Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U10 · Geometría plana: Pitágoras, Tales, áreas y trigonometría básica

Matemáticas 3.º ESO · Teorema de Tales y semejanza de triángulos

Problemas del teorema de Tales: ecuaciones y recíproco

Objetivo: Al terminar, sabrás plantear y resolver ecuaciones a partir del teorema de Tales cuando la incógnita aparece en varios segmentos, y usar el recíproco de Tales para justificar si dos rectas son paralelas.

Explicación

Tales con incógnitas

A veces los segmentos vienen dados por expresiones con $x$ (por ejemplo, $x$ y $x + 3$ ). Se resuelve igual que siempre:

Escribe la proporción de Tales con los segmentos en el mismo orden en las dos secantes.
Multiplica en cruz: sale una ecuación (de primer o de segundo grado).
Resuelve la ecuación.
Comprueba las soluciones: las longitudes tienen que ser positivas. Descarta las soluciones que den algún segmento negativo o nulo.
Calcula los segmentos que pide el problema.

El recíproco del teorema de Tales

El teorema de Tales dice: si las rectas son paralelas, los segmentos son proporcionales. El recíproco intercambia lo que se sabe y lo que se concluye:

En un triángulo $ABC$ , si $M$ está en el lado $AB$ , $N$ está en el lado $AC$ y $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},$ entonces el segmento $MN$ es paralelo a $BC$ .

Lo mismo ocurre con tres rectas que cortan a dos secantes: si dos de ellas son paralelas y los segmentos son proporcionales, la tercera también es paralela.

Sirve para justificar que dos rectas son paralelas sin medir ángulos: basta con calcular dos razones y ver si son iguales. Si no lo son, las rectas no son paralelas.

Puntos clave

Con incógnitas: proporción, producto en cruz, ecuación y comprobación.
Las soluciones que dan longitudes negativas o nulas se descartan.
Recíproco de Tales: si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ , entonces $MN \parallel BC$ .
Si las razones son distintas, las rectas no son paralelas.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar en cruz sin paréntesis: de $\dfrac{x}{x + 3} = \dfrac{8}{10}$ escribir $10x = 8x + 3$ .
Cómo corregirloPon paréntesis a las expresiones antes de multiplicar: $10x = 8(x + 3) = 8x + 24$ .
ErrorDar como válida una solución negativa de la ecuación de segundo grado.
Cómo corregirloSustituye cada solución en todos los segmentos: si alguno sale negativo o cero, esa solución no sirve.
ErrorComparar razones con segmentos de distinto tipo ( $\dfrac{AM}{MB}$ con $\dfrac{AN}{AC}$ ).
Cómo corregirloCompara trozo con trozo ( $\dfrac{AM}{MB}$ y $\dfrac{AN}{NC}$ ) o lado entero con lado entero ( $\dfrac{AM}{AB}$ y $\dfrac{AN}{AC}$ ).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una incógnita en dos segmentos numérico (ecuación de primer grado)
Tres rectas paralelas cortan a dos secantes. En la primera determinan los segmentos $AB = x$ y $BC = x + 3$ (en cm); en la segunda, $A'B' = 8$ cm y $B'C' = 10$ cm. Calcula $x$ , $AB$ y $BC$ .

Resolución
$\frac{x}{x + 3} = \frac{8}{10} \;\Rightarrow\; 10x = 8(x + 3) \;\Rightarrow\; 10x = 8x + 24 \;\Rightarrow\; 2x = 24 \;\Rightarrow\; x = 12$ $AB = 12$ cm y $BC = 12 + 3 = 15$ cm.

Comprobación: $\dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$ y $\dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$ . ✔
Ejemplo 2. Una ecuación de segundo grado numérico (ecuación de segundo grado)
Tres rectas paralelas cortan a dos secantes. En una determinan $AB = x$ y $BC = 6$ cm; en la otra, $A'B' = 2$ cm y $B'C' = x + 1$ (en cm). Calcula $x$ .

Resolución
$\frac{x}{6} = \frac{2}{x + 1} \;\Rightarrow\; x(x + 1) = 12 \;\Rightarrow\; x^2 + x - 12 = 0$ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = 3,\quad x_2 = -4$ $x = -4$ daría $AB = -4$ cm: se descarta. Luego $x = 3$ : $AB = 3$ cm y $B'C' = 4$ cm.

