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← U10 · Geometría plana: Pitágoras, Tales, áreas y trigonometría básica

Matemáticas 3.º ESO · Mediatriz, bisectriz y lugares geométricos

Problemas con lugares geométricos: circuncentro, incentro y varias condiciones

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas en los que un punto debe cumplir varias condiciones cortando lugares geométricos (mediatriz, bisectriz, circunferencia, paralelas), localizar el circuncentro y el incentro y justificar por qué la mediatriz es el lugar de los puntos que equidistan de los extremos.

Explicación

¿Qué es un lugar geométrico?

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una condición. Los más importantes:

Condición que cumplen los puntos	Lugar geométrico
Están a una distancia $r$ de un punto $O$	Circunferencia de centro $O$ y radio $r$
Están a la misma distancia de $A$ y de $B$	Mediatriz del segmento $AB$
Están a la misma distancia de los dos lados de un ángulo	Bisectriz del ángulo
Están a una distancia $d$ de una recta $r$	Dos rectas paralelas a $r$ , una a cada lado, a distancia $d$

Por qué la mediatriz es el lugar de los puntos que equidistan de $A$ y $B$

Sea $M$ el punto medio de $AB$ y $P$ un punto cualquiera de la mediatriz. Los triángulos $PMA$ y $PMB$ son rectángulos en $M$ , tienen el cateto $PM$ común y $AM = MB$ . Por el teorema de Pitágoras: $PA^2 = PM^2 + AM^2 = PM^2 + MB^2 = PB^2 \;\Rightarrow\; PA = PB$ (Si doblas el papel por la mediatriz, $A$ cae sobre $B$ y los dos triángulos coinciden.)

Y al revés: si un punto está a la misma distancia de $A$ y de $B$ , está en la mediatriz. Por eso la mediatriz contiene todos esos puntos y solo esos.

Puntos que cumplen dos condiciones

Si un punto debe cumplir dos condiciones, se dibuja el lugar geométrico de cada una y se buscan los puntos de corte. Puede haber dos soluciones, una o ninguna.

Circuncentro

Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto, el circuncentro $O$ . Como está en la mediatriz de $AB$ , $OA = OB$ ; como está en la de $BC$ , $OB = OC$ . Así que equidista de los tres vértices: es el centro de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los tres vértices).

En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa, y el radio es la mitad de la hipotenusa.

Incentro

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en el incentro $I$ , que equidista de los tres lados: es el centro de la circunferencia inscrita (la que toca a los tres lados por dentro). Su radio es la distancia (perpendicular) de $I$ a cualquier lado.

Puntos clave

Lugar geométrico: conjunto de todos los puntos que cumplen una condición.
Equidistantes de $A$ y $B$ → mediatriz; a distancia $r$ de $O$ → circunferencia; equidistantes de los lados de un ángulo → bisectriz; a distancia $d$ de una recta → dos paralelas.
Dos condiciones → corte de dos lugares geométricos: puede haber 2, 1 o 0 soluciones.
Circuncentro: corte de las mediatrices; equidista de los vértices; centro de la circunferencia circunscrita.
En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa.
Incentro: corte de las bisectrices; equidista de los lados; centro de la circunferencia inscrita.

Errores frecuentes

ErrorConfundir circuncentro e incentro.
Cómo corregirloCircuncentro: circunferencia que pasa por los vértices, se obtiene con mediatrices. Incentro: circunferencia inscrita, tangente a los lados, se obtiene con bisectrices.
ErrorDar una sola solución cuando hay dos.
Cómo corregirloDibuja los dos lugares geométricos completos: una recta y una circunferencia pueden cortarse en dos puntos, uno a cada lado.
ErrorTomar como radio de la circunferencia inscrita la distancia del incentro a un vértice.
Cómo corregirloEl radio inscrito es la distancia perpendicular del incentro a un lado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un centro de salud para tres urbanizaciones gráfico (en una cuadrícula)
En un plano con cuadrícula (cada cuadrado, 1 km), tres urbanizaciones están en $A(1, 1)$ , $B(7, 1)$ y $C(7, 9)$ . Se quiere construir un centro de salud a la misma distancia de las tres. ¿Dónde hay que ponerlo y a qué distancia queda de cada una?

Resolución
El punto buscado equidista de $A$ y $B$ (está en la mediatriz de $AB$ ) y de $B$ y $C$ (está en la mediatriz de $BC$ ): es el circuncentro.
- $AB$ es horizontal, de $x = 1$ a $x = 7$ ; su punto medio es $(4, 1)$ y su mediatriz es la recta vertical $x = 4$ .
- $BC$ es vertical, de $y = 1$ a $y = 9$ ; su punto medio es $(7, 5)$ y su mediatriz es la recta horizontal $y = 5$ .
Se cortan en $O(4, 5)$ . Distancia a $A$ (Pitágoras con catetos 3 y 4): $OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\ \text{km}$ Igual sale $OB = 5$ km y $OC = 5$ km.

