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Matemáticas 3.º ESO · Pitágoras en el espacio

Pitágoras en pirámides y conos

Objetivo: Al terminar, sabrás relacionar la altura, la apotema y la arista lateral de una pirámide regular, y la altura, el radio y la generatriz de un cono, usando los triángulos rectángulos que hay en ellos.

Explicación

Elementos de una pirámide regular

Una pirámide regular tiene como base un polígono regular y su vértice $V$ está justo encima del centro $O$ de la base.

Altura $h$ : distancia de $V$ al centro $O$ de la base.
Apotema de la pirámide $a_p$ : altura de una cara lateral (de $V$ al punto medio $M$ de un lado de la base).
Apotema de la base $a_b$ : de $O$ al punto medio $M$ de un lado. En una base cuadrada de lado $l$ , $a_b = \frac{l}{2}$ .
Arista lateral $a$ : de $V$ a un vértice de la base.
Radio de la base $R$ : de $O$ a un vértice. En una base cuadrada, $R$ es media diagonal: $R = \frac{l\sqrt{2}}{2}$ ; en una base hexagonal, $R = l$ .

Los tres triángulos rectángulos de la pirámide

Triángulo	Catetos	Hipotenusa	Relación
Interior $VOM$	$h$ y $a_b$	$a_p$	$a_p^2 = h^2 + a_b^2$
En una cara $VMB$	$a_p$ y $\frac{l}{2}$	$a$	$a^2 = a_p^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2$
Interior $VOB$	$h$ y $R$	$a$	$a^2 = h^2 + R^2$

Elige el triángulo que contenga dos datos y la incógnita. A veces hay que usar dos triángulos seguidos.

El cono

En un cono recto de radio $r$ , altura $h$ y generatriz $g$ (segmento del vértice a un punto de la circunferencia de la base), la altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo: $g^2 = h^2 + r^2$

Puntos clave

Pirámide: $a_p^2 = h^2 + a_b^2$ (triángulo interior con la apotema).
Pirámide: $a^2 = a_p^2 + (l/2)^2$ (triángulo en una cara lateral).
Pirámide: $a^2 = h^2 + R^2$ (triángulo interior con la arista).
Base cuadrada: $a_b = l/2$ y $R = l\sqrt{2}/2$ . Base hexagonal: $R = l$ .
Cono: $g^2 = h^2 + r^2$ .

Errores frecuentes

ErrorConfundir la altura de la pirámide con la apotema de la pirámide.
Cómo corregirloLa altura va del vértice al centro de la base (por dentro); la apotema va del vértice al punto medio de un lado (por la cara).
ErrorUsar el lado entero de la base en lugar de la mitad.
Cómo corregirloLa apotema de una base cuadrada y la mitad del lado miden $l/2$ .
ErrorUsar el diámetro de la base del cono en lugar del radio.
Cómo corregirloEn el triángulo $h$ , $r$ , $g$ va el radio: divide el diámetro entre 2.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La gran pirámide de Keops situación real (pirámide cuadrangular)
La pirámide de Keops tenía originalmente una base cuadrada de unos 230 m de lado y una altura de unos 146 m. Calcula, redondeando a los metros: a) la apotema de la pirámide; b) la arista lateral.

Resolución
a) Triángulo interior $VOM$ : catetos $h = 146$ m y $a_b = 230 : 2 = 115$ m. $a_p = \sqrt{146^2 + 115^2} = \sqrt{21\,316 + 13\,225} = \sqrt{34\,541} \approx 186\ \text{m}$ b) Triángulo de una cara: catetos $a_p$ y medio lado, 115 m. Usamos $a_p^2 = 34\,541$ sin redondear: $a = \sqrt{34\,541 + 115^2} = \sqrt{47\,766} \approx 219\ \text{m}$ (Con el triángulo $VOB$ sale lo mismo: $R^2 = 2 \cdot 115^2 = 26\,450$ y $a = \sqrt{146^2 + 26\,450} = \sqrt{47\,766}$ .)
Ejemplo 2. Un cucurucho de helado situación real (cono)
Un cucurucho de helado tiene 6 cm de diámetro en la boca y su generatriz (el lado inclinado) mide 12 cm. ¿Qué altura tiene?

Resolución
Radio: $6 : 2 = 3$ cm. En el triángulo $h$ , $r$ , $g$ : $h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{12^2 - 3^2} = \sqrt{135} \approx 11{,}62\ \text{cm}$
Ejemplo 3. El tejado de una torre encadenado (dos triángulos)
El tejado de una torre es una pirámide de base cuadrada de 6 m de lado, con aristas laterales de 5 m. ¿Qué altura tiene el tejado?