Comprobación: $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ y $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ . ✔
Ejemplo 3. ¿Es paralela la barra? situación real (recíproco de Tales)
El armazón metálico de una marquesina es un triángulo $ABC$ con el vértice $A$ arriba, $AB = 4{,}5$ m y $AC = 6$ m. Se suelda una barra $MN$ con $M$ en $AB$ y $N$ en $AC$ , de modo que $AM = 1{,}8$ m y $AN = 2{,}4$ m. a) ¿Es la barra paralela a la base $BC$ ? b) Otra barra $PQ$ tiene $AP = 3$ m y $AQ = 4{,}2$ m. ¿Es paralela a $BC$ ?

Resolución
a) $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{1{,}8}{4{,}5} = 0{,}4$ y $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}4$ . Las razones son iguales: por el recíproco de Tales, $MN \parallel BC$ .

b) $\dfrac{AP}{AB} = \dfrac{3}{4{,}5} = 0{,}\overline{6}$ y $\dfrac{AQ}{AC} = \dfrac{4{,}2}{6} = 0{,}7$ . Son distintas: $PQ$ no es paralela a $BC$ . (Para que lo fuera, $AQ$ tendría que medir $\dfrac{2}{3} \cdot 6 = 4$ m.)

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Tres rectas paralelas cortan a dos secantes. En una determinan $AB = 5$ cm y $BC = x$ ; en la otra, $A'B' = 7{,}5$ cm y $B'C' = 9$ cm. Calcula $x$ .

Ver solución
x = 6 cm
$\dfrac{5}{x} = \dfrac{7{,}5}{9} \;\Rightarrow\; 7{,}5x = 45 \;\Rightarrow\; x = 6$ cm.
2. Media
Tres rectas paralelas cortan a dos secantes. En una determinan $AB = 2x$ y $BC = 9$ (en cm); en la otra, $A'B' = x + 2$ y $B'C' = 6$ (en cm). Calcula $x$ y las longitudes de $AB$ y $A'B'$ .

Ver solución
x = 6; AB = 12 cm, A'B' = 8 cm.
$\dfrac{2x}{9} = \dfrac{x + 2}{6} \;\Rightarrow\; 12x = 9(x + 2) \;\Rightarrow\; 12x = 9x + 18 \;\Rightarrow\; 3x = 18 \;\Rightarrow\; x = 6$ . $AB = 12$ cm; $A'B' = 8$ cm. Comprobación: $\dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}$ y $\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ . ✔
3. Media
En el triángulo $ABC$ , $AB = 10$ cm y $AC = 14$ cm. a) Se marcan $M$ en $AB$ con $AM = 4$ cm y $N$ en $AC$ con $AN = 5{,}6$ cm. ¿Es $MN$ paralelo a $BC$ ? b) Se marcan $P$ en $AB$ con $AP = 6$ cm y $Q$ en $AC$ con $AQ = 8$ cm. ¿Es $PQ$ paralelo a $BC$ ?

Ver solución
a) Sí (0,4 = 0,4). b) No (0,6 ≠ 0,57).
a) $\dfrac{4}{10} = 0{,}4$ y $\dfrac{5{,}6}{14} = 0{,}4$ : iguales → por el recíproco de Tales, $MN \parallel BC$ . b) $\dfrac{6}{10} = 0{,}6$ y $\dfrac{8}{14} \approx 0{,}571$ : distintas → $PQ$ no es paralelo a $BC$ .
4. Difícil
Tres rectas paralelas cortan a dos secantes. En una determinan $AB = x$ y $BC = 9$ cm; en la otra, $A'B' = 4$ cm y $B'C' = x$ . Calcula $x$ .

Ver solución
x = 6 cm
$\dfrac{x}{9} = \dfrac{4}{x} \;\Rightarrow\; x^2 = 36 \;\Rightarrow\; x = \pm 6$ . Como es una longitud, $x = 6$ cm ( $-6$ se descarta).
5. Difícil
En un tramo recto de Madrid Río, tres pasarelas paralelas cruzan el río. Por la orilla izquierda, la distancia entre la primera y la segunda pasarela es 120 m, y entre la segunda y la tercera, 180 m. Por la orilla derecha, que no es paralela a la izquierda, hay 350 m de la primera a la tercera pasarela. ¿Qué distancias hay entre pasarelas por la orilla derecha?

