Estudio de la función cuadrática: crecimiento, máximo o mínimo, recorrido y signo

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorDar el recorrido con la coordenada $x$ del vértice: «recorrido $[1, +\infty)$» cuando el vértice es $(1, -9)$.

  Cómo corregirloEl recorrido son los valores que toma $y$: se mira la altura del vértice, $y_v = -9$, y queda $[-9, +\infty)$.

• ErrorDecir que la función crece en $(-9, +\infty)$ usando la $y$ del vértice.

  Cómo corregirloLos intervalos de crecimiento y decrecimiento se miran recorriendo el eje X de izquierda a derecha: se cortan en $x_v$.

• ErrorPensar que una parábola con $a > 0$ es siempre positiva.

  Cómo corregirloSolo es siempre positiva si su vértice está por encima del eje X. Si el vértice está por debajo, la función es negativa entre los dos cortes.

• ErrorCerrar con corchete el extremo infinito: $[-9, +\infty]$.

  Cómo corregirloEl infinito no es un número: siempre va con paréntesis, $[-9, +\infty)$.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Estudio completo a partir de la expresión numérico (con la expresión)

   Estudia la función $f(x) = x^2 - 2x - 8$: vértice, crecimiento y decrecimiento, máximo o mínimo, recorrido y signo.

   Resolución

   Vértice: $a = 1$, $b = -2$, $c = -8$. $$x_v = \dfrac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1 \qquad y_v = f(1) = 1 - 2 - 8 = -9 \qquad V(1, -9)$$

   Cortes con el eje X: $x^2 - 2x - 8 = 0 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2}$, es decir, $x_1 = -2$ y $x_2 = 4$.

   Como $a = 1 > 0$, la parábola se abre hacia arriba:

   • Decrece en $(-\infty, 1)$ y crece en $(1, +\infty)$.
   • Tiene un mínimo en $V(1, -9)$.
   • Recorrido: $[-9, +\infty)$.
   • Signo: $f(x) > 0$ en $(-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$; $f(x) < 0$ en $(-2, 4)$; $f(x) = 0$ en $x = -2$ y $x = 4$.

   En la gráfica se ve todo: el punto más bajo es el vértice y la curva está por debajo del eje X entre $-2$ y $4$.

2. Ejemplo 2. Leer las propiedades en la gráfica gráfico

   La gráfica corresponde a la función $g(x) = -x^2 + 6x - 5$. a) Sin hacer cálculos, lee en ella el vértice, los cortes con el eje X, la monotonía, el extremo, el recorrido y el signo. b) Comprueba el vértice y los cortes con la expresión.

   Resolución

   a) Lectura de la gráfica. La parábola se abre hacia abajo.

   • Vértice (punto más alto): $V(3, 4)$.
   • Corta al eje X en $x = 1$ y $x = 5$.
   • Crece en $(-\infty, 3)$ y decrece en $(3, +\infty)$.
   • Máximo en $(3, 4)$.
   • Recorrido: $(-\infty, 4]$.
   • Signo: $g(x) > 0$ en $(1, 5)$ (curva por encima del eje X) y $g(x) < 0$ en $(-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$.

   b) Comprobación. $a = -1 < 0$ (se abre hacia abajo ✔). $$x_v = \dfrac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3 \qquad g(3) = -9 + 18 - 5 = 4$$ $$-x^2 + 6x - 5 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 6x + 5 = 0 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \dfrac{6 \pm 4}{2} \;\Rightarrow\; x = 1,\ x = 5 \ ✔$$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Para cada función, calcula el vértice, di si tiene máximo o mínimo e indica dónde crece y dónde decrece: a) $y = x^2 - 6x + 2$ b) $y = -2x^2 + 8x$ c) $y = 3x^2 + 12x + 7$

   Ver solución

   a) V(3, −7), mínimo; decrece en (−∞, 3), crece en (3, +∞). b) V(2, 8), máximo; crece en (−∞, 2), decrece en (2, +∞). c) V(−2, −5), mínimo; decrece en (−∞, −2), crece en (−2, +∞).

