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Matemáticas 3.º ESO · Teorema de Tales y semejanza de triángulos

Recuerda: criterios de semejanza de triángulos

Objetivo: Al terminar, sabrás decidir si dos triángulos son semejantes con los criterios AA, LAL y LLL, hallar la razón de semejanza y calcular lados desconocidos.

Recuerda

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, aunque distinto tamaño: sus ángulos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales. $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k$ El número $k$ es la razón de semejanza: si $k > 1$ , el segundo triángulo es una ampliación; si $k < 1$ , una reducción; si $k = 1$ , son iguales.

Criterios de semejanza

Criterio	Qué hay que comprobar
AA	Dos ángulos iguales (el tercero también lo es).
LAL	Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
LLL	Los tres lados proporcionales.

Si conoces los criterios de igualdad de triángulos, verás que son parecidos, pero aquí los lados no tienen que ser iguales, sino proporcionales.

En los triángulos basta con comprobar uno de los criterios: no hace falta comprobar a la vez todos los ángulos y todos los lados, como en los demás polígonos.

Truco: para comparar los lados, ordénalos de menor a mayor en los dos triángulos y divide cada lado del segundo entre el del primero. Si sale siempre el mismo número, son semejantes y ese número es $k$ .

Puntos clave

Triángulos semejantes: ángulos iguales y lados proporcionales.
Razón de semejanza: $k = \dfrac{a'}{a}$ (lado del segundo entre su homólogo del primero).
Criterio AA: dos ángulos iguales.
Criterio LAL: dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
Criterio LLL: tres lados proporcionales.
Para calcular un lado: se multiplica su homólogo por $k$ .

Errores frecuentes

ErrorDividir lados que no son homólogos (por ejemplo, el más corto de uno entre el más largo del otro).
Cómo corregirloOrdena los lados de menor a mayor en los dos triángulos: el más corto con el más corto, el mediano con el mediano y el largo con el largo.
ErrorSumar en lugar de multiplicar: pensar que si un lado crece 3 cm, los demás también crecen 3 cm.
Cómo corregirloEn la semejanza los lados se multiplican por el mismo número $k$ , no se les suma lo mismo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Son semejantes por sus lados? numérico (LLL)
Un triángulo tiene lados de 4, 6 y 7 cm, y otro, de 10, 15 y 17,5 cm. ¿Son semejantes? Si lo son, ¿cuál es la razón de semejanza?

Resolución
Ordenados de menor a mayor, dividimos cada lado del segundo entre el homólogo del primero: $\frac{10}{4} = 2{,}5 \qquad \frac{15}{6} = 2{,}5 \qquad \frac{17{,}5}{7} = 2{,}5$ Los tres cocientes son iguales: son semejantes (LLL) con razón $k = 2{,}5$ . El segundo es una ampliación del primero.
Ejemplo 2. Dos triángulos rectángulos numérico (AA y cálculo de lados)
El triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ , con catetos $AB = 8$ cm y $AC = 15$ cm, e hipotenusa $BC = 17$ cm. El triángulo $DEF$ es rectángulo en $D$ y $\hat{E} = \hat{B}$ . Su hipotenusa mide $EF = 8{,}5$ cm. a) ¿Son semejantes? b) Calcula la razón de semejanza y los catetos de $DEF$ .

Resolución
a) $\hat{A} = \hat{D} = 90^\circ$ y $\hat{B} = \hat{E}$ : dos ángulos iguales → semejantes (AA), con $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ .

b) Las hipotenusas son homólogas: $k = \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{8{,}5}{17} = 0{,}5$ (es una reducción a la mitad). $DE = 0{,}5 \cdot AB = 0{,}5 \cdot 8 = 4\ \text{cm} \qquad DF = 0{,}5 \cdot AC = 0{,}5 \cdot 15 = 7{,}5\ \text{cm}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Decide si los triángulos son semejantes y, si lo son, indica el criterio y la razón de semejanza: a) Lados de 3, 5 y 6 cm, y lados de 4,5; 7,5 y 9 cm. b) $AB = 5$ cm, $AC = 7$ cm, $\hat{A} = 110^\circ$ , y $DE = 10$ cm, $DF = 14$ cm, $\hat{D} = 110^\circ$ . c) Lados de 5, 6 y 8 cm, y lados de 10, 12 y 15 cm. d) Ángulos de $35^\circ$ y $85^\circ$ en uno, y de $35^\circ$ y $60^\circ$ en el otro.

