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Matemáticas 3.º ESO · Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Recuerda: el teorema de Pitágoras, diagonales y alturas

Objetivo: Al terminar, sabrás aplicar el teorema de Pitágoras para calcular diagonales de rectángulos y cuadrados y alturas de triángulos isósceles y equiláteros.

Recuerda

Recuerda: el teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa ( $a$ , el lado más largo) y los otros dos son los catetos ( $b$ y $c$ ): $a^2 = b^2 + c^2$

Para calcular la hipotenusa: $a = \sqrt{b^2 + c^2}$ (se suma).
Para calcular un cateto: $b = \sqrt{a^2 - c^2}$ (se resta).

Y al revés: si en un triángulo se cumple $a^2 = b^2 + c^2$ , el triángulo es rectángulo.

Aplicaciones directas

Figura	Triángulo rectángulo que se usa	Fórmula
Diagonal de un rectángulo de lados $b$ y $h$	La diagonal es la hipotenusa	$d = \sqrt{b^2 + h^2}$
Diagonal de un cuadrado de lado $l$	Catetos $l$ y $l$	$d = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$
Altura de un triángulo isósceles de lados iguales $l$ y base $b$	La altura cae en el punto medio de la base: catetos $h$ y $\frac{b}{2}$ , hipotenusa $l$	$h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$
Altura de un triángulo equilátero de lado $l$	Catetos $h$ y $\frac{l}{2}$ , hipotenusa $l$	$h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,l$

Consejo: dibuja siempre la figura, marca el ángulo recto y señala cuál es la hipotenusa antes de operar.

Pasos para resolver:

Dibuja la figura y busca un triángulo rectángulo dentro de ella (una diagonal, una altura…).
Señala qué lado es la hipotenusa y qué datos conoces.
Aplica el teorema: suma si buscas la hipotenusa y resta si buscas un cateto.
Da el resultado exacto (con raíz) o aproximado, indicando el redondeo.

Puntos clave

$a^2 = b^2 + c^2$ , con $a$ la hipotenusa (opuesta al ángulo recto).
Hipotenusa: se suman los cuadrados; cateto: se restan.
Diagonal del cuadrado: $d = l\sqrt{2}$ .
En un triángulo isósceles, la altura sobre la base la divide en dos mitades.
Altura del triángulo equilátero: $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,l$ .

Errores frecuentes

ErrorSumar los cuadrados cuando lo que se busca es un cateto.
Cómo corregirloSi conoces la hipotenusa, el cateto es $\sqrt{a^2 - c^2}$ : se resta.
ErrorUsar la base entera del triángulo isósceles como cateto.
Cómo corregirloLa altura divide la base en dos mitades: el cateto es $b/2$ .
ErrorEscribir $\sqrt{b^2 + c^2} = b + c$ .
Cómo corregirloLa raíz de una suma no es la suma de las raíces: calcula primero $b^2 + c^2$ y luego la raíz.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La diagonal de una pista de fútbol sala situación real
Una pista de fútbol sala mide 40 m de largo y 20 m de ancho. ¿Cuánto recorre un jugador que la cruza en línea recta de una esquina a la opuesta?

Resolución
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 40 m y 20 m: $d = \sqrt{40^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000} \approx 44{,}72\ \text{m}$ Recorre unos 44,7 m (redondeando a las décimas).
Ejemplo 2. La altura del tejado de una nave numérico (triángulo isósceles)
La fachada de una nave industrial termina en un tejado a dos aguas con forma de triángulo isósceles: la base mide 12 m y los dos lados inclinados, 6,5 m cada uno. ¿Qué altura tiene el tejado?

Resolución
La altura cae en el punto medio de la base, así que forma un triángulo rectángulo con:
- hipotenusa: el lado inclinado, 6,5 m;
- un cateto: la mitad de la base, $12 : 2 = 6$ m;
- el otro cateto: la altura $h$ . $h = \sqrt{6{,}5^2 - 6^2} = \sqrt{42{,}25 - 36} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\ \text{m}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula la diagonal de un cuadrado de 7 cm de lado. Da el resultado exacto y aproximado a las centésimas.

Ver solución
7√2 ≈ 9,90 cm.
$d = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9{,}90$ cm.
2. Media
Un triángulo isósceles tiene los lados iguales de 10 cm y la base de 12 cm. Calcula su altura y su área.

Ver solución
h = 8 cm; área = 48 cm².
Mitad de la base: 6 cm. $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ cm. Área: $\dfrac{12 \cdot 8}{2} = 48\ \text{cm}^2$ .
3. Media
Calcula la altura de un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Da el resultado exacto y aproximado a las centésimas.

Ver solución
3√3 ≈ 5,20 cm.
$h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20$ cm.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula la diagonal de un rectángulo de 15 cm de largo y 8 cm de ancho.

Ver solución
17 cm.
$d = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ cm.
2. Media
Un banderín tiene forma de triángulo isósceles con los lados iguales de 6,5 cm y la base de 5 cm. ¿Cuánto mide su altura?

Ver solución
6 cm.
Mitad de la base: 2,5 cm. $h = \sqrt{6{,}5^2 - 2{,}5^2} = \sqrt{42{,}25 - 6{,}25} = \sqrt{36} = 6$ cm.
3. Media
La diagonal de un cuadrado mide 12 cm. ¿Cuánto mide su lado? Da el resultado exacto y aproximado a las centésimas.

Ver solución
6√2 ≈ 8,49 cm.
Si el lado es $l$ : $l^2 + l^2 = 12^2 \Rightarrow 2l^2 = 144 \Rightarrow l^2 = 72 \Rightarrow l = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ cm.