   a) $x_v = \dfrac{6}{2} = 3$; $y_v = 9 - 18 + 2 = -7$. $a = 1 > 0$ → mínimo en $(3, -7)$; decrece en $(-\infty, 3)$ y crece en $(3, +\infty)$. b) $x_v = \dfrac{-8}{2 \cdot (-2)} = 2$; $y_v = -8 + 16 = 8$. $a = -2 < 0$ → máximo en $(2, 8)$; crece en $(-\infty, 2)$ y decrece en $(2, +\infty)$. c) $x_v = \dfrac{-12}{2 \cdot 3} = -2$; $y_v = 12 - 24 + 7 = -5$. $a = 3 > 0$ → mínimo en $(-2, -5)$; decrece en $(-\infty, -2)$ y crece en $(-2, +\infty)$.

2. 2. Fácil

   Halla el recorrido de cada función: a) $f(x) = x^2 + 4x + 1$ b) $g(x) = -x^2 + 2x + 3$

   Ver solución

   a) [−3, +∞). b) (−∞, 4].

   a) $x_v = \dfrac{-4}{2} = -2$; $f(-2) = 4 - 8 + 1 = -3$. Como $a > 0$, el vértice es el punto más bajo: recorrido $[-3, +\infty)$. b) $x_v = \dfrac{-2}{-2} = 1$; $g(1) = -1 + 2 + 3 = 4$. Como $a < 0$, el vértice es el punto más alto: recorrido $(-\infty, 4]$.

3. 3. Media

   Observa la gráfica de la función $h$. Indica: a) el vértice y los cortes con el eje X; b) los intervalos de crecimiento y decrecimiento; c) el máximo o mínimo; d) el recorrido; e) dónde $h(x) > 0$ y dónde $h(x) < 0$.

   Ver solución

   a) V(−1, 9); corta en x = −4 y x = 2. b) Crece en (−∞, −1), decrece en (−1, +∞). c) Máximo en (−1, 9). d) (−∞, 9]. e) h(x) > 0 en (−4, 2); h(x) < 0 en (−∞, −4) ∪ (2, +∞).

   a) El punto más alto es $V(-1, 9)$; la curva corta el eje X en $x = -4$ y $x = 2$. b) Subiendo hasta $x = -1$ y bajando después: crece en $(-\infty, -1)$ y decrece en $(-1, +\infty)$. c) Máximo en $(-1, 9)$. d) La función toma todos los valores hasta 9: $(-\infty, 9]$. e) Por encima del eje X entre los cortes: $h(x) > 0$ en $(-4, 2)$; por debajo fuera de ellos: $h(x) < 0$ en $(-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$. (Es la función $h(x) = -x^2 - 2x + 8$.)

4. 4. Media

   Estudia el signo de cada función (calcula antes sus cortes con el eje X y piensa hacia dónde se abre): a) $f(x) = x^2 - 9$ b) $g(x) = -x^2 + 4x - 4$ c) $h(x) = x^2 + x + 3$

   Ver solución

   a) f > 0 en (−∞, −3) ∪ (3, +∞); f < 0 en (−3, 3). b) g < 0 para todo x ≠ 2; g(2) = 0. c) h > 0 para todo x.

   a) $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$. Con $a = 1 > 0$: $f(x) < 0$ en $(-3, 3)$ y $f(x) > 0$ en $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$. b) $-x^2 + 4x - 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (un solo corte: el vértice está sobre el eje X). Con $a = -1 < 0$: $g(x) < 0$ para todo $x \neq 2$ y $g(2) = 0$. Nunca es positiva. c) $x^2 + x + 3 = 0$: $\Delta = 1 - 12 = -11 < 0$, sin soluciones, así que no corta al eje X. Como $a > 0$, la parábola está entera por encima: $h(x) > 0$ para todo $x$. (Su vértice es $\left(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{11}{4}\right)$, por encima del eje.)