Ver solución
a) Sí, LLL, k = 1,5. b) Sí, LAL, k = 2. c) No. d) Sí, AA (los dos tienen 35°, 60° y 85°).
a) $\dfrac{4{,}5}{3} = \dfrac{7{,}5}{5} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ → LLL, $k = 1{,}5$ . b) $\dfrac{10}{5} = \dfrac{14}{7} = 2$ y el ángulo comprendido es igual → LAL, $k = 2$ . c) $\dfrac{10}{5} = 2$ , $\dfrac{12}{6} = 2$ , pero $\dfrac{15}{8} = 1{,}875$ → no son semejantes. d) Terceros ángulos: $180^\circ - 35^\circ - 85^\circ = 60^\circ$ y $180^\circ - 35^\circ - 60^\circ = 85^\circ$ . Los dos tienen $35^\circ$ , $60^\circ$ y $85^\circ$ → AA.
2. Fácil
Los lados de un triángulo miden 5, 7 y 9 cm. El lado más corto de un triángulo semejante mide 7,5 cm. Calcula la razón de semejanza y los otros dos lados.

Ver solución
k = 1,5; 10,5 cm y 13,5 cm.
$k = \dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5$ . Otros lados: $7 \cdot 1{,}5 = 10{,}5$ cm y $9 \cdot 1{,}5 = 13{,}5$ cm.
3. Media
Dos triángulos isósceles tienen el ángulo desigual (el del vértice) de $40^\circ$ , pero uno tiene los lados iguales de 6 cm y el otro de 9 cm. ¿Son semejantes? Justifícalo de dos formas.
Ver solución
Sí: por LAL (6/9 = 6/9 con el ángulo de 40° entre ellos) y por AA (los ángulos de la base miden 70° en los dos).
- LAL: los lados iguales son proporcionales ( $\dfrac{9}{6} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ ) y el ángulo comprendido entre ellos es $40^\circ$ en los dos.
- AA: en los dos, los ángulos de la base miden $\dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$ .
Son semejantes con $k = 1{,}5$ .

Para practicar más

1. Fácil
¿Son semejantes estos pares de triángulos? Si lo son, da la razón de semejanza (del segundo respecto del primero). a) Lados de 8, 10 y 12 cm, y lados de 6; 7,5 y 9 cm. b) Lados de 4, 5 y 6 cm, y lados de 6; 7,5 y 10 cm.

Ver solución
a) Sí, k = 0,75. b) No.
a) $\dfrac{6}{8} = \dfrac{7{,}5}{10} = \dfrac{9}{12} = 0{,}75$ → semejantes (LLL), $k = 0{,}75$ (reducción). b) $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$ , $\dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5$ , pero $\dfrac{10}{6} \approx 1{,}67$ → no son semejantes.
2. Media
El triángulo $ABC$ tiene $AB = 6$ cm, $AC = 9$ cm y $\hat{A} = 40^\circ$ . El triángulo $DEF$ tiene $DE = 4$ cm, $DF = 6$ cm y $\hat{D} = 40^\circ$ . a) ¿Son semejantes? ¿Por qué criterio? b) ¿Cuál es la razón de semejanza de $DEF$ respecto de $ABC$ ? c) ¿Qué ángulo de $DEF$ es igual a $\hat{B}$ ?

Ver solución
a) Sí, por LAL. b) k = 2/3. c) Ê.
a) $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ y $\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ , y el ángulo comprendido es igual ( $40^\circ$ ) → LAL. b) $k = \dfrac{2}{3}$ . c) $B \leftrightarrow E$ (está en el extremo del lado $AB$ , homólogo de $DE$ ): $\hat{E} = \hat{B}$ .
3. Media
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 7 cm y 24 cm. a) Calcula su hipotenusa. b) Otro triángulo rectángulo tiene un ángulo agudo igual que el primero y su hipotenusa mide 75 cm. ¿Son semejantes? Calcula sus catetos.

Ver solución
a) 25 cm. b) Sí (AA), k = 3: catetos de 21 cm y 72 cm.
a) $h = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$ cm. b) Tienen el ángulo recto y un ángulo agudo iguales → semejantes (AA). $k = \dfrac{75}{25} = 3$ : catetos $7 \cdot 3 = 21$ cm y $24 \cdot 3 = 72$ cm.