El centro de salud va en $(4, 5)$ , a 5 km de cada urbanización. Fíjate: el triángulo $ABC$ es rectángulo en $B$ y $O$ es el punto medio de la hipotenusa $AC$ .
Ejemplo 2. Una antena entre dos pueblos razonamiento (número de soluciones)
Dos pueblos $A$ y $B$ están separados 8 km. Se quiere instalar una antena que esté a la misma distancia de los dos pueblos y a 5 km de $A$ . a) ¿Cuántas posiciones posibles hay? ¿A qué distancia del punto medio $M$ de $AB$ están? b) ¿Y si la antena tuviera que estar a 4 km de $A$ ? ¿Y a 3 km?

Resolución
Condición 1: equidistar de $A$ y $B$ → mediatriz de $AB$ . Condición 2: estar a 5 km de $A$ → circunferencia de centro $A$ y radio 5 km.

a) La mediatriz pasa por $M$ , con $AM = 4$ km. Un punto $P$ de la mediatriz forma con $A$ y $M$ un triángulo rectángulo en $M$ : $PM = \sqrt{PA^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3\ \text{km}$ Hay dos posiciones, una a cada lado de $AB$ , a 3 km de $M$ .

b) Con radio 4 km la circunferencia solo toca a la mediatriz en $M$ : una posición (el punto medio). Con radio 3 km, menor que $AM = 4$ km, la circunferencia no llega a la mediatriz: ninguna.
Ejemplo 3. ¿Por qué el circuncentro sirve para los tres vértices? demostración
Explica por qué las tres mediatrices de un triángulo $ABC$ se cortan en un mismo punto y por qué ese punto es el centro de una circunferencia que pasa por $A$ , $B$ y $C$ .

Resolución
Sea $O$ el punto donde se cortan las mediatrices de $AB$ y de $BC$ .
- $O$ está en la mediatriz de $AB$ → $OA = OB$ .
- $O$ está en la mediatriz de $BC$ → $OB = OC$ .
Entonces $OA = OC$ : $O$ equidista de $A$ y de $C$ , así que también está en la mediatriz de $AC$ . Las tres mediatrices pasan por $O$ .

Como $OA = OB = OC$ , la circunferencia de centro $O$ y radio $OA$ pasa por los tres vértices.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Di qué lugar geométrico forman los puntos del plano que: a) están a 2 cm de un punto $O$ ; b) están a la misma distancia de los extremos de un segmento $PQ$ ; c) están a 1,5 cm de una recta $r$ ; d) están a la misma distancia de dos rectas paralelas separadas 6 cm.

Ver solución
a) Circunferencia de centro O y radio 2 cm. b) Mediatriz de PQ. c) Dos paralelas a r a 1,5 cm. d) La paralela a ambas que está a 3 cm de cada una.
a) Circunferencia de centro $O$ y radio 2 cm. b) La mediatriz de $PQ$ . c) Dos rectas paralelas a $r$ , una a cada lado, a 1,5 cm. d) Una recta paralela a las dos, justo en medio: a $6 : 2 = 3$ cm de cada una.
2. Fácil
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 cm y 12 cm. ¿Dónde está su circuncentro? ¿Cuál es el radio de la circunferencia circunscrita?

Ver solución
En el punto medio de la hipotenusa; R = 7,5 cm.
Hipotenusa: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm. En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa, y el radio es la mitad de la hipotenusa: $R = 15 : 2 = 7{,}5$ cm.
3. Media
Dibuja un triángulo de lados 7 cm, 6 cm y 5 cm. Traza dos de sus bisectrices para hallar el incentro $I$ . Traza la perpendicular desde $I$ a un lado y dibuja la circunferencia inscrita. ¿Cuánto mide su radio?
Ver solución
Unos 1,6 cm.
1. Se dibuja el lado de 7 cm y, con el compás (radios 6 cm y 5 cm desde sus extremos), el tercer vértice.
2. Dos bisectrices se cortan en $I$ (la tercera también pasa por $I$ ).
3. La perpendicular de $I$ a un lado mide aproximadamente 1,6 cm: es el radio de la circunferencia inscrita, que toca a los tres lados.
4. Media
Un segmento $AB$ mide 12 cm. Busca los puntos que están a la misma distancia de $A$ y de $B$ y a 8 cm de la recta $AB$ . a) ¿Cuántos hay? b) ¿A qué distancia de $A$ está cada uno?

Ver solución
a) Dos. b) A 10 cm.
Condición 1 → mediatriz de $AB$ . Condición 2 → dos paralelas a $AB$ a 8 cm. a) La mediatriz corta a cada paralela en un punto: dos puntos, uno a cada lado de $AB$ , a 8 cm de $M$ . b) Triángulo rectángulo con catetos $AM = 6$ cm y 8 cm: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ cm.
5. Difícil
Dos caminos rectos de un parque se cruzan formando un ángulo de 60°. Se quiere poner una fuente dentro de ese ángulo, a la misma distancia de los dos caminos y a 40 m del cruce. a) ¿Sobre qué línea está la fuente? b) ¿A qué distancia queda de cada camino? (Pista: el triángulo que forman el cruce, la fuente y el pie de la perpendicular a un camino es la mitad de un triángulo equilátero.)

