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Explicación

Para qué sirve saber que dos triángulos son iguales

Si demostramos que dos triángulos son iguales, todos sus elementos homólogos son iguales. Así podemos conocer un lado o un ángulo que no podemos medir (porque está al otro lado de un río, dentro de una pieza, etc.) midiendo su homólogo en el otro triángulo.

Cómo se hace

Localiza en la figura dos triángulos que parezcan iguales y nombra sus vértices en orden de correspondencia.
Busca tres igualdades entre sus lados y ángulos. Las pistas más habituales son:
- datos del enunciado (medidas iguales, punto medio, lados de un rombo o de un cuadrado…);
- un lado común a los dos triángulos;
- ángulos opuestos por el vértice (son iguales);
- ángulos alternos internos entre rectas paralelas (son iguales);
- ángulos rectos.
Di el criterio (LLL, LAL o ALA) y comprueba que el ángulo está donde debe estar.
Concluye: los elementos homólogos son iguales. El lado homólogo es el que está enfrente del ángulo igual.

Escríbelo así:

En los triángulos $ABC$ y $DEC$ : $CA = CD$ (dato), $\hat{C}_1 = \hat{C}_2$ (opuestos por el vértice), $CB = CE$ (dato). Por LAL, $ABC \cong DEC$ ; por tanto, $AB = DE$ .

Puntos clave

Si dos triángulos son iguales, sus lados y ángulos homólogos son iguales: se puede medir uno para conocer el otro.
Escribe siempre tres igualdades con su razón, el criterio y la conclusión.
Pistas: lado común, ángulos opuestos por el vértice, ángulos alternos entre paralelas, punto medio, ángulos rectos.
El lado homólogo de un lado es el que está enfrente del ángulo homólogo.

Errores frecuentes

ErrorOlvidar el lado común porque no aparece como dato.
Cómo corregirloRepasa con el dedo los lados de los dos triángulos: si uno es el mismo segmento, es una igualdad gratis.
ErrorConcluir que dos lados son iguales sin haber demostrado antes que los triángulos son iguales.
Cómo corregirloPrimero el criterio, después la conclusión. Si no tienes tres igualdades, busca otra pista o calcula un ángulo.
ErrorEmparejar mal los elementos y dar como resultado un lado que no es el homólogo.
Cómo corregirloEscribe los triángulos con los vértices en orden ( $ABC \cong DEC$ ): el primer y el segundo vértice dan el lado homólogo ( $AB$ y $DE$ ).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La anchura de un estanque situación real (LAL con ángulos opuestos por el vértice)
Queremos medir la distancia entre dos puntos $A$ y $B$ situados en orillas opuestas de un estanque de un parque de Madrid. Desde un punto $C$ del césped se ven los dos y se puede llegar andando a ambos. Medimos $CA = 60$ m y $CB = 85$ m. Prolongamos el segmento $AC$ más allá de $C$ y marcamos $D$ con $CD = 60$ m; prolongamos $BC$ y marcamos $E$ con $CE = 85$ m. Al medir sobre el césped obtenemos $DE = 132$ m. ¿Cuánto mide $AB$ ? Justifícalo.

Resolución
Comparamos los triángulos $ACB$ y $DCE$ :
- $CA = CD = 60$ m (lo hemos construido así);
- $CB = CE = 85$ m (también);
- $\widehat{ACB} = \widehat{DCE}$ , porque son opuestos por el vértice $C$ .
Dos lados y el ángulo comprendido: por LAL, $ACB \cong DCE$ . Los lados homólogos $AB$ y $DE$ son iguales: $AB = DE = 132\ \text{m}$
Ejemplo 2. Ángulos de un paralelogramo numérico (LLL con un lado común)
En el paralelogramo $ABCD$ (lados opuestos paralelos e iguales) se traza la diagonal $BD$ . Sabemos que $AB = 7$ cm, $AD = 4$ cm y $\hat{A} = 65^\circ$ . a) Demuestra que los triángulos $ABD$ y $CDB$ son iguales. b) Deduce $CD$ , $CB$ y $\hat{C}$ . c) Calcula los ángulos $\hat{B}$ y $\hat{D}$ del paralelogramo.

