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Matemáticas 3.º ESO · Áreas de figuras circulares y compuestas

Estimación de áreas de figuras irregulares

Objetivo: Al terminar, sabrás estimar el área de una figura irregular con una cuadrícula o aproximándola por figuras conocidas, dar una cota inferior y otra superior y valorar la precisión de la estimación.

Explicación

¿Cómo se mide el área de una figura irregular?

Un lago, una mancha o una parcela con bordes curvos no tienen fórmula. Su área se estima.

1. Método de la cuadrícula

Se coloca encima una cuadrícula y se cuentan:

los cuadros completamente dentro de la figura ( $n_{\text{dentro}}$ );
los cuadros cortados por el borde ( $n_{\text{borde}}$ ).

Entonces:

Cota inferior: $n_{\text{dentro}}$ cuadros (el área es al menos eso).
Cota superior: $n_{\text{dentro}} + n_{\text{borde}}$ cuadros (el área es como mucho eso).
Estimación: $n_{\text{dentro}} + \dfrac{n_{\text{borde}}}{2}$ cuadros (suponemos que, de media, cada cuadro del borde está medio lleno).

Al final se multiplica por el área de un cuadro. Si el dibujo es un plano a escala, primero calcula cuánto mide en la realidad el lado de un cuadro.

2. Aproximar por figuras conocidas

Si se conocen algunas medidas (por ejemplo, la anchura de un terreno cada cierta distancia), se aproxima la figura por trapecios (o rectángulos y triángulos) y se suman sus áreas.

Precisión

La diferencia entre la cota superior y la inferior indica cuánto nos podemos equivocar como máximo.
Cuanto más fina es la cuadrícula (o cuantas más medidas se toman), más precisa es la estimación.
El error relativo compara el error con el valor real: $\dfrac{|\text{estimación} - \text{valor real}|}{\text{valor real}} \cdot 100$ %.

Estimar antes de calcular

Antes de hacer cuentas, haz una estimación a ojo comparando con algo que conozcas: una baldosa, un folio, un paso… Por ejemplo, una hoja de papel A4 tiene unos 600 cm² y la puerta de una clase, unos 2 m². Después, comprueba si tu cálculo se parece a lo que habías estimado: así detectas errores de unidades.

Puntos clave

Cota inferior: cuadros enteros; cota superior: enteros + cortados.
Estimación: enteros + la mitad de los cortados, multiplicado por el área de un cuadro.
En un plano a escala, el lado de cada cuadro se pasa a medida real antes de calcular su área.
Cuadrícula más fina o más medidas → estimación más precisa.
Estima a ojo antes de calcular y compara: así detectas errores de unidades.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar el número de cuadros por el lado del cuadro en vez de por su área.
Cómo corregirloCada cuadro de 10 m de lado ocupa $10 \cdot 10 = 100\ \text{m}^2$ .
ErrorContar como enteros los cuadros que el borde corta un poco.
Cómo corregirloSi el borde pasa por dentro del cuadro, aunque sea por una esquina, es un cuadro cortado.
ErrorDar la estimación como si fuera exacta.
Cómo corregirloAcompáñala de las cotas o di que es aproximada.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El lago del parque gráfico (cuadrícula sobre un plano)
Sobre el plano de un parque se coloca una cuadrícula en la que cada cuadro representa 10 m × 10 m en la realidad. El lago ocupa 33 cuadros enteros y su orilla corta otros 32 cuadros. a) Da una cota inferior, una cota superior y una estimación del área del lago. b) Con un método más preciso se ha obtenido un área de unos 4825 m². ¿Qué error relativo tiene la estimación?

Resolución
Cada cuadro: $10 \cdot 10 = 100\ \text{m}^2$ .

a)
- Cota inferior: $33 \cdot 100 = 3300\ \text{m}^2$ .
- Cota superior: $(33 + 32) \cdot 100 = 6500\ \text{m}^2$ .
- Estimación: $\left(33 + \dfrac{32}{2}\right) \cdot 100 = 49 \cdot 100 = 4900\ \text{m}^2$ .
b) Error relativo: $\dfrac{|4900 - 4825|}{4825} \cdot 100 \approx 1{,}6\ \%$ . Las cotas son muy separadas, pero la estimación «enteros + mitad de los cortados» es bastante buena.
Ejemplo 2. Un terreno junto al río medidas sobre el terreno (aproximación por trapecios)
Un terreno está limitado por una carretera recta y por un río. Cada 20 m a lo largo de la carretera se mide la distancia hasta el río y se obtiene: 30, 36, 40, 38, 32 y 26 m (en total, 100 m de carretera). Estima el área del terreno aproximándolo por trapecios.

Resolución
Cada tramo de 20 m es, aproximadamente, un trapecio de altura 20 m cuyas bases son dos medidas consecutivas: $A \approx 20 \cdot \left(\dfrac{30 + 36}{2} + \dfrac{36 + 40}{2} + \dfrac{40 + 38}{2} + \dfrac{38 + 32}{2} + \dfrac{32 + 26}{2}\right)$ $A \approx 20 \cdot (33 + 38 + 39 + 35 + 29) = 20 \cdot 174 = 3480\ \text{m}^2$ Es decir, unos $3500\ \text{m}^2$ (0,35 ha). Con medidas cada 10 m la estimación sería más precisa.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una hoja de árbol se calca sobre papel cuadriculado con cuadros de 0,5 cm de lado. Quedan 38 cuadros enteros dentro de la hoja y su borde corta otros 22. Calcula una cota inferior, una cota superior y una estimación del área de la hoja. ¿Cuál es el error máximo de la estimación?

