Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

Matemáticas 3.º ESO · Función cuadrática: vértice, eje y cortes con los ejes

Representar una función cuadrática

Objetivo: Al terminar, sabrás representar la gráfica de una función cuadrática y = ax² + bx + c a partir de su vértice, su eje, sus cortes con los ejes y una tabla de puntos simétricos.

Explicación

Pasos para representar $y = ax^2 + bx + c$

Orientación: si $a > 0$ , se abre hacia arriba; si $a < 0$ , hacia abajo.
Vértice $V(x_v, y_v)$ , con $x_v = \dfrac{-b}{2a}$ , y eje de simetría $x = x_v$ (dibújalo con línea discontinua).
Cortes con los ejes: con el eje Y, $(0, c)$ ; con el eje X, las soluciones de $ax^2 + bx + c = 0$ , si las hay.
Punto simétrico del corte con el eje Y respecto al eje: el punto $(2x_v, c)$ , que está a la misma altura.
Tabla de valores con $x$ simétricos alrededor de $x_v$ si faltan puntos (sobre todo cuando no hay cortes con el eje X).
Une los puntos con una curva suave, redondeada en el vértice.

Puntos simétricos

Dos puntos de la parábola a la misma altura están a la misma distancia del eje. Por eso, para cada punto que calcules a un lado del eje tienes gratis otro al otro lado: si el eje es $x = 1$ y la parábola pasa por $(-1, 5)$ , también pasa por $(3, 5)$ .

Si los cortes con el eje X salen con raíces, usa sus valores aproximados para dibujarlos.

Puntos clave

Orden: orientación, vértice y eje, cortes, simétricos, tabla y curva.
El simétrico de $(0, c)$ respecto al eje $x = x_v$ es $(2x_v, c)$ .
Cada punto calculado da otro simétrico respecto al eje.
Sin cortes con el eje X, la tabla alrededor del vértice es imprescindible.
La parábola se dibuja con curva suave, nunca en pico.

Errores frecuentes

ErrorDibujar solo el vértice y los dos cortes con el eje X: la curva queda poco precisa.
Cómo corregirloAñade el corte con el eje Y, su simétrico y algún punto más de la tabla.
ErrorCalcular mal el simétrico de un punto: con eje $x = 1$ , tomar el simétrico de $(0, -3)$ como $(-2, -3)$ .
Cómo corregirloMide la distancia al eje: $0$ está 1 unidad a la izquierda de $x = 1$ ; su simétrico está 1 unidad a la derecha, en $x = 2$ .
ErrorHacer la tabla con $x = -2, -1, 0, 1, 2$ aunque el vértice esté lejos de $x = 0$ .
Cómo corregirloCentra la tabla en $x_v$ : $x_v - 2$ , $x_v - 1$ , $x_v$ , $x_v + 1$ , $x_v + 2$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Representar con todos sus elementos numérico y gráfico
Representa la función $y = x^2 - 2x - 3$ .

Resolución
1. $a = 1 > 0$ : se abre hacia arriba.
2. $x_v = \dfrac{2}{2} = 1$ ; $y_v = 1 - 2 - 3 = -4$ . $V(1, -4)$ ; eje $x = 1$ .
3. Eje Y: $(0, -3)$ . Eje X: $x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2 \pm 4}{2}$ : $(3, 0)$ y $(-1, 0)$ .
4. Simétrico de $(0, -3)$ : $(2, -3)$ .
5. Dos puntos más: $x = -2 \Rightarrow y = 4 + 4 - 3 = 5$ ; su simétrico, $(4, 5)$ .
$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$

$y$ $5$ $0$ $-3$ $-4$ $-3$ $0$ $5$
1. Unimos con una curva suave.
Ejemplo 2. Cortes con el eje X con raíces numérico y gráfico
Representa la función $y = -x^2 + 4x - 1$ .

Resolución
1. $a = -1 < 0$ : se abre hacia abajo.
2. $x_v = \dfrac{-4}{-2} = 2$ ; $y_v = -4 + 8 - 1 = 3$ . $V(2, 3)$ ; eje $x = 2$ .
3. Eje Y: $(0, -1)$ . Eje X: $-x^2 + 4x - 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0$ : $x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$ Aproximadamente $x \approx 0{,}27$ y $x \approx 3{,}73$ .
4. Simétrico de $(0, -1)$ : $(4, -1)$ .
5. $x = 1 \Rightarrow y = 2$ ; su simétrico, $(3, 2)$ .
$x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$

$y$ $-1$ $2$ $3$ $2$ $-1$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$-1$	$2$	$3$	$2$	$-1$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Representa $y = x^2 + 4x$ indicando el vértice, el eje y los cortes con los ejes.

