él. Si sujeta el hilo a 1,4 m del suelo, ¿a qué altura vuela la cometa?

Ver solución
61,4 m.
Triángulo rectángulo con hipotenusa 65 m (el hilo) y cateto horizontal 25 m: cateto vertical $\sqrt{65^2 - 25^2} = \sqrt{3600} = 60$ m. Sumando la altura de la mano: $60 + 1{,}4 = 61{,}4$ m.

Para practicar más

1. Fácil
Un poste de 12 m se sujeta con un cable que va desde un punto del poste situado a 9 m de altura hasta un punto del suelo a 5 m de su base. ¿Cuánto mide el cable? Redondea a los centímetros.

Ver solución
Unos 10,30 m.
Catetos 9 m y 5 m: $\sqrt{81 + 25} = \sqrt{106} \approx 10{,}30$ m. (La altura total del poste, 12 m, no se usa.)
2. Media
Una escalera de 8,5 m apoyada en una pared llega a 8,4 m de altura. a) ¿A qué distancia de la pared está el pie? b) Si el pie resbala y se separa 2,3 m más, ¿cuánto baja la parte de arriba?

Ver solución
a) 1,3 m. b) Baja 0,7 m (llega a 7,7 m).
a) $\sqrt{8{,}5^2 - 8{,}4^2} = \sqrt{72{,}25 - 70{,}56} = \sqrt{1{,}69} = 1{,}3$ m. b) Nuevo pie: $1{,}3 + 2{,}3 = 3{,}6$ m. Nueva altura: $\sqrt{8{,}5^2 - 3{,}6^2} = \sqrt{72{,}25 - 12{,}96} = \sqrt{59{,}29} = 7{,}7$ m. Baja $8{,}4 - 7{,}7 = 0{,}7$ m.
3. Difícil
Una televisión de 65 pulgadas tiene formato 16:9. ¿Cabe la pantalla (sin marco) en un hueco de 150 cm de ancho y 85 cm de alto?

Ver solución
Sí: mide unos 143,9 cm × 80,9 cm.
Diagonal: $65 \cdot 2{,}54 = 165{,}1$ cm. $k = \dfrac{165{,}1}{\sqrt{337}} \approx 8{,}994$ . Ancho $\approx 16 \cdot 8{,}994 \approx 143{,}9$ cm; alto $\approx 9 \cdot 8{,}994 \approx 80{,}9$ cm. Cabe, porque $143{,}9 < 150$ y $80{,}9 < 85$ .