Áreas de figuras con partes circulares

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorSumar al perímetro el diámetro sobre el que se apoya el semicírculo.

  Cómo corregirloEse segmento queda dentro de la figura: solo cuenta el arco.

• ErrorUsar el diámetro como radio en el semicírculo.

  Cómo corregirloSi el semicírculo se apoya en un lado de 1,2 m, su radio es 0,6 m.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. La pista de atletismo situación real (por suma)

   El interior de una pista de atletismo está formado por un rectángulo de 84,39 m de largo y dos semicírculos de 36,5 m de radio en los extremos (medidas aproximadas de las pistas reglamentarias). Calcula el área del interior y la longitud del bordillo.

   Resolución

   • Rectángulo: largo 84,39 m y ancho igual al diámetro, $2 \cdot 36{,}5 = 73$ m: $84{,}39 \cdot 73 \approx 6160{,}47\ \text{m}^2$.
   • Dos semicírculos = un círculo: $\pi \cdot 36{,}5^2 \approx 4185{,}39\ \text{m}^2$.
   • Área: $\approx 10\,345{,}86\ \text{m}^2$ (más de una hectárea).
   • Bordillo: dos rectas y una circunferencia completa: $2 \cdot 84{,}39 + 2\pi \cdot 36{,}5 \approx 398{,}12$ m.

2. Ejemplo 2. Cuatro cuartos de círculo geométrico (por diferencia)

   En un cuadrado de 12 cm de lado se dibuja, con centro en cada vértice, un cuarto de círculo de 6 cm de radio. Calcula el área y el perímetro de la figura central que queda sin cubrir.

   Resolución

   Los cuatro cuartos de círculo forman un círculo completo de radio 6.

   • Área: $12^2 - \pi \cdot 6^2 = 144 - 36\pi \approx 30{,}90\ \text{cm}^2$.
   • Perímetro: cuatro arcos de cuarto de circunferencia, que forman una circunferencia: $2\pi \cdot 6 = 12\pi \approx 37{,}70$ cm.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Una fuente circular de 3 m de radio está en el centro de una plaza rectangular de 30 m × 20 m. ¿Cuántos metros cuadrados hay que pavimentar?

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   $600 - 9\pi \approx 571{,}73$ m²

   $30 \cdot 20 - \pi \cdot 3^2 = 600 - 9\pi \approx 571{,}73$ m².

2. 2. Media

   Una ventana de medio punto está formada por un rectángulo de 1,2 m de ancho y 1,5 m de alto y un semicírculo encima. Calcula la superficie de cristal y la longitud del marco exterior.

   Ver solución

   $\approx 2{,}37$ m² de cristal; marco $\approx 6{,}08$ m

   Radio del semicírculo: 0,6 m. Área: $1{,}2 \cdot 1{,}5 + \dfrac{\pi \cdot 0{,}6^2}{2} = 1{,}8 + 0{,}18\pi \approx 2{,}37$ m². Marco: base y dos lados ($1{,}2 + 2 \cdot 1{,}5 = 4{,}2$ m) y el arco ($\pi \cdot 0{,}6 \approx 1{,}88$ m): $\approx 6{,}08$ m.

3. 3. Difícil

   A un semicírculo de 10 cm de diámetro se le quitan dos semicírculos de 5 cm de diámetro apoyados sobre el mismo diámetro, uno a cada lado del centro. Calcula el área y el perímetro de la figura que queda.

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   Área: $6{,}25\pi \approx 19{,}63$ cm². Perímetro: $10\pi \approx 31{,}42$ cm

   Área: $\dfrac{\pi \cdot 5^2}{2} - 2 \cdot \dfrac{\pi \cdot 2{,}5^2}{2} = 12{,}5\pi - 6{,}25\pi = 6{,}25\pi \approx 19{,}63$ cm². Perímetro: arco grande $\pi \cdot 5$ y dos arcos pequeños $\pi \cdot 2{,}5$ cada uno: $5\pi + 5\pi = 10\pi \approx 31{,}42$ cm.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Una mesa de reuniones tiene forma de rectángulo de 2,4 m × 1,2 m con un semicírculo de 1,2 m de diámetro en cada extremo. Calcula su superficie y la longitud del canto.

   Ver solución

   $\approx 4{,}01$ m²; canto $\approx 8{,}57$ m

   Área: $2{,}4 \cdot 1{,}2 + \pi \cdot 0{,}6^2 = 2{,}88 + 0{,}36\pi \approx 4{,}01$ m². Canto: $2 \cdot 2{,}4 + 2\pi \cdot 0{,}6 = 4{,}8 + 1{,}2\pi \approx 8{,}57$ m.

2. 2. Media

   La tarjeta del abono transporte es un rectángulo de unos 8,6 cm × 5,4 cm con las cuatro esquinas redondeadas: cada esquina es un cuarto de círculo de 0,3 cm de radio. Calcula su área y su perímetro.

   Ver solución

   $\approx 46{,}36$ cm²; perímetro $\approx 27{,}48$ cm

   En cada esquina, en lugar de un cuadradito de $0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09$ cm² hay un cuarto de círculo de $\dfrac{\pi \cdot 0{,}3^2}{4}$ cm². Área: $8{,}6 \cdot 5{,}4 - 4 \cdot 0{,}09 + \pi \cdot 0{,}09 = 46{,}44 - 0{,}36 + 0{,}09\pi \approx 46{,}36$ cm². Perímetro: tramos rectos $2 \cdot (8{,}6 - 0{,}6) + 2 \cdot (5{,}4 - 0{,}6) = 25{,}6$ cm; los cuatro arcos forman una circunferencia de radio 0,3: $0{,}6\pi \approx 1{,}88$ cm. Total: $\approx 27{,}48$ cm.

3. 3. Difícil

   Una plaza cuadrada de 8 m de lado tiene en cada esquina una jardinera con forma de cuarto de círculo de 3 m de radio (centrado en la esquina). Calcula el área de la zona pavimentada y su perímetro.

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   $64 - 9\pi \approx 35{,}73$ m²; perímetro $8 + 6\pi \approx 26{,}85$ m

   Las cuatro jardineras forman un círculo de radio 3: $9\pi$ m². Área: $64 - 9\pi \approx 35{,}73$ m². Perímetro: en cada lado quedan $8 - 2 \cdot 3 = 2$ m rectos ($4 \cdot 2 = 8$ m) y los cuatro arcos forman una circunferencia: $2\pi \cdot 3 = 6\pi$ m. Total: $8 + 6\pi \approx 26{,}85$ m.