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Explicación

Problemas de áreas con medidas «escondidas»

En muchos problemas de áreas no tenemos todas las medidas que piden las fórmulas: falta una altura, una apotema, una diagonal o un lado. Hay dos herramientas para encontrarlas:

Teorema de Pitágoras: busca un triángulo rectángulo escondido (la altura de un triángulo isósceles o equilátero, la apotema de un hexágono regular, la diagonal de un rectángulo, la mitad de un rombo…): $\;a^2 = b^2 + c^2$ .
Semejanza (Tales): si una recta es paralela a un lado de un triángulo, forma un triángulo pequeño semejante al grande. Sus lados son proporcionales con razón $k$ y sus áreas están en razón $k^2$ . También los planos a escala son figuras semejantes.

Estrategia

Dibuja la figura y escribe en ella todas las medidas.
Decide si vas a sumar partes o a restar de una figura conocida.
Busca las medidas que faltan con Pitágoras o con semejanza.
Calcula con valores exactos (radicales, $\pi$ ) y redondea al final.

Presupuestos

Cuando el área sirve para comprar material:

Cantidad de material $= \dfrac{\text{área a cubrir}}{\text{área que cubre cada unidad}}$ , y se redondea hacia arriba (no se venden medias cajas).
Si hay varios formatos (botes grandes y pequeños, cajas…), compara combinaciones: la más barata no siempre es la que se ajusta mejor a la cantidad.

Puntos clave

Las medidas que faltan suelen salir de un triángulo rectángulo escondido (Pitágoras).
Una paralela a un lado de un triángulo crea un triángulo semejante: lados en razón $k$ , áreas en razón $k^2$ .
Calcula con valores exactos y redondea al final.
Las unidades de material (cajas, rollos, botes) se redondean siempre hacia arriba.

Errores frecuentes

ErrorUsar el lado oblicuo de un trapecio o de un triángulo como si fuera la altura.
Cómo corregirloLa altura es perpendicular a la base; si no la tienes, calcúlala con Pitágoras.
ErrorPensar que si los lados se multiplican por $k$ el área también se multiplica por $k$ .
Cómo corregirloEn figuras semejantes el área se multiplica por $k^2$ (en un plano a escala 1:500, por $500^2$ ).
ErrorRedondear las unidades de material al entero más próximo (por ejemplo, 7,2 cajas → 7 cajas).
Cómo corregirloCon 7 cajas falta material: las cajas, rollos o botes se redondean siempre hacia arriba (8 cajas).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un mosaico de piezas triangulares situación real (Pitágoras y presupuesto)
Se quiere decorar una pared de 3 m² con un mosaico de piezas de cerámica con forma de triángulo equilátero de 15 cm de lado. Las piezas se venden en cajas de 40 a 22 € la caja. Sin contar recortes, ¿cuántas cajas hay que comprar y cuánto cuestan?

Resolución
1. Altura de una pieza (Pitágoras): la altura divide el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos de hipotenusa 15 cm y cateto 7,5 cm: $h = \sqrt{15^2 - 7{,}5^2} = \sqrt{168{,}75} \approx 12{,}99\ \text{cm}$
2. Área de una pieza: $A = \dfrac{15 \cdot 12{,}99}{2} \approx 97{,}43\ \text{cm}^2$ .
3. Número de piezas: $3\ \text{m}^2 = 30\,000\ \text{cm}^2$ ; $\;30\,000 : 97{,}43 \approx 307{,}9 \Rightarrow$ 308 piezas.
4. Cajas: $308 : 40 = 7{,}7 \Rightarrow$ 8 cajas. Coste: $8 \cdot 22 = 176$ €.
Ejemplo 2. Una vidriera triangular geométrico (semejanza)
Una vidriera tiene forma de triángulo de 12 dm de base y 9 dm de altura. Se coloca un listón paralelo a la base a 3 dm de ella. La parte de abajo (un trapecio) es de cristal azul, que cuesta 45 €/m². a) ¿Cuánto mide el listón? b) ¿Cuánto cuesta el cristal azul?