Resolución
a) En $ABD$ y $CDB$ : $AB = CD$ y $AD = CB$ (lados opuestos del paralelogramo) y $BD$ es común. Por LLL, $ABD \cong CDB$ .

b) $CD = AB = 7$ cm; $CB = AD = 4$ cm. El ángulo $\hat{A}$ está enfrente de $BD$ en $ABD$ , y $\hat{C}$ está enfrente de $BD$ en $CDB$ : son homólogos, así que $\hat{C} = \hat{A} = 65^\circ$ .

c) De la igualdad de triángulos, $\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$ y $\widehat{ADB} = \widehat{CBD}$ . Sumando, $\hat{B} = \widehat{ABD} + \widehat{DBC} = \widehat{CDB} + \widehat{ADB} = \hat{D}$ .

Los ángulos de un cuadrilátero suman $360^\circ$ : $\hat{B} = \hat{D} = \frac{360^\circ - 2 \cdot 65^\circ}{2} = 115^\circ$
Ejemplo 3. Una cometa razonamiento con ángulos (LLL y suma de ángulos)
Una cometa tiene forma de cuadrilátero $ABCD$ con los dos lados de arriba iguales ( $AB = AD$ ) y los dos de abajo también iguales ( $CB = CD$ ). Se sabe que $\widehat{BAD} = 100^\circ$ y $\widehat{BCD} = 50^\circ$ . La varilla $AC$ une las dos puntas. Calcula $\widehat{ABC}$ , $\widehat{ADC}$ , $\widehat{BAC}$ y $\widehat{BCA}$ .

Resolución
En $ABC$ y $ADC$ : $AB = AD$ , $CB = CD$ y $AC$ es común. Por LLL, $ABC \cong ADC$ .
- Ángulos homólogos: $\widehat{ABC} = \widehat{ADC}$ . Como los cuatro ángulos suman $360^\circ$ : $\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = \frac{360^\circ - 100^\circ - 50^\circ}{2} = 105^\circ$
- La varilla $AC$ divide cada ángulo en dos partes iguales ( $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$ y $\widehat{BCA} = \widehat{DCA}$ ): $\widehat{BAC} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \qquad \widehat{BCA} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$
Comprobación en $ABC$ : $50^\circ + 105^\circ + 25^\circ = 180^\circ$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
El punto $P$ está en la bisectriz del ángulo $\widehat{AOB} = 70^\circ$ . Desde $P$ se trazan perpendiculares a los lados del ángulo, que los cortan en $A$ y en $B$ . a) Demuestra que los triángulos $OAP$ y $OBP$ son iguales. b) Si $PA = 2{,}4$ cm, ¿cuánto mide $PB$ ? c) Calcula $\widehat{OPA}$ y $\widehat{OPB}$ .

Ver solución
a) Iguales por ALA. b) PB = 2,4 cm. c) 55° los dos.
a) $\widehat{AOP} = \widehat{BOP} = 35^\circ$ (bisectriz); $\hat{A} = \hat{B} = 90^\circ$ , luego también $\widehat{OPA} = \widehat{OPB}$ (el tercer ángulo); $OP$ es común y está entre $\widehat{AOP}$ y $\widehat{OPA}$ (y entre $\widehat{BOP}$ y $\widehat{OPB}$ ). Por ALA, $OAP \cong OBP$ . b) $PB = PA = 2{,}4$ cm: cualquier punto de la bisectriz está a la misma distancia de los dos lados. c) $\widehat{OPA} = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ = \widehat{OPB}$ .
2. Media
Las diagonales del rombo $ABCD$ se cortan en $O$ . El lado del rombo mide 10 cm, $AO = OC = 8$ cm y $BO = OD = 6$ cm. a) ¿Por qué son iguales los cuatro triángulos $AOB$ , $COB$ , $COD$ y $AOD$ ? b) Deduce cuánto mide cada uno de los cuatro ángulos con vértice en $O$ . c) Comprueba el resultado con el teorema de Pitágoras.

