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Matemáticas 3.º ESO · Teorema de Tales y semejanza de triángulos

Medir alturas inaccesibles con triángulos semejantes (ampliación)

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular alturas y distancias que no se pueden medir directamente (edificios, árboles, torres) usando triángulos semejantes formados por sombras, espejos o la regla a brazo extendido.

Explicación

La idea

Para calcular una altura que no podemos medir, construimos dos triángulos rectángulos semejantes: uno pequeño, que sí podemos medir, y otro grande, que contiene la altura buscada. Como son semejantes, sus lados son proporcionales: $\frac{\text{altura grande}}{\text{altura pequeña}} = \frac{\text{base grande}}{\text{base pequeña}}$

Tres métodos

1. Sombras. Los rayos del Sol llegan prácticamente paralelos. A la misma hora, un objeto vertical y su sombra forman un triángulo rectángulo semejante al que forman otro objeto vertical y su sombra (mismo ángulo de los rayos con el suelo → AA): $\frac{H}{h} = \frac{S}{s}$ ( $H$ y $S$ : altura y sombra del objeto alto; $h$ y $s$ : altura y sombra del objeto pequeño).

2. Espejo. Ponemos un espejo en el suelo y nos alejamos hasta ver en él la punta del objeto. El rayo de luz se refleja formando el mismo ángulo con el suelo a la entrada y a la salida. Los triángulos objeto–espejo y ojos–espejo son semejantes (AA): $\frac{H}{h_{\text{ojos}}} = \frac{\text{distancia objeto–espejo}}{\text{distancia persona–espejo}}$

3. Regla o lápiz a brazo extendido. Con el brazo estirado, tapamos el objeto con una regla vertical. El ojo, la regla y el objeto forman dos triángulos en posición de Tales: $\frac{H}{\text{lo que tapa la regla}} = \frac{\text{distancia ojo–objeto}}{\text{distancia ojo–regla}}$

Puntos clave

Se buscan dos triángulos rectángulos semejantes: uno medible y otro con la altura buscada.
Sombras: a la misma hora, $\dfrac{H}{h} = \dfrac{S}{s}$ .
Espejo: el ángulo de entrada y el de salida del rayo son iguales; se usa la altura de los ojos.
Todas las longitudes, en la misma unidad.

Errores frecuentes

ErrorUsar la altura de la persona en lugar de la altura de sus ojos en el método del espejo o de la regla.
Cómo corregirloLa línea de visión sale de los ojos: usa la altura de los ojos.
ErrorEmparejar mal: poner la sombra del árbol con la altura de la persona.
Cómo corregirloEscribe la proporción como «altura entre sombra» en los dos objetos: $\dfrac{H}{S} = \dfrac{h}{s}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La altura de un edificio de la Gran Vía situación real (sombras)
Una tarde soleada, Iván, que mide 1,60 m, proyecta una sombra de 2 m en la acera de la Gran Vía. En ese mismo momento, la sombra de un edificio mide 30 m. ¿Qué altura tiene el edificio?

Resolución
Los rayos del Sol forman el mismo ángulo con el suelo en los dos casos; los dos triángulos (persona–sombra y edificio–sombra) son rectángulos y semejantes (AA). $\frac{H}{1{,}60} = \frac{30}{2} \;\Rightarrow\; H = \frac{1{,}60 \cdot 30}{2} = 24\ \text{m}$ El edificio mide 24 m.
Ejemplo 2. Una farola vista en un espejo experimental (espejo en el suelo)
Para medir una farola, Noa coloca un espejo en el suelo a 6 m de la base de la farola. Retrocede hasta que, a 1,5 m del espejo, ve reflejada en él la punta de la farola. Sus ojos están a 1,60 m del suelo. ¿Cuánto mide la farola?

Resolución
El rayo que sale de la punta de la farola se refleja en el espejo con el mismo ángulo con el que llega a los ojos de Noa. Los dos triángulos rectángulos (farola–espejo y Noa–espejo) tienen un ángulo agudo igual: son semejantes. $\frac{H}{1{,}60} = \frac{6}{1{,}5} \;\Rightarrow\; H = \frac{1{,}60 \cdot 6}{1{,}5} = 6{,}4\ \text{m}$ La farola mide 6,4 m.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
El Faro de Moncloa mide aproximadamente 110 m. Comprueba ese dato: a cierta hora, un palo vertical de 1 m proyecta una sombra de 0,8 m, y la sombra del faro mide 88 m. ¿Qué altura da el cálculo?

Ver solución
110 m
$\dfrac{H}{1} = \dfrac{88}{0{,}8} \;\Rightarrow\; H = 110$ m. Coincide con el dato aproximado.
2. Media
Pablo quiere usar un espejo para comprobar la altura de un árbol de 9 m. Sus ojos están a 1,5 m del suelo y se coloca a 2 m del espejo. ¿A qué distancia del árbol tiene que poner el espejo para ver reflejada la copa?

Ver solución
A 12 m del árbol.
$\dfrac{9}{1{,}5} = \dfrac{x}{2} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{9 \cdot 2}{1{,}5} = 12$ m.
3. Difícil
Con el brazo estirado, la regla de Elena está a 60 cm de su ojo. Desde 150 m de una torre, la torre queda tapada exactamente por 12 cm de la regla (sujeta en vertical). ¿Qué altura tiene la torre? (Supón que el ojo está a la altura de la base de la torre.)

Ver solución
30 m
Los triángulos ojo–regla y ojo–torre están en posición de Tales: $\dfrac{H}{12\ \text{cm}} = \dfrac{150\ \text{m}}{60\ \text{cm}} = \dfrac{15\,000\ \text{cm}}{60\ \text{cm}} = 250 \;\Rightarrow\; H = 12 \cdot 250 = 3000$ cm $= 30$ m.

Para practicar más

1. Fácil
Un árbol del parque del Retiro mide 6 m. A la misma hora, Sara, que mide 1,50 m, proyecta una sombra de 1,20 m. ¿Cuánto mide la sombra del árbol?

Ver solución
4,8 m
$\dfrac{S}{1{,}20} = \dfrac{6}{1{,}50} \;\Rightarrow\; S = \dfrac{6 \cdot 1{,}20}{1{,}50} = 4{,}8$ m.
2. Media
Carlos tiene los ojos a 1,40 m del suelo. Coloca un espejo en el suelo a 10 m de la base de un muro de 7 m de altura. ¿A qué distancia del espejo tiene que ponerse para ver en él el borde superior del muro?

Ver solución
A 2 m del espejo.
$\dfrac{7}{1{,}40} = \dfrac{10}{x} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{1{,}40 \cdot 10}{7} = 2$ m.
3. Difícil
Lola tiene los ojos a 1,5 m del suelo. Clava una estaca vertical de 2,5 m a 4 m de ella y se coloca de modo que ve alineados la punta de la estaca y lo alto de un edificio que está a 40 m de ella. ¿Qué altura tiene el edificio? Pista: traza la horizontal a la altura de los ojos.
Ver solución
11,5 m
Por la altura de los ojos trazamos una horizontal. Sobre ella quedan dos triángulos rectángulos semejantes (comparten el ángulo en el ojo):
- pequeño: base 4 m, altura $2{,}5 - 1{,}5 = 1$ m;
- grande: base 40 m, altura $H - 1{,}5$ . $\frac{H - 1{,}5}{1} = \frac{40}{4} = 10 \;\Rightarrow\; H = 1{,}5 + 10 = 11{,}5\ \text{m}$