Resolución
a) El triángulo de arriba es semejante al grande: su altura es $9 - 3 = 6$ dm, así que la razón es $k = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ . Listón: $12 \cdot \dfrac{2}{3} = 8$ dm.

b) Área del trapecio: $\dfrac{(12 + 8) \cdot 3}{2} = 30\ \text{dm}^2$ . Comprobación con la razón de áreas: triángulo grande $\dfrac{12 \cdot 9}{2} = 54\ \text{dm}^2$ ; pequeño $54 \cdot k^2 = 54 \cdot \dfrac{4}{9} = 24\ \text{dm}^2$ ; $54 - 24 = 30\ \text{dm}^2$ . ✔

$30\ \text{dm}^2 = 0{,}30\ \text{m}^2$ ; coste: $0{,}30 \cdot 45 = 13{,}50$ €.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
En un cuadrado de 8 cm de lado se unen los puntos medios de los lados consecutivos y se forma otro cuadrado. Las cuatro esquinas que quedan fuera del cuadrado interior están sombreadas. a) Calcula el área sombreada. b) Calcula el lado y el perímetro del cuadrado interior.

Ver solución
a) 32 cm². b) Lado $4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ cm; perímetro $16\sqrt{2} \approx 22{,}63$ cm
a) Cada esquina es un triángulo rectángulo de catetos 4 y 4: $\dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8$ cm². Sombreado: $4 \cdot 8 = 32$ cm² (la mitad del cuadrado). b) Lado interior (Pitágoras): $\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ cm. Perímetro: $16\sqrt{2} \approx 22{,}63$ cm.
2. Media
Un parterre tiene forma de rombo de 6,5 m de lado y su diagonal mayor mide 12 m. a) Calcula la diagonal menor y el área. b) El césped se vende en rollos de 1 m² a 6,50 € y el bordillo a 4 €/m. ¿Cuánto cuesta cubrirlo de césped y ponerle bordillo alrededor?

Ver solución
a) $d = 5$ m; 30 m². b) $195 + 104 = 299$ €
a) Las diagonales del rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio: triángulo rectángulo de hipotenusa 6,5 y cateto 6. Media diagonal menor: $\sqrt{6{,}5^2 - 6^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ m, así que $d = 5$ m. Área: $\dfrac{12 \cdot 5}{2} = 30$ m². b) Césped: 30 rollos $\cdot\ 6{,}50 = 195$ €. Bordillo: perímetro $4 \cdot 6{,}5 = 26$ m; $26 \cdot 4 = 104$ €. Total: 299 €.
3. Difícil
En un triángulo rectángulo de catetos 6 cm (vertical) y 8 cm (horizontal) se dibuja un cuadrado con un vértice en el ángulo recto, dos lados sobre los catetos y el vértice opuesto sobre la hipotenusa. Se sombrea la parte del triángulo que queda fuera del cuadrado. a) Calcula el lado del cuadrado usando la semejanza del triángulo pequeño de arriba con el grande. b) Calcula el área sombreada.

Ver solución
a) $\dfrac{24}{7} \approx 3{,}43$ cm. b) $\dfrac{600}{49} \approx 12{,}24$ cm²
a) Sea $x$ el lado del cuadrado. Encima del cuadrado queda un triángulo rectángulo de catetos $6 - x$ (vertical) y $x$ (horizontal), semejante al grande (catetos 6 y 8): $\dfrac{6 - x}{x} = \dfrac{6}{8} \Rightarrow 8(6 - x) = 6x \Rightarrow 48 = 14x \Rightarrow x = \dfrac{24}{7} \approx 3{,}43\ \text{cm}$ b) Triángulo: $\dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ cm². Cuadrado: $\left(\dfrac{24}{7}\right)^2 = \dfrac{576}{49}$ cm². Sombreado: $24 - \dfrac{576}{49} = \dfrac{600}{49} \approx 12{,}24$ cm².
4. Difícil
La pared del fondo de una buhardilla tiene forma de pentágono: un rectángulo de 6 m de ancho y 2,5 m de alto con un triángulo isósceles encima cuyos lados iguales miden 3,4 m. Tiene una ventana de 1,2 m × 1 m. Hay que darle dos manos de pintura y cada litro cubre 10 m². La pintura se vende en botes de 2,5 L (19 €) y de 1 L (10 €). a) ¿Cuántos litros hacen falta? b) ¿Qué compra es la más barata?

