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Matemáticas 3.º ESO · Posiciones relativas de rectas y circunferencias

Ampliación: posiciones relativas de dos rectas

Objetivo: Al terminar, sabrás clasificar dos rectas del plano en secantes, perpendiculares, paralelas o coincidentes y trazar paralelas y perpendiculares por un punto con escuadra y cartabón.

Explicación

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Posición	Puntos comunes	Cómo se escribe
Secantes	Uno (se cortan)
Perpendiculares (secantes que forman cuatro ángulos rectos)	Uno	$r \perp s$
Paralelas	Ninguno	$r \parallel s$
Coincidentes	Todos (son la misma recta)	$r = s$

Dos rectas secantes forman cuatro ángulos: los opuestos por el vértice son iguales y dos ángulos contiguos suman 180°.

La distancia entre dos rectas paralelas es la longitud de un segmento perpendicular a las dos; es la misma en todos los puntos.

Trazar paralelas y perpendiculares con escuadra y cartabón

Perpendicular a $r$ por un punto $P$ : apoya un cateto de la escuadra sobre $r$ , coloca el cartabón (o una regla) pegado a la hipotenusa para que no se mueva, desliza la escuadra hasta que el otro cateto pase por $P$ y traza.

Paralela a $r$ por $P$ : apoya un lado de la escuadra sobre $r$ y el cartabón pegado a otro lado; sujeta el cartabón y desliza la escuadra a lo largo de él hasta que el lado que estaba sobre $r$ pase por $P$ ; traza.

Rectas en la cuadrícula

En papel cuadriculado no hace falta escuadra para ver la posición de dos rectas. Fíjate en el escalón de cada recta: cuántos cuadraditos avanza a la derecha y cuántos sube o baja.

Paralelas: tienen el mismo escalón (por ejemplo, las dos avanzan 2 y suben 1).
Perpendiculares: el escalón de una es el de la otra girado: si una avanza 2 y sube 1, la perpendicular avanza 1 y baja 2. (Una horizontal y una vertical también son perpendiculares.)
En los demás casos son secantes no perpendiculares.

Puntos clave

Dos rectas del plano pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.
Perpendiculares: secantes que forman cuatro ángulos rectos.
Ángulos opuestos por el vértice: iguales; contiguos: suman 180°.
La distancia entre dos paralelas se mide por una perpendicular común.
En la cuadrícula: paralelas = mismo escalón; perpendiculares = escalón girado (2 y 1 ↔ 1 y −2).

Errores frecuentes

ErrorDecir que dos rectas no son paralelas porque en el dibujo no se cortan.
Cómo corregirloLas rectas no tienen fin: si no son paralelas, se cortarán aunque sea fuera del papel. Prolóngalas.
ErrorMover el cartabón mientras se desliza la escuadra.
Cómo corregirloEl cartabón hace de guía: sujétalo bien; solo se mueve la escuadra.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Las calles del barrio de Salamanca situación real
En el plano del barrio de Salamanca de Madrid, las calles forman casi una cuadrícula. Las calles de Serrano, Claudio Coello y Velázquez van más o menos de norte a sur, y las calles de Goya, Ayala y Hermosilla, más o menos de este a oeste. Di la posición relativa de: a) Serrano y Velázquez; b) Serrano y Goya; c) la calle de Alcalá, que cruza el barrio en diagonal, y Velázquez.

Resolución
Tratamos cada calle como una recta (aproximadamente). a) Las dos van de norte a sur y no se cortan: paralelas. b) Una va de norte a sur y la otra de este a oeste: se cortan en ángulo recto, perpendiculares. c) Se cortan, pero no en ángulo recto: secantes (no perpendiculares).
Ejemplo 2. Paralela y perpendicular por un punto construcción
Dibuja una recta $r$ y un punto $P$ a 3 cm de ella. Traza, con escuadra y cartabón, la perpendicular a $r$ por $P$ y la paralela a $r$ por $P$ . ¿Qué ángulo forman entre sí esas dos rectas?

Resolución
Siguiendo los pasos de la explicación obtenemos la perpendicular $p$ y la paralela $s$ . Como $p \perp r$ y $s \parallel r$ , también $p \perp s$ : forman un ángulo de 90°. El segmento de $p$ entre $r$ y $s$ mide 3 cm: es la distancia entre las dos paralelas.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Considera las rectas que contienen las dos agujas de un reloj. ¿Qué posición relativa tienen a las 3:00? ¿Y a las 6:00? ¿Y a las 4:00?

Ver solución
Perpendiculares; coincidentes; secantes.
A las 3:00 las agujas forman 90° → perpendiculares. A las 6:00 están en línea (una hacia arriba y otra hacia abajo): las dos rectas son la misma → coincidentes. A las 4:00 forman 120° → secantes.
2. Media
En un rectángulo $ABCD$ (que no es un cuadrado), di la posición relativa de las rectas: a) $AB$ y $CD$ ; b) $AB$ y $BC$ ; c) las diagonales $AC$ y $BD$ .

Ver solución
a) Paralelas. b) Perpendiculares. c) Secantes no perpendiculares.
a) Lados opuestos → paralelas. b) Lados contiguos de un rectángulo → perpendiculares. c) Las diagonales se cortan en el centro, pero solo son perpendiculares si el rectángulo es un cuadrado → secantes.
3. Media
Dos rectas secantes forman un ángulo de 65°. ¿Cuánto miden los otros tres ángulos?

Ver solución
65°, 115° y 115°.
El opuesto por el vértice mide lo mismo: 65°. Los contiguos suman 180°: $180° - 65° = 115°$ , y los dos que quedan miden 115°.

Para practicar más

1. Media
Verdadero o falso (en el plano). Justifica: a) Dos rectas perpendiculares a una misma recta son paralelas entre sí. b) Si $r \parallel s$ y $s \parallel t$ , entonces $r \parallel t$ (o son la misma). c) Dos rectas secantes forman siempre cuatro ángulos iguales.

Ver solución
a) V. b) V. c) F.
a) Verdadero: las dos forman 90° con la misma recta, tienen la misma dirección y no se cortan (salvo que sean la misma recta). b) Verdadero: todas tienen la misma dirección. c) Falso: solo si son perpendiculares; en general forman dos ángulos iguales y otros dos iguales entre sí.
2. Fácil
En un rombo $ABCD$ , di la posición relativa de: a) $AB$ y $CD$ ; b) $AB$ y $BC$ ; c) las diagonales $AC$ y $BD$ .

Ver solución
a) Paralelas. b) Secantes. c) Perpendiculares.
a) Lados opuestos del rombo → paralelas. b) Lados contiguos → secantes (perpendiculares solo si es un cuadrado). c) Las diagonales del rombo son siempre perpendiculares.
3. Media
Dibuja una recta $r$ y un punto $P$ a 4 cm de ella. Traza la paralela $s$ a $r$ por $P$ . Después, elige un punto $Q$ de $r$ y traza la perpendicular $t$ a $r$ por $Q$ . a) ¿Qué posición tienen $t$ y $s$ ? b) ¿Cuánto mide el segmento de $t$ comprendido entre $r$ y $s$ ?

Ver solución
a) Perpendiculares. b) 4 cm.
a) $t$ es perpendicular a $r$ y $s$ es paralela a $r$ , así que $t \perp s$ . b) Es la distancia entre las paralelas $r$ y $s$ : 4 cm, la misma que de $P$ a $r$ .