Ver solución
a) LLL (lados de 6, 8 y 10 cm). b) 90° cada uno. c) 6² + 8² = 10².
a) Los cuatro tienen lados de 8 cm (media diagonal larga), 6 cm (media diagonal corta) y 10 cm (lado del rombo) → LLL. b) Los ángulos en $O$ son homólogos (enfrente del lado de 10 cm), así que son iguales. Como dan una vuelta completa: $360^\circ : 4 = 90^\circ$ . Las diagonales del rombo son perpendiculares. c) Si el ángulo en $O$ es recto, debe cumplirse $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ . ✔
3. Media
Una antena vertical $PQ$ de 8 m de altura ( $Q$ en el suelo) se sujeta con dos cables que van desde la punta $P$ hasta dos puntos del suelo, $A$ y $B$ , situados a 6 m de $Q$ en sentidos opuestos. a) Demuestra que los triángulos $PQA$ y $PQB$ son iguales. b) ¿Cuánto mide cada cable? c) ¿Qué ángulo es igual a $\widehat{PAQ}$ ?

Ver solución
a) Iguales por LAL. b) 10 m cada uno. c) El ángulo PBQ.
a) $QA = QB = 6$ m; $\widehat{PQA} = \widehat{PQB} = 90^\circ$ (la antena es vertical); $PQ$ es común. Por LAL, $PQA \cong PQB$ . b) $PA = PB = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ m. c) $\widehat{PBQ}$ (los dos cables forman el mismo ángulo con el suelo).
4. Difícil
Las rectas $AB$ y $CD$ son paralelas. El segmento $AD$ las une y su punto medio es $E$ ; el segmento $BC$ pasa también por $E$ . Si $AB = 9$ cm y $BC = 14$ cm, calcula $CD$ , $BE$ y $EC$ . Justifica qué triángulos son iguales y por qué.
Ver solución
ABE ≅ DCE por ALA; CD = 9 cm, BE = EC = 7 cm.
En $ABE$ y $DCE$ :
- $AE = DE$ ( $E$ es el punto medio de $AD$ );
- $\widehat{BAE} = \widehat{CDE}$ (alternos internos entre las paralelas $AB$ y $CD$ , cortadas por $AD$ );
- $\widehat{AEB} = \widehat{DEC}$ (opuestos por el vértice).
El lado $AE$ está entre $\hat{A}$ y $\hat{E}$ , y $DE$ entre $\hat{D}$ y $\hat{E}$ : por ALA, $ABE \cong DCE$ . Lados homólogos: $CD = AB = 9$ cm y $EC = EB$ . Como $BE + EC = BC = 14$ cm, $BE = EC = 7$ cm.

Para practicar más

1. Fácil
Los triángulos $ABC$ y $DEF$ son iguales, con $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ y $C \leftrightarrow F$ . Se sabe que $AB = 7$ cm, $BC = 9$ cm, $\hat{A} = 48^\circ$ y $\hat{B} = 67^\circ$ . Calcula $DE$ , $EF$ , $\hat{D}$ , $\hat{E}$ y $\hat{F}$ .

Ver solución
DE = 7 cm, EF = 9 cm, D̂ = 48°, Ê = 67°, F̂ = 65°.
Elementos homólogos: $DE = AB = 7$ cm, $EF = BC = 9$ cm, $\hat{D} = \hat{A} = 48^\circ$ , $\hat{E} = \hat{B} = 67^\circ$ . $\hat{F} = \hat{C} = 180^\circ - 48^\circ - 67^\circ = 65^\circ$ .
2. Media
Para medir la anchura del río Manzanares entre un punto $A$ de una orilla y un árbol $B$ de la otra (justo enfrente), Marta camina desde $A$ por la orilla, en perpendicular a $AB$ , 25 m hasta un punto $C$ , donde clava una estaca, y sigue en la misma dirección otros 25 m hasta $D$ . Desde $D$ se aleja del río en perpendicular a la orilla hasta un punto $E$ desde el que ve la estaca $C$ y el árbol $B$ alineados. Mide $DE = 38$ m. a) ¿Qué triángulos son iguales y por qué criterio? b) ¿Cuánto mide la anchura $AB$ ?

