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Matemáticas 3.º ESO · Posiciones relativas de rectas y circunferencias

Punto y recta respecto a una circunferencia

Objetivo: Al terminar, sabrás clasificar la posición de un punto (interior, sobre, exterior) y de una recta (exterior, tangente, secante) respecto a una circunferencia comparando su distancia al centro con el radio.

Explicación

Punto y circunferencia

Llamamos $r$ al radio de la circunferencia y $d$ a la distancia del punto $P$ al centro $O$ .

Comparación	Posición del punto
$d < r$	Interior (dentro del círculo)
$d = r$	Sobre la circunferencia
$d > r$	Exterior

Recta y circunferencia

Ahora $d$ es la distancia del centro $O$ a la recta, medida por la perpendicular.

Comparación	Posición de la recta	Puntos comunes
$d > r$	Exterior	Ninguno
$d = r$	Tangente	Uno (el punto de tangencia)
$d < r$	Secante	Dos

Para clasificar, solo hay que comparar $d$ con el radio. Cuidado si te dan el diámetro: el radio es la mitad.

Puntos clave

Se compara la distancia al centro, $d$ , con el radio, $r$ .
Punto: interior si $d < r$ , sobre la circunferencia si $d = r$ , exterior si $d > r$ .
Recta: exterior si $d > r$ (0 puntos comunes), tangente si $d = r$ (1), secante si $d < r$ (2).
La distancia de un punto a una recta se mide por la perpendicular.

Errores frecuentes

ErrorComparar con el diámetro en lugar de con el radio.
Cómo corregirloSi te dan el diámetro, divídelo entre 2 antes de comparar.
ErrorMedir la distancia del centro a la recta en una dirección cualquiera.
Cómo corregirloTraza la perpendicular desde el centro a la recta con la escuadra: esa es la distancia.
ErrorDecir que una recta tangente «corta» a la circunferencia en dos puntos muy juntos.
Cómo corregirloLa tangente solo tiene un punto en común con la circunferencia.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Clasificar puntos y rectas numérico
Una circunferencia tiene centro $O$ y radio 5 cm. a) Clasifica los puntos $A$ , $B$ y $C$ , que están a 3 cm, 5 cm y 7 cm de $O$ . b) Clasifica las rectas $s$ , $t$ y $u$ , que están a 6 cm, 5 cm y 2 cm de $O$ .

Resolución
a) $A$ : $3 < 5$ → interior. $B$ : $5 = 5$ → sobre la circunferencia. $C$ : $7 > 5$ → exterior. b) $s$ : $6 > 5$ → exterior (0 puntos comunes). $t$ : $5 = 5$ → tangente (1 punto). $u$ : $2 < 5$ → secante (2 puntos).
Ejemplo 2. La cobertura de una antena situación real
Una antena da cobertura hasta 10 km a su alrededor. a) Tres pueblos están a 7 km, 10 km y 12 km de la antena. ¿Cuáles tienen cobertura? b) Una carretera recta pasa a 8 km de la antena y otra a 15 km. ¿Atraviesan la zona de cobertura?

Resolución
La zona de cobertura es el círculo de centro la antena y radio 10 km. a) A 7 km: interior → sí. A 10 km: justo en el borde → sí, en el límite. A 12 km: exterior → no. b) La de 8 km: $8 < 10$ → recta secante: atraviesa la zona (entra y sale). La de 15 km: $15 > 10$ → exterior: no tiene cobertura en ningún punto.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una circunferencia tiene radio 6 cm. Indica la posición de los puntos que están a estas distancias del centro: a) 4 cm; b) 6 cm; c) 9 cm; d) 0 cm.

Ver solución
a) Interior. b) Sobre la circunferencia. c) Exterior. d) Interior (es el centro).
a) $4 < 6$ → interior. b) $6 = 6$ → sobre la circunferencia. c) $9 > 6$ → exterior. d) $0 < 6$ → interior: es el propio centro.
2. Fácil
Una circunferencia tiene radio 3,5 cm. ¿Cómo es una recta que está a 2 cm del centro? ¿Y una a 3,5 cm? ¿Y una a 5 cm? ¿Cuántos puntos comunes tiene cada una con la circunferencia?

Ver solución
Secante (2 puntos); tangente (1); exterior (0).
$2 < 3{,}5$ → secante, 2 puntos. $3{,}5 = 3{,}5$ → tangente, 1 punto. $5 > 3{,}5$ → exterior, ningún punto.
3. Media
Dibuja una circunferencia de radio 3 cm y traza una recta exterior, una tangente y una secante. Para cada una, traza con la escuadra la perpendicular desde el centro y mide la distancia.

Ver solución
Exterior: más de 3 cm; tangente: 3 cm; secante: menos de 3 cm.
La recta exterior está a más de 3 cm del centro; la tangente, exactamente a 3 cm (la perpendicular llega justo al punto de tangencia); la secante, a menos de 3 cm.
4. Media
Un aspersor riega un círculo de 6 m de radio en un jardín. a) Hay rosales a 4,5 m, a 6 m y a 7,2 m del aspersor. ¿Cuáles se riegan? b) Un camino recto pasa a 6 m del aspersor. ¿Cuántos puntos del camino se mojan?

Ver solución
a) Los de 4,5 m y 6 m (este, justo en el borde). b) Uno solo: el camino es tangente.
a) $4{,}5 < 6$ → se riega. $6 = 6$ → en el borde, se riega justo. $7{,}2 > 6$ → no se riega. b) La distancia del centro al camino es igual al radio → el camino es tangente: solo se moja un punto.

Para practicar más

1. Fácil
Una circunferencia tiene 10 cm de diámetro. Clasifica los puntos que están a 4 cm, 5,5 cm y 5 cm del centro.

Ver solución
Interior, exterior y sobre la circunferencia.
Radio: $10 : 2 = 5$ cm. $4 < 5$ → interior. $5{,}5 > 5$ → exterior. $5 = 5$ → sobre la circunferencia.
2. Fácil
Una circunferencia tiene 8 cm de diámetro. Clasifica las rectas que están a 4,5 cm, 4 cm y 1 cm del centro.

Ver solución
Exterior, tangente y secante.
Radio: $8 : 2 = 4$ cm. $4{,}5 > 4$ → exterior. $4 = 4$ → tangente. $1 < 4$ → secante.
3. Media
Una recta $s$ está a 7 cm del centro $O$ de una circunferencia. ¿Qué radio tiene que tener la circunferencia para que $s$ sea tangente? ¿Y para que sea secante? ¿Y exterior?

Ver solución
Tangente: 7 cm. Secante: más de 7 cm. Exterior: menos de 7 cm.
Tangente: $r = 7$ cm. Secante: radio mayor que la distancia, más de 7 cm. Exterior: radio menor que 7 cm.
4. Media
Una glorieta circular tiene 24 m de radio. Hay una farola a 20 m del centro, una parada de autobús a 27 m, una calle recta que pasa a 32 m del centro y un carril bici recto que pasa a 15 m. a) ¿La farola y la parada están dentro o fuera de la glorieta? b) ¿La calle y el carril bici la atraviesan?

Ver solución
a) Farola dentro; parada fuera. b) La calle no (exterior); el carril bici sí (secante).
a) Farola: $20 < 24$ → dentro. Parada: $27 > 24$ → fuera. b) Calle: $32 > 24$ → exterior, no la atraviesa. Carril bici: $15 < 24$ → secante, la atraviesa.