Ver solución
a) Sobre la bisectriz del ángulo. b) A 20 m de cada camino.
a) Equidistar de los dos caminos → bisectriz del ángulo de 60°. La fuente $F$ está en ella a 40 m del cruce $V$ . b) La bisectriz forma 30° con cada camino. Si $H$ es el pie de la perpendicular desde $F$ a un camino, el triángulo $VHF$ tiene ángulos de 30°, 60° y 90°: es la mitad de un triángulo equilátero de lado $VF = 40$ m. El lado $FH$ es la mitad de ese lado: $FH = 40 : 2 = 20\ \text{m}$ (Comprobación con Pitágoras: $VH = \sqrt{40^2 - 20^2} \approx 34{,}64$ m.)
6. Difícil
Explica por qué el incentro de un triángulo está a la misma distancia de los tres lados.

Ver solución
Está en dos bisectrices, y cada una le hace equidistar de dos lados.
El incentro $I$ está en la bisectriz del ángulo $A$ , así que equidista de los lados $AB$ y $AC$ . También está en la bisectriz del ángulo $B$ , así que equidista de $AB$ y $BC$ . Por tanto, su distancia a $AC$ y a $BC$ también es la misma: $I$ equidista de los tres lados (y está también en la tercera bisectriz).

Para practicar más

1. Fácil
Describe y dibuja el lugar geométrico de los puntos que: a) están a 2,5 cm de un punto $C$ ; b) están a 2 cm de una recta $s$ ; c) equidistan de los extremos de un segmento $EF$ de 7 cm.

Ver solución
a) Circunferencia de centro C y radio 2,5 cm. b) Dos paralelas a s a 2 cm. c) Mediatriz de EF.
a) Circunferencia de centro $C$ y radio 2,5 cm. b) Dos paralelas a $s$ , una a cada lado, a 2 cm. c) La mediatriz de $EF$ : perpendicular a $EF$ por su punto medio (a 3,5 cm de cada extremo).
2. Media
En un plano con cuadrícula (cada cuadrado, 1 km), tres pueblos están en $A(0, 0)$ , $B(10, 0)$ y $C(10, 24)$ . Se quiere poner un depósito de agua a la misma distancia de los tres. ¿Dónde? ¿A qué distancia de cada pueblo?

Ver solución
En (5, 12), a 13 km de cada pueblo.
Mediatriz de $AB$ : recta $x = 5$ . Mediatriz de $BC$ : recta $y = 12$ . Se cortan en $O(5, 12)$ . $OA = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ km; igual $OB = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ km y $OC = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ km. (El triángulo es rectángulo en $B$ y $O$ es el punto medio de la hipotenusa $AC$ , que mide 26 km.)
3. Media
Dibuja un triángulo con un lado de 8 cm y los otros dos de 6 cm. Halla su incentro con dos bisectrices y traza la circunferencia inscrita. Mide su radio.

Ver solución
Aproximadamente 1,8 cm.
Se dibuja el lado de 8 cm y el tercer vértice con arcos de 6 cm desde cada extremo. El triángulo es isósceles, así que una de las bisectrices es también su eje de simetría. El incentro está sobre ella y el radio de la circunferencia inscrita mide unos 1,8 cm.
4. Difícil
Un punto $P$ está a 4 cm de una recta $r$ . a) ¿Cuántos puntos de $r$ están a 5 cm de $P$ ? ¿A qué distancia están entre sí? b) ¿Cuántos puntos de $r$ están a 4 cm de $P$ ? ¿Y a 3 cm?

Ver solución
a) Dos, separados 6 cm. b) Uno; ninguno.
Los puntos a 5 cm de $P$ forman una circunferencia de centro $P$ y radio 5 cm. Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $r$ ( $PH = 4$ cm). a) La circunferencia corta a $r$ en dos puntos, cada uno a $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ cm de $H$ ; entre sí están a $3 + 3 = 6$ cm. b) Con radio 4 cm solo toca a $r$ en $H$ : un punto. Con radio 3 cm (menor que 4) no llega a $r$ : ninguno.
5. Difícil
Un punto $P$ está a 6 cm de $A$ y a 6 cm de $B$ . Explica por qué $P$ está en la mediatriz de $AB$ . (Pista: llama $H$ al pie de la perpendicular desde $P$ a la recta $AB$ y aplica el teorema de Pitágoras en los triángulos $PHA$ y $PHB$ .)

Ver solución
Por Pitágoras, HA = HB: H es el punto medio de AB y PH es perpendicular a AB, así que PH es la mediatriz.
Los triángulos $PHA$ y $PHB$ son rectángulos en $H$ y tienen el cateto $PH$ común. Por el teorema de Pitágoras: $HA^2 = PA^2 - PH^2 = 6^2 - PH^2 \qquad HB^2 = PB^2 - PH^2 = 6^2 - PH^2$ Luego $HA = HB$ : $H$ es el punto medio de $AB$ . La recta $PH$ es perpendicular a $AB$ y pasa por su punto medio, así que es la mediatriz, y $P$ está en ella.