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Calcula el vértice de cada parábola, di si es un máximo o un mínimo e indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento: a) $y = x^2 + 10x + 20$ b) $y = -3x^2 + 12x - 5$

   Ver solución

   a) V(−5, −5), mínimo; decrece en (−∞, −5), crece en (−5, +∞). b) V(2, 7), máximo; crece en (−∞, 2), decrece en (2, +∞).

   a) $x_v = \dfrac{-10}{2} = -5$; $y_v = 25 - 50 + 20 = -5$. $a > 0$ → mínimo en $(-5, -5)$; decrece en $(-\infty, -5)$ y crece en $(-5, +\infty)$. b) $x_v = \dfrac{-12}{2 \cdot (-3)} = 2$; $y_v = -12 + 24 - 5 = 7$. $a < 0$ → máximo en $(2, 7)$; crece en $(-\infty, 2)$ y decrece en $(2, +\infty)$.

2. 2. Media

   Estudia la función $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$: vértice, cortes con el eje X, monotonía, extremo, recorrido y signo.

   Ver solución

   V(2, −2); cortes x = 1 y x = 3; decrece en (−∞, 2), crece en (2, +∞); mínimo en (2, −2); recorrido [−2, +∞); f > 0 en (−∞, 1) ∪ (3, +∞), f < 0 en (1, 3).

   $x_v = \dfrac{8}{4} = 2$; $f(2) = 8 - 16 + 6 = -2$ → $V(2, -2)$. Cortes: $2x^2 - 8x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4 \pm 2}{2}$ → $x = 1$, $x = 3$. $a = 2 > 0$: decrece en $(-\infty, 2)$, crece en $(2, +\infty)$; mínimo en $(2, -2)$; recorrido $[-2, +\infty)$. Signo: $f(x) < 0$ en $(1, 3)$ y $f(x) > 0$ en $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

3. 3. Media

   A partir de la gráfica de la función $p$, indica el vértice, los cortes con el eje X, la monotonía, el extremo, el recorrido y el signo.

   Ver solución

   V(2, −8); cortes en x = −2 y x = 6; decrece en (−∞, 2), crece en (2, +∞); mínimo en (2, −8); recorrido [−8, +∞); p > 0 en (−∞, −2) ∪ (6, +∞), p < 0 en (−2, 6).

   Punto más bajo: $V(2, -8)$. Cortes con el eje X: $x = -2$ y $x = 6$. Decrece en $(-\infty, 2)$ y crece en $(2, +\infty)$; mínimo en $(2, -8)$; recorrido $[-8, +\infty)$. Por debajo del eje X entre los cortes: $p(x) < 0$ en $(-2, 6)$; $p(x) > 0$ en $(-\infty, -2) \cup (6, +\infty)$. (Es $p(x) = \tfrac{1}{2}x^2 - 2x - 6$.)

4. 4. Difícil

   Razona sin calcular la expresión: a) Una parábola se abre hacia abajo y su vértice es $(2, -3)$. ¿Cuántas veces corta al eje X? ¿Cuál es su recorrido? ¿Dónde es positiva? b) La parábola $y = x^2 + bx + c$ tiene el vértice en $(-3, -4)$. Halla $b$ y $c$ y estudia el signo de la función.

   Ver solución

   a) No corta al eje X; recorrido (−∞, −3]; nunca es positiva. b) b = 6, c = 5; y > 0 en (−∞, −5) ∪ (−1, +∞), y < 0 en (−5, −1).

   a) Si se abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto. Como está en $y = -3$, por debajo del eje X, toda la parábola queda por debajo: no corta al eje X, el recorrido es $(-\infty, -3]$ y la función es negativa para todo $x$. b) $x_v = \dfrac{-b}{2} = -3 \Rightarrow b = 6$. Como $V$ está en la parábola: $(-3)^2 + 6 \cdot (-3) + c = -4 \Rightarrow 9 - 18 + c = -4 \Rightarrow c = 5$. La función es $y = x^2 + 6x + 5$. Cortes: $x^2 + 6x + 5 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \dfrac{-6 \pm 4}{2}$ → $x = -5$, $x = -1$. Con $a > 0$: $y < 0$ en $(-5, -1)$ e $y > 0$ en $(-\infty, -5) \cup (-1, +\infty)$.