Ver solución
140 m y 210 m.
Llamamos $x$ a la distancia de la primera a la segunda por la orilla derecha; la otra será $350 - x$ . $\frac{x}{350 - x} = \frac{120}{180} \;\Rightarrow\; 180x = 120(350 - x) \;\Rightarrow\; 300x = 42\,000 \;\Rightarrow\; x = 140\ \text{m}$ La otra distancia es $350 - 140 = 210$ m. Comprobación: $\dfrac{140}{210} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{120}{180}$ . ✔

Para practicar más

1. Fácil
Tres rectas paralelas cortan a dos secantes. En una determinan $AB = x$ y $BC = 12$ cm; en la otra, $A'B' = 5$ cm y $B'C' = 8$ cm. Calcula $x$ .

Ver solución
x = 7,5 cm
$\dfrac{x}{12} = \dfrac{5}{8} \;\Rightarrow\; x = \dfrac{12 \cdot 5}{8} = 7{,}5$ cm.
2. Media
Tres rectas paralelas cortan a dos secantes. En una determinan $AB = x + 2$ y $BC = 10$ (en cm); en la otra, $A'B' = x - 1$ y $B'C' = 4$ (en cm). Calcula $x$ , $AB$ y $A'B'$ .

Ver solución
x = 3; AB = 5 cm, A'B' = 2 cm.
$\dfrac{x + 2}{10} = \dfrac{x - 1}{4} \;\Rightarrow\; 4(x + 2) = 10(x - 1) \;\Rightarrow\; 4x + 8 = 10x - 10 \;\Rightarrow\; 18 = 6x \;\Rightarrow\; x = 3$ . $AB = 5$ cm; $A'B' = 2$ cm. Comprobación: $\dfrac{5}{10} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ . ✔
3. Media
Una pancarta triangular $ABC$ tiene $AB = 1{,}2$ m y $AC = 1{,}5$ m. Se cose una cinta desde el punto $M$ de $AB$ , con $AM = 0{,}3$ m, hasta el punto $N$ de $AC$ , con $AN = 0{,}4$ m. a) ¿Es la cinta paralela a $BC$ ? b) ¿Dónde habría que coser el extremo $N$ para que lo fuera?

Ver solución
a) No (0,25 ≠ 0,27). b) A 0,375 m de A (37,5 cm).
a) $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{0{,}3}{1{,}2} = 0{,}25$ y $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{0{,}4}{1{,}5} \approx 0{,}267$ . Son distintas: no es paralela. b) Hace falta $\dfrac{AN}{1{,}5} = 0{,}25 \;\Rightarrow\; AN = 0{,}375$ m $= 37{,}5$ cm.
4. Difícil
Tres rectas paralelas cortan a dos secantes. En una determinan $AB = x$ y $BC = x + 6$ ; en la otra, $A'B' = 4$ y $B'C' = x + 2$ (todo en cm). Calcula $x$ y los cuatro segmentos.

Ver solución
x = 6; AB = 6, BC = 12, A'B' = 4, B'C' = 8 (cm).
$\dfrac{x}{x + 6} = \dfrac{4}{x + 2} \;\Rightarrow\; x(x + 2) = 4(x + 6) \;\Rightarrow\; x^2 + 2x = 4x + 24 \;\Rightarrow\; x^2 - 2x - 24 = 0$ $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \dfrac{2 \pm 10}{2} \;\Rightarrow\; x_1 = 6,\ x_2 = -4$ (se descarta: $AB$ sería negativo). $AB = 6$ , $BC = 12$ , $A'B' = 4$ , $B'C' = 8$ cm. Comprobación: $\dfrac{6}{12} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ . ✔
5. Difícil
En un huerto urbano de Lavapiés, tres vallas paralelas cruzan dos caminos rectos que no son paralelos. Por el primer camino, los dos bancales que quedan entre las vallas miden 6 m y 9 m. Por el segundo camino, los dos bancales juntos miden 20 m. ¿Cuánto mide cada bancal por el segundo camino?

Ver solución
8 m y 12 m.
Sea $x$ el primer bancal por el segundo camino; el otro mide $20 - x$ . $\frac{x}{20 - x} = \frac{6}{9} \;\Rightarrow\; 9x = 6(20 - x) \;\Rightarrow\; 15x = 120 \;\Rightarrow\; x = 8\ \text{m}$ El otro mide $20 - 8 = 12$ m. Comprobación: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}$ . ✔