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Matemáticas 3.º ESO · Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Ampliación: Pitágoras en polígonos: apotemas, trapecios y rombos

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular apotemas de polígonos regulares (sobre todo del hexágono) y lados y alturas de trapecios y rombos con el teorema de Pitágoras.

Explicación

Apotema de un polígono regular

La apotema $a$ de un polígono regular es el segmento que va del centro al punto medio de un lado; es perpendicular al lado. El radio $R$ va del centro a un vértice.

Apotema, radio y medio lado forman un triángulo rectángulo: $R^2 = a^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2$

En el hexágono regular, el radio es igual al lado ( $R = l$ ), porque se divide en seis triángulos equiláteros. Por eso: $a = \sqrt{l^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,l$

Área de un polígono regular: $A = \dfrac{P \cdot a}{2}$ , con $P$ el perímetro.

Trapecios y rombos

Trapecio isósceles de bases $B$ y $b$ : al bajar las alturas desde los extremos de la base menor, a cada lado queda un triángulo rectángulo de catetos $h$ y $\dfrac{B - b}{2}$ ; la hipotenusa es el lado oblicuo.
Trapecio rectángulo: un solo triángulo rectángulo, de catetos $h$ y $B - b$ .
Rombo de diagonales $D$ y $d$ : las diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. Cada lado es la hipotenusa de un triángulo de catetos $\dfrac{D}{2}$ y $\dfrac{d}{2}$ .

Puntos clave

Apotema, radio y medio lado: $R^2 = a^2 + (l/2)^2$ .
En el hexágono regular $R = l$ y $a = \frac{\sqrt{3}}{2}\,l$ .
Área de un polígono regular: $A = \dfrac{P \cdot a}{2}$ .
Trapecio isósceles: cateto horizontal $\frac{B - b}{2}$ ; trapecio rectángulo: $B - b$ .
Rombo: lado $^2 = (D/2)^2 + (d/2)^2$ .

Errores frecuentes

ErrorEn el trapecio isósceles, usar $B - b$ como cateto.
Cómo corregirloLa diferencia de bases se reparte entre los dos lados: el cateto es $(B - b)/2$ .
ErrorEn el rombo, usar las diagonales enteras como catetos.
Cómo corregirloLas diagonales se cortan en su punto medio: los catetos son las semidiagonales.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una baldosa hexagonal situación real
Una baldosa hidráulica tiene forma de hexágono regular de 20 cm de lado. Calcula su apotema y su área.

Resolución
En el hexágono, el radio es igual al lado: $R = 20$ cm. Con medio lado, 10 cm: $a = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32\ \text{cm}$ Perímetro: $6 \cdot 20 = 120$ cm. $A = \frac{P \cdot a}{2} = \frac{120 \cdot 17{,}32}{2} \approx 1039{,}2\ \text{cm}^2$
Ejemplo 2. Altura y área de un trapecio isósceles numérico
Un trapecio isósceles tiene bases de 22 cm y 10 cm, y lados oblicuos de 10 cm. Calcula su altura y su área.

Resolución
A cada lado sobra $\dfrac{22 - 10}{2} = 6$ cm. Triángulo rectángulo con hipotenusa 10 cm y cateto 6 cm: $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\ \text{cm}$ $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2} = \frac{(22 + 10) \cdot 8}{2} = 128\ \text{cm}^2$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula la apotema y el área de un hexágono regular de 6 cm de lado.

Ver solución
a = 3√3 ≈ 5,20 cm; A ≈ 93,53 cm².
$a = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20$ cm. $P = 36$ cm. $A = \dfrac{36 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3} \approx 93{,}53\ \text{cm}^2$ .
2. Media
Las diagonales de un rombo miden 10 cm y 24 cm. Calcula su lado, su perímetro y su área.

Ver solución
Lado 13 cm; perímetro 52 cm; área 120 cm².
Semidiagonales: 5 cm y 12 cm. Lado: $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ cm. Perímetro: $4 \cdot 13 = 52$ cm. Área: $\dfrac{10 \cdot 24}{2} = 120\ \text{cm}^2$ .
3. Media
Un trapecio rectángulo tiene bases de 15 cm y 9 cm y una altura de 8 cm. Calcula el lado oblicuo, el perímetro y el área.

Ver solución
Lado oblicuo 10 cm; perímetro 42 cm; área 96 cm².
Cateto horizontal: $15 - 9 = 6$ cm. Lado oblicuo: $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ cm. Perímetro: $15 + 9 + 8 + 10 = 42$ cm. Área: $\dfrac{(15 + 9) \cdot 8}{2} = 96\ \text{cm}^2$ .

Para practicar más

1. Fácil
Un hexágono regular tiene 48 cm de perímetro. Calcula su apotema y su área.

Ver solución
a = 4√3 ≈ 6,93 cm; A ≈ 166,28 cm².
Lado: $48 : 6 = 8$ cm. $a = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm. $A = \dfrac{48 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 96\sqrt{3} \approx 166{,}28\ \text{cm}^2$ .
2. Media
Un rombo tiene 17 cm de lado y una de sus diagonales mide 16 cm. Calcula la otra diagonal y el área.

Ver solución
30 cm; 240 cm².
Semidiagonal conocida: 8 cm. Otra semidiagonal: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$ cm → diagonal 30 cm. Área: $\dfrac{16 \cdot 30}{2} = 240\ \text{cm}^2$ .
3. Media
Un trapecio isósceles tiene bases de 30 cm y 14 cm, y lados oblicuos de 17 cm. Calcula su altura y su área.

Ver solución
h = 15 cm; A = 330 cm².
Cateto horizontal: $\dfrac{30 - 14}{2} = 8$ cm. $h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$ cm. $A = \dfrac{(30 + 14) \cdot 15}{2} = 330\ \text{cm}^2$ .