Demostrar propiedades con triángulos iguales (ampliación)

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorUsar como razón lo que se quiere demostrar.

  Cómo corregirloEscribe la tesis aparte y comprueba que no aparece en la columna de razones hasta el final.

• ErrorDar una razón que solo vale para el dibujo («se ve que son iguales», «mide lo mismo con la regla»).

  Cómo corregirloCada razón debe ser un dato, una propiedad conocida o un paso ya demostrado.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles demostración en tabla (LLL)

   Hipótesis: $ABC$ es isósceles, con $AB = AC$. Tesis: $\hat{B} = \hat{C}$. Además, el segmento que une $A$ con el punto medio $M$ de $BC$ es perpendicular a $BC$.

   Resolución

   Unimos $A$ con el punto medio $M$ de $BC$ y comparamos $ABM$ y $ACM$:

   Afirmación	Razón
   $AB = AC$	Hipótesis
   $BM = CM$	$M$ es el punto medio de $BC$
   $AM = AM$	Lado común
   $ABM \cong ACM$	Criterio LLL
   $\hat{B} = \hat{C}$	Ángulos homólogos (enfrente de $AM$)
   $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$	Ángulos homólogos (enfrente de $AB$ y de $AC$)
   $\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^\circ$	Forman un ángulo llano
   $\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^\circ$	Son iguales y suman $180^\circ$

   Queda demostrado: los ángulos de la base son iguales y $AM$ es perpendicular a $BC$ (es a la vez mediana, altura y mediatriz de la base).

2. Ejemplo 2. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio demostración en tabla (ALA con paralelas)

   Hipótesis: $ABCD$ es un paralelogramo ($AB \parallel CD$, $AD \parallel BC$ y lados opuestos iguales); sus diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $O$. Tesis: $OA = OC$ y $OB = OD$.

   Resolución

   Comparamos los triángulos $AOB$ y $COD$:

   Afirmación	Razón
   $AB = CD$	Lados opuestos del paralelogramo
   $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$	Alternos internos ($AB \parallel CD$, cortadas por $AC$)
   $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$	Alternos internos ($AB \parallel CD$, cortadas por $BD$)
   $AOB \cong COD$	Criterio ALA (el lado $AB$ y sus dos ángulos contiguos)
   $OA = OC$	Lados homólogos (enfrente de $\widehat{OBA}$ y $\widehat{ODC}$)
   $OB = OD$	Lados homólogos (enfrente de $\widehat{OAB}$ y $\widehat{OCD}$)

   $O$ es el punto medio de las dos diagonales.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Propiedad de la mediatriz. Sea $M$ el punto medio del segmento $AB$ y $P$ un punto cualquiera de la mediatriz de $AB$ (la perpendicular a $AB$ por $M$). Demuestra que $PA = PB$ completando la tabla:

   Afirmación	Razón
   $AM = BM$	…
   $\widehat{PMA} = \widehat{PMB} = 90^\circ$	…
   $PM = PM$	…
   $PMA \cong PMB$	…
   $PA = PB$	…

   Ver solución

   Razones: M es el punto medio; la mediatriz es perpendicular a AB; lado común; criterio LAL; lados homólogos.

   Afirmación	Razón
   $AM = BM$	$M$ es el punto medio de $AB$
   $\widehat{PMA} = \widehat{PMB} = 90^\circ$	La mediatriz es perpendicular a $AB$
   $PM = PM$	Lado común
   $PMA \cong PMB$	Criterio LAL (el ángulo recto está entre $PM$ y $AM$, y entre $PM$ y $BM$)
   $PA = PB$	Lados homólogos (enfrente de los ángulos rectos)

   Todo punto de la mediatriz está a la misma distancia de los extremos del segmento.

2. 2. Media

   Alturas de un triángulo isósceles. En el triángulo $ABC$, $AB = AC$. Desde $B$ se traza la altura $BD$ (perpendicular a $AC$) y desde $C$, la altura $CE$ (perpendicular a $AB$). Demuestra que $BD = CE$. Pista: compara los triángulos $ABD$ y $ACE$; calcula antes $\widehat{ABD}$ y $\widehat{ACE}$ en función de $\hat{A}$.

   Ver solución

   ABD ≅ ACE por ALA (AB = AC, Â común y ABD = ACE = 90° − Â); BD y CE son homólogos.

