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Matemáticas 3.º ESO · Pitágoras en el espacio

Ampliación: troncos y recorridos mínimos sobre superficies

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de distancias en el espacio identificando el triángulo rectángulo adecuado: troncos de pirámide y de cono, y recorridos mínimos sobre la superficie de un cuerpo mediante su desarrollo plano.

Explicación

Troncos de pirámide y de cono

Un tronco es lo que queda de una pirámide o de un cono al cortarlo con un plano paralelo a la base. Tiene dos bases (mayor y menor) y su altura $h$ es la distancia entre ellas.

Tronco de pirámide regular de bases cuadradas de lados $L$ y $l$ . Cada cara lateral es un trapecio isósceles; su altura es la apotema del tronco $a_p$ . Cortando por el centro, aparece un trapecio rectángulo con un triángulo rectángulo de catetos $h$ y $\dfrac{L - l}{2}$ : $a_p^2 = h^2 + \left(\frac{L - l}{2}\right)^2$ La arista lateral es la hipotenusa del triángulo de catetos $a_p$ y $\dfrac{L - l}{2}$ (en la cara lateral).

Tronco de cono de radios $R$ y $r$ : la generatriz $g$ cumple $g^2 = h^2 + (R - r)^2$

Recorridos mínimos sobre una superficie

Si una hormiga va de un punto a otro andando por la superficie de un cuerpo, el camino más corto se encuentra desarrollando (desplegando) las caras en un plano: en el desarrollo, el camino más corto es un segmento, y su longitud se calcula con Pitágoras.

En un ortoedro de dimensiones $a$ , $b$ , $c$ , para ir de un vértice al opuesto se despliegan dos caras contiguas: queda un rectángulo de lados $(a + b)$ y $c$ (u otra combinación). Hay que probar las tres combinaciones y quedarse con la menor: es la que suma las dos dimensiones más pequeñas.
En un cilindro, al desarrollar la superficie lateral sale un rectángulo de base $2\pi r$ y altura $h$ : una vuelta completa de abajo arriba mide $\sqrt{(2\pi r)^2 + h^2}$ .

Puntos clave

Tronco de pirámide de bases cuadradas: $a_p^2 = h^2 + \left(\frac{L - l}{2}\right)^2$ .
Tronco de cono: $g^2 = h^2 + (R - r)^2$ .
Camino mínimo sobre una superficie: se desarrollan las caras y se mide el segmento.
Ortoedro: hay tres desarrollos posibles; el más corto suma las dos dimensiones menores.

Errores frecuentes

ErrorEn el tronco, usar el lado o el radio de la base mayor como cateto.
Cómo corregirloEl cateto horizontal es la diferencia: $(L - l)/2$ en la pirámide y $R - r$ en el cono.
ErrorDar como recorrido mínimo de la hormiga la diagonal del ortoedro.
Cómo corregirloLa hormiga no atraviesa el interior: anda por las caras. Hay que desarrollarlas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un tronco de pirámide numérico (dos triángulos)
Un tronco de pirámide tiene bases cuadradas de 10 cm y 4 cm de lado y una altura de 4 cm. Calcula la apotema del tronco y su arista lateral.

Resolución
Cateto horizontal: $\dfrac{10 - 4}{2} = 3$ cm. Apotema: $a_p = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$ cm. Arista lateral (en la cara, catetos $a_p$ y 3 cm): $\sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \approx 5{,}83$ cm.
Ejemplo 2. La hormiga en el cubo desarrollo plano
Una hormiga está en un vértice de un cubo de 10 cm de arista y quiere llegar al vértice opuesto andando por la superficie. ¿Cuál es el camino más corto? Compáralo con ir por las aristas y con la diagonal del cubo.

Resolución
Desplegamos dos caras contiguas: forman un rectángulo de $20 \times 10$ cm, con los dos vértices en esquinas opuestas. $\text{camino} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{500} \approx 22{,}36\ \text{cm}$ Por las aristas: $10 + 10 + 10 = 30$ cm. La diagonal del cubo, $10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ cm, es más corta, pero la hormiga no puede atravesar el cubo.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una maceta tiene forma de tronco de cono: el diámetro de arriba mide 40 cm, el de abajo 24 cm y su altura es 15 cm. ¿Cuánto mide su generatriz?

Ver solución
17 cm.
Radios: 20 cm y 12 cm; diferencia 8 cm. $g = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289} = 17$ cm.
2. Media
Una hormiga va de un vértice al opuesto por la superficie de una caja de 6 cm × 4 cm × 2 cm. Calcula la longitud de los tres caminos posibles (desarrollando dos caras) y di cuál es el más corto.
Ver solución
√72 ≈ 8,49 cm (el más corto), √80 ≈ 8,94 cm y √104 ≈ 10,20 cm.
- Sumando 4 + 2: $\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} \approx 8{,}49$ cm.
- Sumando 6 + 2: $\sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} \approx 8{,}94$ cm.
- Sumando 6 + 4: $\sqrt{10^2 + 2^2} = \sqrt{104} \approx 10{,}20$ cm. El más corto es el primero, que suma las dos dimensiones menores: unos 8,49 cm.
3. Difícil
Se enrolla una cinta decorativa alrededor de una lata cilíndrica de 4 cm de radio y 10 cm de altura, dando una vuelta completa desde el borde de abajo hasta el de arriba. ¿Cuánto mide la cinta como mínimo?

Ver solución
Unos 27,05 cm.
Desarrollo lateral: rectángulo de base $2\pi \cdot 4 = 8\pi \approx 25{,}13$ cm y altura 10 cm. La cinta es su diagonal: $\sqrt{(8\pi)^2 + 10^2} \approx \sqrt{731{,}65} \approx 27{,}05\ \text{cm}$

Para practicar más

1. Fácil
Un tronco de pirámide tiene bases cuadradas de 20 cm y 8 cm de lado y 8 cm de altura. Calcula su apotema y su arista lateral.

Ver solución
Apotema 10 cm; arista ≈ 11,66 cm.
Cateto horizontal: $(20 - 8) : 2 = 6$ cm. $a_p = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ cm. Arista: $\sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{136} \approx 11{,}66$ cm.
2. Media
Una araña está en un vértice de una caja cúbica de 6 cm de arista y va al vértice opuesto andando por fuera. ¿Cuánto mide el camino más corto? Da el resultado exacto y aproximado.

Ver solución
6√5 ≈ 13,42 cm.
Desarrollo de dos caras: rectángulo $12 \times 6$ . $\sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13{,}42$ cm.
3. Media
La pantalla de una lámpara es un tronco de cono con radios de 15 cm y 10 cm y generatriz de 13 cm. ¿Qué altura tiene?

Ver solución
12 cm.
Diferencia de radios: 5 cm. $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ cm.