Resolución
No conocemos ni la altura ni la apotema: usamos dos triángulos.
1. En una cara: hipotenusa la arista, 5 m, y cateto medio lado, 3 m: $a_p = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\ \text{m}$
2. En el triángulo interior $VOM$ : hipotenusa $a_p = 4$ m y cateto $a_b = 3$ m: $h = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7} \approx 2{,}65\ \text{m}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un cono tiene 7 cm de radio y 24 cm de altura. Calcula su generatriz.

Ver solución
25 cm.
$g = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ cm.
2. Fácil
Una pirámide de base cuadrada tiene 10 cm de lado de la base y 12 cm de altura. Calcula la apotema de la pirámide y la arista lateral.

Ver solución
Apotema 13 cm; arista ≈ 13,93 cm.
$a_b = 5$ cm. $a_p = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$ cm. $a = \sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{194} \approx 13{,}93$ cm.
3. Media
Una tienda de campaña tipo tipi tiene forma de cono. Su base es un círculo de 3 m de diámetro y la lona, del vértice al suelo, mide 2,5 m. ¿Puede estar de pie dentro una persona de 1,90 m?

Ver solución
Sí: la altura es 2 m.
$r = 1{,}5$ m, $g = 2{,}5$ m. $h = \sqrt{2{,}5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25 - 2{,}25} = \sqrt{4} = 2$ m. En el centro, sí cabe de pie (2 m > 1,90 m).
4. Media
Una pirámide de base cuadrada tiene 8 cm de lado de la base y aristas laterales de 9 cm. Calcula su apotema y su altura.

Ver solución
Apotema √65 ≈ 8,06 cm; altura 7 cm.
En una cara: $a_p = \sqrt{9^2 - 4^2} = \sqrt{65} \approx 8{,}06$ cm. En el triángulo interior: $h = \sqrt{65 - 4^2} = \sqrt{49} = 7$ cm.
5. Difícil
Una pirámide hexagonal regular tiene 6 cm de lado de la base y 10 cm de altura. Calcula: a) la apotema de la base; b) la apotema de la pirámide; c) la arista lateral.

Ver solución
a) 3√3 ≈ 5,20 cm. b) √127 ≈ 11,27 cm. c) √136 ≈ 11,66 cm.
a) En el hexágono el radio es igual al lado: $a_b = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20$ cm. b) $a_p = \sqrt{10^2 + 27} = \sqrt{127} \approx 11{,}27$ cm. c) Con $R = 6$ cm: $a = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{136} \approx 11{,}66$ cm.
6. Difícil
La generatriz de un cono mide 13 cm y su altura mide 7 cm más que el radio de la base. Calcula el radio y la altura.

Ver solución
r = 5 cm; h = 12 cm.
$r^2 + (r + 7)^2 = 13^2 \Rightarrow 2r^2 + 14r + 49 = 169 \Rightarrow r^2 + 7r - 60 = 0$ $r = \dfrac{-7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2} = \dfrac{-7 \pm 17}{2} \Rightarrow r = 5$ cm (la solución $-12$ no vale). Altura: $5 + 7 = 12$ cm.

Para practicar más

1. Fácil
Un cono tiene 12 cm de radio y 9 cm de altura. Calcula su generatriz.

Ver solución
15 cm.
$g = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$ cm.
2. Fácil
Una pirámide de base cuadrada tiene 16 cm de lado de la base y 6 cm de altura. Calcula la apotema de la pirámide y la arista lateral.

Ver solución
Apotema 10 cm; arista ≈ 12,81 cm.
$a_b = 8$ cm. $a_p = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ cm. $a = \sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{164} \approx 12{,}81$ cm.
3. Media
La pirámide de cristal del Museo del Louvre (París) tiene base cuadrada de unos 35 m de lado y una altura de unos 21,6 m. Calcula su apotema y su arista lateral, redondeando a los centímetros.

Ver solución
Apotema ≈ 27,80 m; arista ≈ 32,85 m.
$a_b = 17{,}5$ m. $a_p = \sqrt{21{,}6^2 + 17{,}5^2} = \sqrt{772{,}81} \approx 27{,}80$ m. $a = \sqrt{772{,}81 + 17{,}5^2} = \sqrt{1079{,}06} \approx 32{,}85$ m.
4. Media
Un embudo tiene forma de cono: el diámetro de la boca mide 18 cm y la generatriz, 15 cm. ¿Qué profundidad tiene la parte cónica?

Ver solución
12 cm.
$r = 9$ cm. $h = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$ cm.
5. Difícil
Una pirámide de base cuadrada tiene aristas laterales de 13 cm y lado de la base de 10 cm. Calcula su apotema y su altura.

Ver solución
Apotema 12 cm; altura √119 ≈ 10,91 cm.
En una cara: $a_p = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ cm. En el triángulo interior: $h = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{119} \approx 10{,}91$ cm.