   Afirmación	Razón
   $\widehat{ADB} = \widehat{AEC} = 90^\circ$	$BD$ y $CE$ son alturas
   $\widehat{ABD} = 90^\circ - \hat{A}$ y $\widehat{ACE} = 90^\circ - \hat{A}$	Los ángulos de $ABD$ y de $ACE$ suman $180^\circ$
   $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$	Son iguales a la misma cantidad
   $AB = AC$	Hipótesis
   $\hat{A}$ es común	Mismo ángulo en los dos triángulos
   $ABD \cong ACE$	Criterio ALA ($AB$ entre $\hat{A}$ y $\widehat{ABD}$; $AC$ entre $\hat{A}$ y $\widehat{ACE}$)
   $BD = CE$	Lados homólogos (enfrente de $\hat{A}$)

3. 3. Difícil

   Lados opuestos de un paralelogramo. $ABCD$ es un cuadrilátero con $AB \parallel CD$ y $AD \parallel BC$. Demuestra que $AB = CD$ y $AD = BC$. Pista: traza la diagonal $AC$.

   Ver solución

   ABC ≅ CDA por ALA (AC común y dos parejas de ángulos alternos internos); lados homólogos AB = CD, BC = DA.

   Afirmación	Razón
   $\widehat{BAC} = \widehat{DCA}$	Alternos internos ($AB \parallel CD$, cortadas por $AC$)
   $AC = CA$	Lado común
   $\widehat{BCA} = \widehat{DAC}$	Alternos internos ($AD \parallel BC$, cortadas por $AC$)
   $ABC \cong CDA$	Criterio ALA ($AC$ y sus dos ángulos contiguos)
   $AB = CD$	Lados homólogos (enfrente de $\widehat{BCA}$ y $\widehat{DAC}$)
   $BC = DA$	Lados homólogos (enfrente de $\widehat{BAC}$ y $\widehat{DCA}$)

Para practicar más

1. 1. Media

   Demuestra que en un rombo $ABCD$ (cuatro lados iguales) la diagonal $AC$ divide los ángulos $\hat{A}$ y $\hat{C}$ en dos partes iguales.

   Ver solución

   ABC ≅ ADC por LLL; los ángulos homólogos dan BAC = DAC y BCA = DCA.

   Afirmación	Razón
   $AB = AD$ y $CB = CD$	Lados del rombo
   $AC = AC$	Lado común
   $ABC \cong ADC$	Criterio LLL
   $\widehat{BAC} = \widehat{DAC}$	Ángulos homólogos (enfrente de $CB$ y $CD$)
   $\widehat{BCA} = \widehat{DCA}$	Ángulos homólogos (enfrente de $AB$ y $AD$)

   La diagonal $AC$ es bisectriz de $\hat{A}$ y de $\hat{C}$.

2. 2. Difícil

   Las diagonales del cuadrilátero $ABCD$ se cortan en $O$, que es el punto medio de las dos ($OA = OC$ y $OB = OD$). Demuestra que $AB = CD$ y que $AB \parallel CD$. Pista: si dos rectas cortadas por una secante forman ángulos alternos internos iguales, son paralelas.

   Ver solución

   AOB ≅ COD por LAL (ángulos opuestos por el vértice); AB = CD y OAB = OCD, alternos internos iguales → AB ∥ CD.

   Afirmación	Razón
   $OA = OC$ y $OB = OD$	Hipótesis
   $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$	Opuestos por el vértice
   $AOB \cong COD$	Criterio LAL
   $AB = CD$	Lados homólogos (enfrente de los ángulos en $O$)
   $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$	Ángulos homólogos (enfrente de $OB$ y $OD$)
   $AB \parallel CD$	Las rectas $AB$ y $CD$, cortadas por $AC$, forman ángulos alternos internos iguales

   (Del mismo modo, con $AOD$ y $COB$, se prueba que $AD = BC$ y $AD \parallel BC$: el cuadrilátero es un paralelogramo.)

3. 3. Difícil

   $ABC$ es un triángulo equilátero. Se marcan $D$ en $AB$, $E$ en $BC$ y $F$ en $CA$ de forma que $AD = BE = CF$. Demuestra que el triángulo $DEF$ también es equilátero.

   Ver solución

   ADF ≅ BED ≅ CFE por LAL; por tanto DF = ED = FE.

   Llamamos $\ell$ al lado de $ABC$.

   Afirmación	Razón
   $AD = BE = CF$	Hipótesis
   $AF = \ell - CF$, $BD = \ell - AD$, $CE = \ell - BE$	Restando en cada lado
   $AF = BD = CE$	Restamos cantidades iguales a $\ell$
   $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 60^\circ$	$ABC$ es equilátero
   $ADF \cong BED \cong CFE$	Criterio LAL ($AD$, $\hat{A}$, $AF$ / $BE$, $\hat{B}$, $BD$ / $CF$, $\hat{C}$, $CE$)
   $DF = ED = FE$	Lados homólogos (enfrente de los ángulos de $60^\circ$)

   Los tres lados de $DEF$ son iguales: es equilátero.