Ver solución
V(−2, −4); eje x = −2; cortes (0, 0) y (−4, 0).
$a > 0$ . $x_v = \dfrac{-4}{2} = -2$ ; $y_v = 4 - 8 = -4$ . Eje $x = -2$ . Cortes: $x^2 + 4x = x(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = -4$ : $(0, 0)$ y $(-4, 0)$ (el corte con el eje Y es el origen). Tabla: $x = -4, -3, -2, -1, 0 \to y = 0, -3, -4, -3, 0$ .
2. Media
Representa $y = -x^2 - 6x - 5$ .

Ver solución
V(−3, 4); cortes (−1, 0), (−5, 0) y (0, −5); simétrico (−6, −5).
$a < 0$ : hacia abajo. $x_v = \dfrac{6}{-2} = -3$ ; $y_v = -9 + 18 - 5 = 4$ . $V(-3, 4)$ . Eje X: $x^2 + 6x + 5 = 0 \Rightarrow x = -1,\ x = -5$ . Eje Y: $(0, -5)$ ; simétrico $(-6, -5)$ . Tabla: $x = -5, -4, -3, -2, -1 \to y = 0, 3, 4, 3, 0$ .
3. Media
Representa $y = x^2 - 2x + 3$ . ¿Corta al eje X?

Ver solución
V(1, 2); no corta al eje X; pasa por (0, 3), (2, 3), (−1, 6) y (3, 6).
$x_v = 1$ ; $y_v = 1 - 2 + 3 = 2$ . $V(1, 2)$ , abierta hacia arriba → no corta al eje X ( $b^2 - 4ac = 4 - 12 < 0$ ). Eje Y: $(0, 3)$ ; simétrico $(2, 3)$ . Más puntos: $x = -1 \Rightarrow y = 6$ ; simétrico $(3, 6)$ .
4. Difícil
Representa $y = 0{,}5x^2 - x - 4$ .

Ver solución
V(1; −4,5); cortes (−2, 0), (4, 0) y (0, −4); simétrico (2, −4).
$x_v = \dfrac{1}{2 \cdot 0{,}5} = 1$ ; $y_v = 0{,}5 - 1 - 4 = -4{,}5$ . $V(1;\ -4{,}5)$ . Eje X: multiplicando por 2, $x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2 \pm 6}{2}$ : $x = 4$ , $x = -2$ . Eje Y: $(0, -4)$ ; simétrico $(2, -4)$ . Más abierta que $y = x^2$ porque $a = 0{,}5$ .

Para practicar más

1. Fácil
Representa $y = x^2 - 8x + 12$ .

Ver solución
V(4, −4); cortes (2, 0), (6, 0) y (0, 12); simétrico (8, 12).
$x_v = 4$ ; $y_v = 16 - 32 + 12 = -4$ . Eje X: $x = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \dfrac{8 \pm 4}{2}$ : $x = 6$ , $x = 2$ . Eje Y: $(0, 12)$ ; simétrico $(8, 12)$ . Tabla: $x = 2, 3, 4, 5, 6 \to y = 0, -3, -4, -3, 0$ .
2. Fácil
Representa $y = -x^2 + 4x$ . ¿Cuál es su valor máximo?

Ver solución
V(2, 4), máximo 4; cortes (0, 0) y (4, 0).
$a < 0$ . $x_v = 2$ ; $y_v = -4 + 8 = 4$ : el máximo es 4, en $x = 2$ . Cortes: $-x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = 4$ . Tabla: $x = 0, 1, 2, 3, 4 \to y = 0, 3, 4, 3, 0$ .
3. Media
Representa $y = x^2 + 2x + 2$ haciendo una tabla alrededor del vértice.

Ver solución
V(−1, 1); no corta al eje X; puntos (0, 2), (−2, 2), (1, 5), (−3, 5).
$x_v = -1$ ; $y_v = 1 - 2 + 2 = 1$ . Se abre hacia arriba y el vértice está por encima del eje X: no lo corta. Tabla: $x = -3, -2, -1, 0, 1 \to y = 5, 2, 1, 2, 5$ .
4. Difícil
Representa $y = -2x^2 + 12x - 10$ indicando todos sus elementos.

Ver solución
V(3, 8); eje x = 3; cortes (1, 0), (5, 0) y (0, −10); simétrico (6, −10).
$a = -2 < 0$ : hacia abajo y más cerrada que $y = x^2$ . $x_v = \dfrac{-12}{-4} = 3$ ; $y_v = -18 + 36 - 10 = 8$ . $V(3, 8)$ . Eje X: dividiendo entre $-2$ , $x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow x = 1,\ x = 5$ . Eje Y: $(0, -10)$ ; simétrico $(6, -10)$ . Tabla: $x = 1, 2, 3, 4, 5 \to y = 0, 6, 8, 6, 0$ .