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Matemáticas 3.º ESO · Áreas de figuras circulares y compuestas

Corona circular y trapecio circular

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el área de una corona circular y de un trapecio circular, y hallar el ángulo o el radio de un sector cuando conoces su área o su arco.

Explicación

Corona circular

Una corona circular es la región comprendida entre dos circunferencias concéntricas (con el mismo centro) de radios $R$ (mayor) y $r$ (menor). Su área es la del círculo grande menos la del pequeño: $A_{\text{corona}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi\,(R^2 - r^2)$

Trapecio circular

Un trapecio circular es la parte de una corona limitada por dos radios que forman un ángulo $\alpha$ . Es un «trozo» de corona, así que tomamos la fracción $\dfrac{\alpha}{360^\circ}$ : $A_{\text{trapecio circular}} = \dfrac{\pi\,(R^2 - r^2) \cdot \alpha}{360^\circ}$ Su perímetro tiene cuatro tramos: los dos arcos (de radios $R$ y $r$ ) y dos segmentos rectos de longitud $R - r$ .

Problemas inversos

Si conocemos el área (o el arco) de un sector y nos piden el ángulo o el radio, escribimos la fórmula con los datos y despejamos: $A = \dfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^\circ} \;\Rightarrow\; \alpha = \dfrac{360^\circ \cdot A}{\pi r^2} \qquad\qquad r^2 = \dfrac{360^\circ \cdot A}{\pi \cdot \alpha}$

Puntos clave

Corona: $A = \pi\,(R^2 - r^2)$ .
Trapecio circular: $A = \dfrac{\pi\,(R^2 - r^2) \cdot \alpha}{360^\circ}$ .
Para hallar un ángulo o un radio, se despeja en la fórmula del arco o del sector.
Ojo: $R^2 - r^2$ no es lo mismo que $(R - r)^2$ .

Errores frecuentes

ErrorCalcular el área de la corona como $\pi\,(R - r)^2$ .
Cómo corregirloResta las áreas de los dos círculos: $\pi R^2 - \pi r^2$ .
ErrorAl despejar el radio, olvidar la raíz cuadrada.
Cómo corregirloLa fórmula da $r^2$ ; al final haz $r = \sqrt{\;\cdot\;}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El limpiaparabrisas situación real (trapecio circular)
La escobilla de un limpiaparabrisas va desde 15 cm hasta 60 cm del punto de giro y barre un ángulo de $110^\circ$ . ¿Qué superficie del cristal limpia?

Resolución
La zona barrida es un trapecio circular con $R = 60$ cm, $r = 15$ cm y $\alpha = 110^\circ$ : $A = \dfrac{\pi\,(60^2 - 15^2) \cdot 110^\circ}{360^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 3375 \cdot 110}{360} = 1031{,}25\,\pi \approx 3239{,}77\ \text{cm}^2$ Es decir, unos $0{,}32\ \text{m}^2$ .
Ejemplo 2. ¿Qué ángulo tiene el sector? problema inverso
Un sector circular de 9 cm de radio tiene un área de 56,55 cm². ¿Cuál es su ángulo central?

Resolución
Despejamos $\alpha$ : $\alpha = \dfrac{360^\circ \cdot A}{\pi r^2} = \dfrac{360^\circ \cdot 56{,}55}{\pi \cdot 81} \approx 80^\circ$ Comprobación: $\dfrac{\pi \cdot 81 \cdot 80^\circ}{360^\circ} = 18\pi \approx 56{,}55\ \text{cm}^2$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un carril bici de 3 m de ancho rodea un lago circular de 25 m de radio, pegado a la orilla. ¿Cuál es el área del carril (la corona)?

Ver solución
$159\pi \approx 499{,}51$ m²
Radios: $r = 25$ m (orilla) y $R = 25 + 3 = 28$ m. $A = \pi\,(28^2 - 25^2) = \pi\,(784 - 625) = 159\pi \approx 499{,}51$ m².
2. Media
Calcula el área y el perímetro de un trapecio circular de radios 10 cm y 6 cm y ángulo $60^\circ$ .

Ver solución
Área: $\dfrac{32\pi}{3} \approx 33{,}51$ cm². Perímetro: $8 + \dfrac{16\pi}{3} \approx 24{,}76$ cm
Área: $\dfrac{\pi\,(100 - 36) \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \dfrac{64\pi}{6} = \dfrac{32\pi}{3} \approx 33{,}51$ cm². Arcos: $\dfrac{2\pi \cdot 10}{6} = \dfrac{10\pi}{3}$ y $\dfrac{2\pi \cdot 6}{6} = 2\pi$ ; suman $\dfrac{16\pi}{3} \approx 16{,}76$ cm. Lados rectos: $2 \cdot (10 - 6) = 8$ cm. Perímetro: $8 + \dfrac{16\pi}{3} \approx 24{,}76$ cm.
3. Media
Un arco de una circunferencia de 10 cm de radio mide 15,71 cm. a) ¿Qué ángulo central le corresponde? b) Calcula el área del sector.

Ver solución
a) $90^\circ$ . b) $25\pi \approx 78{,}54$ cm²
a) $\alpha = \dfrac{360^\circ \cdot L}{2\pi r} = \dfrac{360^\circ \cdot 15{,}71}{20\pi} \approx 90^\circ$ . b) $A = \dfrac{\pi \cdot 10^2 \cdot 90^\circ}{360^\circ} = 25\pi \approx 78{,}54$ cm².

Para practicar más

1. Fácil
Un CD tiene unos 12 cm de diámetro y su agujero central, 1,5 cm de diámetro. ¿Cuál es el área de la superficie del disco (sin el agujero)?

Ver solución
$\approx 111{,}33$ cm²
Radios: $R = 6$ cm y $r = 0{,}75$ cm. $A = \pi\,(6^2 - 0{,}75^2) = 35{,}4375\,\pi \approx 111{,}33$ cm².
2. Media
Un abanico se abre $160^\circ$ . Sus varillas miden 23 cm, pero la tela empieza a 8 cm del eje. ¿Cuánta tela tiene el abanico?

Ver solución
$\approx 649{,}26$ cm²
La tela es un trapecio circular: $A = \dfrac{\pi\,(23^2 - 8^2) \cdot 160^\circ}{360^\circ} = \dfrac{\pi \cdot 465 \cdot 4}{9} \approx 649{,}26$ cm².
3. Difícil
Una cuña de un queso redondo tiene forma de sector circular de $40^\circ$ y su cara de arriba tiene un área de 28,27 cm². ¿Qué radio tenía el queso entero?

Ver solución
$\approx 9$ cm
$r^2 = \dfrac{360^\circ \cdot A}{\pi \cdot \alpha} = \dfrac{360 \cdot 28{,}27}{40\pi} \approx 81 \Rightarrow r \approx 9$ cm.