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Matemáticas 3.º ESO · Posiciones relativas de rectas y circunferencias

Recuerda: punto, recta, semirrecta, segmento y plano

Objetivo: Al terminar, sabrás identificar puntos, rectas, semirrectas, segmentos y planos en dibujos y objetos cotidianos y nombrarlos con su notación.

Recuerda

Recuerda…

Elemento	Qué es	Cómo se nombra
Punto	Una posición, sin tamaño	Letra mayúscula: $A$ , $P$
Recta	Línea recta sin principio ni fin	Letra minúscula ( $r$ , $s$ ) o dos de sus puntos: recta $AB$
Semirrecta	Parte de una recta que empieza en un punto (el origen) y no tiene fin	Por su origen y otro punto: semirrecta de origen $A$ que pasa por $B$
Segmento	Parte de una recta entre dos puntos (los extremos); se puede medir	$\overline{AB}$ o segmento $AB$
Plano	Superficie llana sin límites	Letra griega: $\pi$ , $\alpha$

Por dos puntos pasa una sola recta.
Por un punto pasan infinitas rectas.
Un punto de una recta la divide en dos semirrectas (opuestas).
Las rectas, las semirrectas y los planos no se pueden medir; los segmentos sí.

Puntos clave

Por dos puntos distintos pasa una única recta.
Semirrecta: tiene origen y no tiene fin; segmento: tiene dos extremos y se mide.
Un punto divide a una recta en dos semirrectas opuestas.
El plano es una superficie llana sin límites; una hoja o una mesa son solo una parte de un plano.

Errores frecuentes

ErrorLlamar recta a lo que se dibuja con la regla entre dos puntos.
Cómo corregirloSi tiene dos extremos es un segmento. La recta continúa sin fin por los dos lados (se indica con puntos suspensivos o flechas).
ErrorPensar que la semirrecta $AB$ y la semirrecta $BA$ son la misma.
Cómo corregirloTienen orígenes distintos y van en sentidos opuestos; solo comparten el segmento $AB$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Elementos en un plano del metro situación real (identificar y nombrar)
En un esquema de una línea de metro recta aparecen, en este orden, las estaciones $A$ , $B$ , $C$ y $D$ . Nombra: a) el tramo entre $B$ y $D$ ; b) la parte de la línea que empieza en $C$ y sigue hacia $D$ y más allá, si la línea se prolongara sin fin; c) ¿cuántos segmentos con extremos en dos de las estaciones hay?

Resolución
a) Es el segmento $BD$ . b) Es la semirrecta de origen $C$ que pasa por $D$ . c) Contamos los pares de estaciones: $AB$ , $AC$ , $AD$ , $BC$ , $BD$ , $CD$ → 6 segmentos.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dibuja cuatro puntos $P$ , $Q$ , $R$ y $S$ de forma que no haya tres en la misma recta. a) ¿Cuántas rectas distintas puedes trazar que pasen por dos de ellos? b) Nómbralas.

Ver solución
a) 6. b) PQ, PR, PS, QR, QS, RS.
Cada par de puntos determina una recta y, como no hay tres alineados, todas son distintas: $PQ$ , $PR$ , $PS$ , $QR$ , $QS$ , $RS$ → 6 rectas.
2. Fácil
Sobre una recta marca tres puntos $A$ , $B$ y $C$ , en ese orden. a) Nombra las dos semirrectas de origen $B$ . b) ¿El punto $C$ está en el segmento $AB$ ? ¿Y en la semirrecta de origen $A$ que pasa por $B$ ?

Ver solución
a) La que pasa por A y la que pasa por C. b) No; sí.
a) La semirrecta de origen $B$ que pasa por $A$ y la semirrecta de origen $B$ que pasa por $C$ (son opuestas). b) $C$ no está en el segmento $AB$ (está después de $B$ ), pero sí está en la semirrecta de origen $A$ que pasa por $B$ , porque esa semirrecta continúa más allá de $B$ .

Para practicar más

1. Fácil
Di qué elemento geométrico (punto, recta, semirrecta, segmento o parte de un plano) representa mejor cada objeto: a) la marca de un alfiler en un corcho; b) el rayo de luz de un puntero láser; c) el borde de una regla; d) la superficie de una pizarra.

Ver solución
a) Punto. b) Semirrecta. c) Segmento. d) Parte de un plano.
a) Punto. b) Semirrecta: empieza en el puntero y avanza en un sentido. c) Segmento: tiene dos extremos. d) Parte de un plano: superficie llana con bordes.
2. Media
Dibuja una recta $r$ y un punto $P$ que no esté en ella. a) ¿Cuántas rectas pasan por $P$ ? b) De ellas, ¿cuántas no cortan a $r$ ?

Ver solución
a) Infinitas. b) Una (la paralela a r por P).
a) Por un punto pasan infinitas rectas. b) Todas cortan a $r$ salvo una: la paralela a $r$ que pasa por $P$ .