Ver solución
a) 3,72 L. b) Dos botes de 2,5 L: 38 €
Altura del triángulo (Pitágoras, con la mitad de la base): $h = \sqrt{3{,}4^2 - 3^2} = \sqrt{2{,}56} = 1{,}6$ m. Área: $6 \cdot 2{,}5 + \dfrac{6 \cdot 1{,}6}{2} - 1{,}2 \cdot 1 = 15 + 4{,}8 - 1{,}2 = 18{,}6$ m². a) Dos manos: $37{,}2$ m²; litros: $37{,}2 : 10 = 3{,}72$ L. b) Opciones que llegan a 3,72 L: 4 botes de 1 L (4 L) → 40 €; 1 de 2,5 L + 2 de 1 L (4,5 L) → 39 €; 2 de 2,5 L (5 L) → 38 €. La más barata es 2 botes de 2,5 L (38 €), aunque sobre pintura.

Para practicar más

1. Media
Un arriate de un jardín tiene forma de trapecio isósceles de bases 10 m y 4 m, y sus lados iguales miden 5 m. Se quiere cubrir de corteza de pino; cada saco cubre 1,5 m². ¿Cuántos sacos hacen falta?

Ver solución
Altura 4 m; área 28 m²; 19 sacos
Cada lado oblicuo «sobresale» $\dfrac{10 - 4}{2} = 3$ m. Altura (Pitágoras): $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ m. Área: $\dfrac{(10 + 4) \cdot 4}{2} = 28$ m². Sacos: $28 : 1{,}5 \approx 18{,}67 \Rightarrow$ 19 sacos.
2. Media
En un triángulo equilátero de 10 cm de lado se unen los puntos medios de sus lados, que forman un triángulo equilátero más pequeño en el centro. Se sombrean las tres esquinas (lo que queda fuera del triángulo central). a) ¿Qué razón de semejanza hay entre el triángulo central y el grande? b) Calcula el área sombreada.

Ver solución
a) $k = \dfrac{1}{2}$ . b) $\dfrac{75\sqrt{3}}{4} \approx 32{,}48$ cm²
a) El triángulo central tiene lado 5 cm: $k = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ , así que su área es $k^2 = \dfrac{1}{4}$ de la grande. b) Altura del grande: $h = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ cm. Área: $\dfrac{10 \cdot 5\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \approx 43{,}30$ cm². Sombreado: $\dfrac{3}{4} \cdot 25\sqrt{3} = \dfrac{75\sqrt{3}}{4} \approx 32{,}48$ cm².
3. Difícil
En un plano a escala 1:500, una parcela es un trapecio rectángulo de bases 6 cm y 4 cm y altura 3 cm. a) Calcula las medidas reales y el área real. b) Se quiere vallar toda la parcela con una valla que cuesta 12 € el metro. ¿Cuánto cuesta?

Ver solución
a) Bases 30 m y 20 m, altura 15 m; 375 m². b) Perímetro $\approx 83{,}03$ m; $\approx 996{,}33$ €
a) Cada centímetro del plano son 500 cm = 5 m: bases 30 m y 20 m, altura 15 m. Área: $\dfrac{(30 + 20) \cdot 15}{2} = 375$ m². (También: en el plano $15$ cm², y el área real es $15 \cdot 500^2$ cm² $= 375$ m².) b) Lado oblicuo (Pitágoras): catetos 15 m y $30 - 20 = 10$ m: $\sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{325} \approx 18{,}03$ m. Perímetro: $30 + 20 + 15 + \sqrt{325} \approx 83{,}03$ m. Coste: $(65 + \sqrt{325}) \cdot 12 \approx 996{,}33$ € (si se redondea antes el perímetro a 83,03 m salen 996,36 €).
4. Difícil
En el cuadrado $ABCD$ de 10 cm de lado, $M$ es el punto medio del lado $BC$ y $N$ el punto medio del lado $CD$ . Se sombrea el triángulo $AMN$ . Calcula su área y su perímetro.

Ver solución
Área: 37,5 cm². Perímetro $\approx 29{,}43$ cm
Área (completar y restar): $100 - \underbrace{25}_{ABM} - \underbrace{25}_{ADN} - \underbrace{12{,}5}_{MCN} = 37{,}5$ cm² (los triángulos $ABM$ y $ADN$ tienen catetos 10 y 5; $MCN$ , catetos 5 y 5). Lados (Pitágoras): $AM = AN = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} \approx 11{,}18$ cm; $MN = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7{,}07$ cm. Perímetro: $2\sqrt{125} + \sqrt{50} \approx 29{,}43$ cm.

Áreas sombreadas y presupuestos con Pitágoras y semejanza