Ver solución
Entre 9,5 y 15 cm²; estimación 12,25 cm²; error máximo 2,75 cm²
Área de un cuadro: $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$ cm². Cota inferior: $38 \cdot 0{,}25 = 9{,}5$ cm². Cota superior: $60 \cdot 0{,}25 = 15$ cm². Estimación: $(38 + 11) \cdot 0{,}25 = 12{,}25$ cm². Error máximo: $15 - 12{,}25 = 12{,}25 - 9{,}5 = 2{,}75$ cm².
2. Media
En el plano de una parcela, cada cuadro de la cuadrícula representa 5 m × 5 m. La parcela es el pentágono de vértices $(0, 1)$ , $(5, 0)$ , $(8, 3)$ , $(6, 7)$ y $(1, 5)$ (en cuadros). Dibújalo y calcula el área real de la parcela restando al rectángulo que la envuelve las zonas que sobran.
Ver solución
36 cuadros = 900 m²
Rectángulo envolvente: de $x = 0$ a $8$ y de $y = 0$ a $7$ : $8 \cdot 7 = 56$ cuadros. Zonas que sobran:
- Abajo a la izquierda, triángulo de catetos 5 y 1: 2,5.
- Abajo a la derecha, triángulo de catetos 3 y 3: 4,5.
- Arriba a la derecha, triángulo de catetos 4 y 2: 4.
- A la izquierda, un trapecio rectángulo (bases 6 y 1, altura 2): 7, y debajo un triángulo de catetos 1 y 4: 2. Área: $56 - 2{,}5 - 4{,}5 - 4 - 7 - 2 = 36$ cuadros. Cada cuadro: $5 \cdot 5 = 25$ m². Área real: $36 \cdot 25 = 900$ m².
3. Media
Experimenta. a) Dibuja con el compás, en papel cuadriculado de cuadros de 1 cm, un círculo de 4 cm de radio con el centro en un cruce de líneas. Cuenta los cuadros enteros y los cortados y estima el área. b) Repite el recuento con cuadros de 0,5 cm. c) Compara las dos estimaciones con el valor exacto $\pi \cdot 4^2$ . ¿Cuál es más precisa?

Ver solución
a) ≈ 32 enteros y 28 cortados: ≈ 46 cm². b) ≈ 164 enteros y 60 cortados: ≈ 48,5 cm². c) Exacto ≈ 50,27 cm²; la cuadrícula fina es más precisa
a) Con cuadros de 1 cm (área 1 cm²) salen unos 32 enteros y 28 cortados: estimación $32 + 14 = 46$ cm² (entre 32 y 60 cm²). b) Con cuadros de 0,5 cm (área 0,25 cm²) salen unos 164 enteros y 60 cortados: estimación $(164 + 30) \cdot 0{,}25 = 48{,}5$ cm² (entre 41 y 56 cm²). c) $\pi \cdot 16 \approx 50{,}27$ cm². Errores relativos: $\approx 8{,}5$ % con cuadros de 1 cm y $\approx 3{,}5$ % con cuadros de 0,5 cm. La cuadrícula fina da una estimación más precisa y cotas más próximas. (Tus recuentos pueden variar un poco según el dibujo.)

Para practicar más

1. Media
En un plano a escala 1:2000 se coloca una cuadrícula de 1 cm. Un parque ocupa 26 cuadros enteros y su borde corta otros 18. a) ¿Qué medida real tiene el lado de un cuadro? b) Estima el área del parque en m² y en hectáreas, y da las cotas.

Ver solución
a) 20 m. b) ≈ 14 000 m² = 1,4 ha (entre 10 400 y 17 600 m²)
a) 1 cm en el plano son 2000 cm = 20 m. b) Cada cuadro: $20 \cdot 20 = 400$ m². Estimación: $(26 + 9) \cdot 400 = 14\,000$ m² $= 1{,}4$ ha. Cotas: $26 \cdot 400 = 10\,400$ m² y $44 \cdot 400 = 17\,600$ m².
2. Media
Para estimar la superficie de una charca de un parque se mide su anchura cada 4 m a lo largo de su eje más largo, que mide 24 m. Las medidas (en m) están en la gráfica: 0; 5; 7; 8; 6; 3; 0. Estima el área de la charca con trapecios (los tramos de los extremos son triángulos).

Ver solución
≈ 116 m²
$A \approx 4 \cdot \left(\dfrac{0 + 5}{2} + \dfrac{5 + 7}{2} + \dfrac{7 + 8}{2} + \dfrac{8 + 6}{2} + \dfrac{6 + 3}{2} + \dfrac{3 + 0}{2}\right) = 4 \cdot 29 = 116$ m².
3. Media
Ana y Luis estiman el área de una mancha. Ana usa cuadros de 1 cm y obtiene que el área está entre 18 y 34 cm². Luis usa cuadros de 0,5 cm y obtiene que está entre 22,5 y 28,75 cm². a) ¿Qué estimación da cada uno (el punto medio de sus cotas) y cuál es su error máximo? b) ¿Cuál es más precisa? ¿Por qué?

Ver solución
a) Ana: 26 cm² (error máximo 8 cm²); Luis: 25,625 cm² (error máximo 3,125 cm²). b) La de Luis
a) Ana: $\dfrac{18 + 34}{2} = 26$ cm², error máximo $\dfrac{34 - 18}{2} = 8$ cm². Luis: $\dfrac{22{,}5 + 28{,}75}{2} = 25{,}625$ cm², error máximo $\dfrac{28{,}75 - 22{,}5}{2} = 3{,}125$ cm². b) La de Luis: sus cotas están más próximas porque su cuadrícula es más fina y los cuadros cortados por el borde ocupan menos superficie.