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Matemáticas 3.º ESO · Teorema de Tales y semejanza de triángulos

Recuerda: el teorema de Tales

Objetivo: Al terminar, sabrás aplicar el teorema de Tales para calcular un segmento desconocido cuando varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, y comprobar con él si una recta es paralela a otras dos.

Recuerda

Razón de segmentos

La razón entre dos segmentos es el cociente de sus longitudes (medidas con la misma unidad). Cuatro segmentos $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son proporcionales si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ .

Teorema de Tales

Si varias rectas paralelas $a$ , $b$ , $c$ cortan a dos rectas secantes $r$ y $s$ , los segmentos que determinan en $r$ son proporcionales a los que determinan en $s$ .

Si $a$ , $b$ y $c$ cortan a $r$ en $A$ , $B$ , $C$ y a $s$ en $A'$ , $B'$ , $C'$ : $\frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'} \qquad \text{o también} \qquad \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}$

Cómo calcular un segmento

Escribe la proporción con los segmentos en el mismo orden en las dos rectas.
Multiplica en cruz y despeja.

Por ejemplo, si $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'}$ , entonces $B'C' = \dfrac{BC \cdot A'B'}{AB}$ .

Con los segmentos enteros y con más de tres paralelas

La proporción también se cumple con segmentos que abarcan varios tramos, siempre que tomes los mismos en las dos secantes. Por ejemplo: $\frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'}$ Y si hay cuatro o más paralelas, todos los segmentos de una secante son proporcionales a los de la otra: $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{C'D'}{CD} = \ldots$

Comprobar si una recta es paralela

Si sabemos que $a \parallel b$ , la recta $c$ es paralela a ellas solo cuando las razones $\dfrac{AB}{BC}$ y $\dfrac{A'B'}{B'C'}$ son iguales. Si salen distintas, $c$ no es paralela.

Puntos clave

Teorema de Tales: rectas paralelas cortadas por dos secantes determinan segmentos proporcionales.
$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'}$ : los segmentos, en el mismo orden en las dos secantes.
También vale con segmentos enteros: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{A'B'}{A'C'}$ .
Para calcular un segmento, se multiplica en cruz y se despeja.
Si las razones no son iguales, las rectas no son paralelas.

Errores frecuentes

ErrorCruzar los segmentos al escribir la proporción ( $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{B'C'}{A'B'}$ ).
Cómo corregirloLee los segmentos en el mismo orden en las dos secantes: el de arriba entre el de abajo en $r$ y lo mismo en $s$ .
ErrorAplicar Tales cuando las rectas que cortan a las secantes no son paralelas.
Cómo corregirloComprueba primero que el enunciado dice (o el dibujo marca) que las rectas son paralelas.
ErrorMezclar en la proporción un tramo de una secante con el segmento entero de la otra ( $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{A'C'}$ ).
Cómo corregirloSi en una secante usas el tramo $BC$ , en la otra usa su tramo correspondiente $B'C'$ ; si usas el segmento entero $AC$ , usa también $A'C'$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tres paralelas y dos secantes numérico
Las rectas paralelas $a$ , $b$ y $c$ cortan a la recta $r$ en $A$ , $B$ , $C$ y a la recta $s$ en $A'$ , $B'$ , $C'$ . Sabemos que $AB = 3$ cm, $BC = 4{,}5$ cm y $A'B' = 4$ cm. Calcula $B'C'$ .

Resolución
Por el teorema de Tales: $\frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'} \;\Rightarrow\; \frac{3}{4{,}5} = \frac{4}{B'C'} \;\Rightarrow\; B'C' = \frac{4{,}5 \cdot 4}{3} = 6\ \text{cm}$ Comprobación: $\dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{2}{3}$ y $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ . ✔
Ejemplo 2. Dos parcelas entre lindes paralelas situación real
Dos parcelas de un pueblo de la sierra de Madrid están separadas por lindes paralelas entre sí. Por delante dan a una carretera, donde sus fachadas miden 20 m y 30 m. Por detrás dan a un camino que no es paralelo a la carretera; allí, la primera parcela mide 24 m. ¿Cuánto mide la segunda parcela por el camino?