Ver solución
a) ABC ≅ DEC por ALA. b) 38 m.
a) En $ABC$ y $DEC$ : $CA = CD = 25$ m; $\hat{A} = \hat{D} = 90^\circ$ ; $\widehat{ACB} = \widehat{DCE}$ (opuestos por el vértice, porque $B$ , $C$ y $E$ están alineados). El lado $CA$ está entre $\hat{A}$ y $\hat{C}$ , y $CD$ entre $\hat{D}$ y $\hat{C}$ : ALA. b) $AB = DE = 38$ m.
3. Media
Un hexágono regular de 5 cm de lado tiene su centro en $O$ . Al unir $O$ con los seis vértices se forman seis triángulos. a) ¿Por qué son iguales los seis? b) ¿Cuánto mide el ángulo de cada uno con vértice en $O$ ? c) Demuestra que cada triángulo es equilátero y deduce la distancia de $O$ a cada vértice.

Ver solución
a) LLL. b) 60°. c) Sus ángulos miden 60°; la distancia de O a cada vértice es 5 cm.
a) Los seis tienen dos lados iguales al radio (el centro está a la misma distancia de todos los vértices) y el tercero igual al lado, 5 cm → LLL. b) Son iguales y llenan la vuelta: $360^\circ : 6 = 60^\circ$ . c) Cada triángulo es isósceles (dos radios), así que los otros dos ángulos son iguales: $\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$ . Tres ángulos de $60^\circ$ → equilátero. Por tanto, el radio mide lo mismo que el lado: 5 cm.
4. Media
En el trapecio isósceles $ABCD$ , las bases son $AB$ y $CD$ , los lados no paralelos son iguales ( $AD = BC$ ) y los ángulos de la base mayor también ( $\widehat{DAB} = \widehat{CBA}$ ). a) Demuestra que los triángulos $ABD$ y $BAC$ son iguales. b) Deduce que las diagonales $BD$ y $AC$ son iguales. c) Si $\widehat{ABD} = 25^\circ$ , ¿cuánto mide $\widehat{BAC}$ ?

Ver solución
a) LAL. b) Son lados homólogos. c) 25°.
a) $AB$ es común; $AD = BC$ (dato); $\widehat{DAB} = \widehat{CBA}$ , que están entre esos lados. Por LAL, $ABD \cong BAC$ (con $A \leftrightarrow B$ , $B \leftrightarrow A$ , $D \leftrightarrow C$ ). b) $BD$ y $AC$ son homólogos → $BD = AC$ . c) $\widehat{ABD}$ y $\widehat{BAC}$ son homólogos → $\widehat{BAC} = 25^\circ$ .
5. Difícil
En el triángulo isósceles $ABC$ , $AB = AC = 15$ cm. Se marcan $D$ en $AB$ y $E$ en $AC$ con $AD = AE = 6$ cm, y se trazan los segmentos $BE$ y $CD$ . a) Demuestra que $ABE \cong ACD$ . b) Si $CD = 12$ cm, ¿cuánto mide $BE$ ? c) ¿Qué ángulo es igual a $\widehat{ABE}$ ?

Ver solución
a) LAL con el ángulo Â común. b) 12 cm. c) El ángulo ACD.
a) $AB = AC = 15$ cm; $AE = AD = 6$ cm; el ángulo $\hat{A}$ es común a los dos triángulos y está entre esos lados. Por LAL, $ABE \cong ACD$ (con $B \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow D$ ). b) $BE$ y $CD$ son homólogos: $BE = 12$ cm. c) $\widehat{ACD}$ .

Aplicar la igualdad de triángulos para deducir medidas