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Matemáticas 3.º ESO · Posiciones relativas de rectas y circunferencias

Ampliación: rectas y planos en el espacio

Objetivo: Al terminar, sabrás describir las posiciones de rectas y planos en objetos del espacio (aristas y caras de un cubo: paralelas, secantes o que se cruzan) y justificar afirmaciones sobre ellas.

Explicación

Dos rectas en el espacio

En el plano, dos rectas que no se cortan son paralelas. En el espacio hay una posibilidad más:

Posición	¿Están en un mismo plano?	Puntos comunes
Secantes	Sí	Uno
Paralelas	Sí	Ninguno
Coincidentes	Sí	Todos
Se cruzan	No	Ninguno

Dos rectas se cruzan cuando no se cortan y no son paralelas: van en direcciones distintas y a «distinta altura». Ejemplo: una arista vertical de una caja y una arista horizontal de la tapa que no la toca.

Recta y plano

Contenida en el plano: todos sus puntos están en él.
Secante al plano: lo corta en un punto.
Paralela al plano: no tiene ningún punto en común.

Dos planos

Secantes: se cortan en una recta (como dos paredes contiguas).
Paralelos: no se cortan (como el suelo y el techo).
Coincidentes: son el mismo plano.

El cubo como modelo

Nombramos el cubo así: la base es $ABCD$ y la tapa $EFGH$ , con $E$ encima de $A$ , $F$ encima de $B$ , $G$ encima de $C$ y $H$ encima de $D$ . Sus 12 aristas y 6 caras sirven para ver todas estas posiciones.

Puntos clave

En el espacio, dos rectas pueden ser secantes, paralelas, coincidentes o cruzarse.
Se cruzan: no se cortan y no están en un mismo plano.
Recta y plano: contenida, secante (un punto) o paralela.
Dos planos: secantes (se cortan en una recta), paralelos o coincidentes.

Errores frecuentes

ErrorDecir que dos aristas de un cubo son paralelas porque no se tocan.
Cómo corregirloComprueba si tienen la misma dirección. Si no la tienen y no se tocan, se cruzan.
ErrorPensar que dos planos secantes se cortan en un punto.
Cómo corregirloDos planos secantes se cortan siempre en una recta: piensa en dos paredes que se juntan en una esquina.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Las aristas de un cubo visualización espacial
En el cubo $ABCDEFGH$ (base $ABCD$ , tapa $EFGH$ , con $E$ sobre $A$ , $F$ sobre $B$ , $G$ sobre $C$ y $H$ sobre $D$ ), clasifica las otras 11 aristas según su posición respecto a la arista $AB$ .

Resolución
- Paralelas a $AB$ (misma dirección): $CD$ , $EF$ y $GH$ → 3.
- Secantes (tienen un vértice en común con $AB$ ): $AD$ , $AE$ , $BC$ y $BF$ → 4.
- Se cruzan (ni se tocan ni son paralelas): $CG$ , $DH$ , $EH$ y $FG$ → 4.
Comprobación: $3 + 4 + 4 = 11$ .
Ejemplo 2. Rectas y planos en el aula situación real
Piensa en tu aula como un ortoedro. Di la posición relativa de: a) el suelo y el techo; b) el suelo y la pared de la pizarra; c) la línea donde se juntan el suelo y la pared de la pizarra, y la arista vertical de una esquina del fondo del aula; d) esa misma línea del suelo y el plano del techo.

Resolución
a) Planos paralelos. b) Planos secantes: se cortan en la recta del rodapié. c) No se tocan y no tienen la misma dirección: se cruzan. d) La recta no corta al techo: recta paralela al plano.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En el cubo $ABCDEFGH$ , clasifica las demás aristas según su posición respecto a la arista vertical $AE$ .

Ver solución
Paralelas: BF, CG, DH. Secantes: AB, AD, EF, EH. Se cruzan: BC, CD, FG, GH.
Paralelas (verticales): $BF$ , $CG$ , $DH$ . Secantes (comparten $A$ o $E$ ): $AB$ , $AD$ , $EF$ , $EH$ . Se cruzan: $BC$ , $CD$ , $FG$ , $GH$ . Total: $3 + 4 + 4 = 11$ .
2. Media
En el cubo $ABCDEFGH$ , di la posición relativa de: a) la recta $AB$ y el plano de la tapa $EFGH$ ; b) la recta $AB$ y el plano de la cara $BCGF$ ; c) la recta $AB$ y el plano de la base $ABCD$ ; d) los planos $ABCD$ y $EFGH$ ; e) los planos $ABCD$ y $ABFE$ .

Ver solución
a) Paralela. b) Secante (en B). c) Contenida. d) Paralelos. e) Secantes (en la recta AB).
a) $AB$ no toca la tapa → paralela. b) La corta en $B$ → secante. c) Está en la base → contenida. d) Base y tapa → paralelos. e) Se cortan en la recta $AB$ → secantes.
3. Difícil
Una pirámide tiene base cuadrada $ABCD$ y vértice $V$ . Clasifica las demás aristas según su posición respecto a la arista $AB$ .

Ver solución
Paralela: CD. Secantes: BC, AD, VA, VB. Se cruzan: VC, VD.
Paralela: $CD$ (lado opuesto de la base). Secantes: $BC$ , $AD$ , $VA$ y $VB$ (comparten un vértice con $AB$ ). Se cruzan: $VC$ y $VD$ (no tocan a $AB$ y no son paralelas). Total: $1 + 4 + 2 = 7$ .

Para practicar más

1. Fácil
En el cubo $ABCDEFGH$ , clasifica las demás aristas según su posición respecto a la arista $FG$ .

Ver solución
Paralelas: AD, BC, EH. Secantes: BF, CG, EF, GH. Se cruzan: AB, AE, CD, DH.
Paralelas: $AD$ , $BC$ , $EH$ . Secantes (comparten $F$ o $G$ ): $BF$ , $CG$ , $EF$ , $GH$ . Se cruzan: $AB$ , $AE$ , $CD$ , $DH$ .
2. Media
Verdadero o falso en el espacio. Justifica con un ejemplo del cubo o del aula: a) Dos rectas que no se cortan son paralelas. b) Dos planos secantes se cortan en una recta. c) Si una recta es paralela a un plano, es paralela a todas las rectas de ese plano.

Ver solución
a) F. b) V. c) F.
a) Falso: pueden cruzarse, como $AB$ y $CG$ en el cubo. b) Verdadero: como dos paredes contiguas, que se cortan en la arista de la esquina. c) Falso: $AB$ es paralela al plano $EFGH$ , pero se cruza con la recta $EH$ , que está en ese plano.
3. Media
En un cubo: a) ¿Cuántas parejas de caras paralelas hay? b) ¿Con cuántas caras es secante cada cara? c) ¿Cuántas aristas se cruzan con una arista dada?

Ver solución
a) 3. b) 4. c) 4.
a) Base y tapa, delante y detrás, izquierda y derecha: 3 parejas. b) Cada cara es paralela a una y secante a las otras 4. c) De las 11 aristas restantes, 3 son paralelas y 4 secantes; se cruzan $11 - 3 - 4 = 4$ .