Resolución
Las lindes son paralelas y cortan a la carretera y al camino: aplicamos Tales. $\frac{20}{30} = \frac{24}{x} \;\Rightarrow\; x = \frac{30 \cdot 24}{20} = 36\ \text{m}$ La segunda parcela mide 36 m por el camino.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Tres rectas paralelas cortan a dos secantes. En una determinan los segmentos $AB = 6$ cm y $BC = x$ , y en la otra, $A'B' = 4$ cm y $B'C' = 5$ cm. Calcula $x$ .

Ver solución
x = 7,5 cm
$\dfrac{6}{x} = \dfrac{4}{5} \;\Rightarrow\; 4x = 30 \;\Rightarrow\; x = 7{,}5$ cm.
2. Fácil
Las rectas $a$ y $b$ son paralelas. Las rectas $a$ , $b$ y $c$ cortan a la secante $r$ en $A$ , $B$ , $C$ y a la secante $s$ en $A'$ , $B'$ , $C'$ , con $AB = 2$ cm, $BC = 5$ cm, $A'B' = 3$ cm y $B'C' = 7{,}5$ cm. ¿Es $c$ paralela a $a$ y $b$ ?

Ver solución
Sí: las razones son iguales (0,4).
$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ y $\dfrac{A'B'}{B'C'} = \dfrac{3}{7{,}5} = 0{,}4$ . Las razones son iguales: $c$ es paralela a $a$ y $b$ .
3. Media
En una rampa de skate de Madrid Río, los soportes verticales (paralelos entre sí) cortan al suelo y a la superficie inclinada de la rampa. En el suelo, los soportes están separados 1,2 m y 1,8 m. Por la rampa, el primer tramo entre soportes mide 1,3 m. ¿Cuánto mide el segundo tramo?

Ver solución
1,95 m
Por Tales: $\dfrac{1{,}2}{1{,}8} = \dfrac{1{,}3}{x} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{1{,}8 \cdot 1{,}3}{1{,}2} = 1{,}95$ m.

Para practicar más

1. Fácil
Tres rectas paralelas cortan a dos secantes $r$ y $s$ . En $r$ determinan $AB = 8$ cm y $BC = 10$ cm; en $s$ , $A'B' = x$ y $B'C' = 12{,}5$ cm. Calcula $x$ .

Ver solución
x = 10 cm
$\dfrac{8}{10} = \dfrac{x}{12{,}5} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{8 \cdot 12{,}5}{10} = 10$ cm.
2. Media
Una estantería tiene un lateral vertical y el otro inclinado. Sus tres baldas son paralelas. Por el lateral vertical, la distancia entre la primera y la segunda balda es 30 cm, y entre la segunda y la tercera, 40 cm. Por el lateral inclinado, entre la primera y la segunda hay 33 cm. ¿Qué distancia hay entre la segunda y la tercera por el lateral inclinado?

Ver solución
44 cm
Las baldas son paralelas y cortan a los dos laterales: $\dfrac{30}{40} = \dfrac{33}{x} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{40 \cdot 33}{30} = 44$ cm.
3. Media
Las rectas $a$ y $b$ son paralelas. Las rectas $a$ , $b$ y $c$ cortan a una secante en segmentos de 3 cm y 5 cm, y a otra secante en segmentos de 4,5 cm y 7 cm (en el mismo orden). ¿Es $c$ paralela a $a$ y $b$ ?

Ver solución
No: 3/5 = 0,6 y 4,5/7 ≈ 0,64 no son iguales.
$\dfrac{3}{5} = 0{,}6$ y $\dfrac{4{,}5}{7} \approx 0{,}643$ . Las razones no son iguales, así que $c$ no es paralela a $a$ y $b$ . (Para que lo fuera, el segundo segmento debería medir $\dfrac{5 \cdot 4{,}5}{3} = 7{,}5$ cm.)