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Matemáticas 3.º ESO · Pitágoras en el espacio

Recuerda: la diagonal del ortoedro y del cubo

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la diagonal de un ortoedro y de un cubo aplicando el teorema de Pitágoras dos veces y usarla para saber si un objeto cabe en una caja.

Recuerda

Pitágoras en el espacio

Dentro de los cuerpos geométricos también hay triángulos rectángulos: una arista vertical es perpendicular a todas las rectas del suelo que pasan por su pie. Por eso el teorema de Pitágoras sirve también para calcular distancias en el espacio.

La diagonal de un ortoedro

Un ortoedro (una caja) tiene dimensiones $a$ (largo), $b$ (ancho) y $c$ (alto). Su diagonal $D$ une dos vértices opuestos atravesando el interior. Se calcula aplicando Pitágoras dos veces:

Diagonal de la base (triángulo rectángulo en el suelo de la caja, catetos $a$ y $b$ ): $d^2 = a^2 + b^2$
Diagonal del ortoedro (triángulo rectángulo vertical, catetos $d$ y $c$ ): $D^2 = d^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$

$\boxed{D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Cubo de arista $a$ : diagonal de una cara $d = a\sqrt{2}$ ; diagonal del cubo $D = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$ .

La diagonal es el segmento más largo que cabe dentro de la caja: sirve para saber si un objeto alargado (un paraguas, una barra) cabe dentro.

Puntos clave

Diagonal del ortoedro: $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ .
Se obtiene aplicando Pitágoras dos veces: primero en la base y luego en vertical.
Cubo: diagonal de una cara $a\sqrt{2}$ ; diagonal del cubo $a\sqrt{3}$ .
La diagonal es el objeto recto más largo que cabe en una caja.

Errores frecuentes

ErrorConfundir la diagonal de una cara con la diagonal del ortoedro.
Cómo corregirloLa de una cara usa dos dimensiones; la del ortoedro usa las tres: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ .
ErrorSumar $a + b + c$ y hacer la raíz.
Cómo corregirloHay que elevar al cuadrado cada dimensión antes de sumar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Cabe el paraguas en la caja de zapatos? situación real
Una caja de zapatos mide 30 cm × 20 cm × 12 cm. ¿Cabe dentro, recto, un paraguas plegable de 37 cm?

Resolución
1. Diagonal de la base: $d = \sqrt{30^2 + 20^2} = \sqrt{1300} \approx 36{,}06$ cm. ¡Tumbado en el fondo no cabe!
2. Diagonal de la caja: $D = \sqrt{30^2 + 20^2 + 12^2} = \sqrt{900 + 400 + 144} = \sqrt{1444} = 38$ cm.
Como $37 < 38$ , sí cabe, pero solo colocado en diagonal, de una esquina de abajo a la esquina opuesta de arriba.
Ejemplo 2. Las diagonales de un cubo numérico
Un cubo tiene 10 cm de arista. Calcula la diagonal de una de sus caras y la diagonal del cubo, en forma exacta y aproximada.

Resolución
Diagonal de una cara: $d = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$ cm. Diagonal del cubo: $D = \sqrt{10^2 + 10^2 + 10^2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ cm.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula la diagonal de un ortoedro de dimensiones 12 cm, 4 cm y 3 cm.

Ver solución
13 cm.
$D = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13$ cm.
2. Fácil
Calcula la diagonal de un cubo de 5 cm de arista. Da el resultado exacto y aproximado a las centésimas.

Ver solución
5√3 ≈ 8,66 cm.
$D = \sqrt{3 \cdot 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$ cm.
3. Media
Un aula mide 8 m de largo, 6 m de ancho y 3 m de alto. ¿Qué longitud tendría una cuerda tensada desde una esquina del suelo hasta la esquina opuesta del techo?

Ver solución
Unos 10,44 m.
$D = \sqrt{8^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 36 + 9} = \sqrt{109} \approx 10{,}44$ m.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula la diagonal de un ortoedro de 2 cm × 3 cm × 6 cm.

Ver solución
7 cm.
$D = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ cm.
2. Media
La diagonal de un cubo mide 12 cm. ¿Cuánto mide su arista? Da el resultado exacto y aproximado.

Ver solución
4√3 ≈ 6,93 cm.
$a\sqrt{3} = 12 \Rightarrow a = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm. (O bien: $3a^2 = 144 \Rightarrow a^2 = 48 \Rightarrow a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ .)
3. Media
Una maleta de cabina mide 55 cm × 40 cm × 20 cm. ¿Cabe dentro, recto, un paraguas de 70 cm? ¿Y un bastón de 72 cm?

Ver solución
El paraguas sí (la diagonal mide unos 70,9 cm); el bastón no.
$D = \sqrt{55^2 + 40^2 + 20^2} = \sqrt{3025 + 1600 + 400} = \sqrt{5025} \approx 70{,}9$ cm. El paraguas de 70 cm cabe (justo, en diagonal); el bastón de 72 cm, no.