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Matemáticas 3.º ESO · Función cuadrática: vértice, eje y cortes con los ejes

Vértice, eje y cortes con los ejes de una parábola

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el vértice, el eje de simetría y los cortes con los ejes de una función cuadrática y = ax² + bx + c.

Explicación

La función cuadrática $y = ax^2 + bx + c$

Una función cuadrática es $y = ax^2 + bx + c$ , con $a \neq 0$ . Su gráfica es una parábola con la misma forma que $y = ax^2$ : se abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$ .

Vértice y eje de simetría

$x_v = \dfrac{-b}{2a} \qquad y_v = \text{valor de la función en } x_v$

El vértice es $V(x_v, y_v)$ .
El eje de simetría es la recta vertical $x = x_v$ .

Cortes con los ejes

Eje Y: se hace $x = 0$ y queda $y = c$ . Siempre hay un corte: el punto $(0, c)$ .
Eje X: se hace $y = 0$ y se resuelve la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0 \qquad x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Puede haber dos cortes, uno (el vértice está sobre el eje X) o ninguno (la ecuación no tiene solución).

Comprobación: los dos cortes con el eje X son simétricos respecto al eje, así que el punto medio entre ellos es $x_v$ .

Puntos clave

Vértice: $x_v = \dfrac{-b}{2a}$ ; $y_v$ se obtiene sustituyendo $x_v$ .
Eje de simetría: la recta $x = x_v$ .
Corte con el eje Y: $(0, c)$ .
Cortes con el eje X: soluciones de $ax^2 + bx + c = 0$ (dos, una o ninguna).
El punto medio de los cortes con el eje X es $x_v$ .

Errores frecuentes

ErrorOlvidar el signo menos en $x_v = \dfrac{-b}{2a}$ : con $b = -6$ , poner $x_v = -3$ .
Cómo corregirloSustituye $b$ con su signo entre paréntesis: $x_v = \dfrac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3$ .
ErrorCalcular $y_v$ mal por la prioridad de operaciones: $-x^2$ con $x = -2$ da $+4$ .
Cómo corregirlo $-x^2$ es «el opuesto del cuadrado»: $-(-2)^2 = -4$ .
ErrorConfundir los cortes: decir que la parábola corta al eje Y en las soluciones de la ecuación.
Cómo corregirloEje Y → $x = 0$ (sale $c$ ). Eje X → $y = 0$ (hay que resolver la ecuación).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una parábola con dos cortes numérico
Calcula el vértice, el eje de simetría y los cortes con los ejes de $y = x^2 - 6x + 8$ .

Resolución
$a = 1$ , $b = -6$ , $c = 8$ .

Vértice: $x_v = \dfrac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3$ ; $y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = -1$ . $V(3, -1)$ . Eje: $x = 3$ .

Eje Y: $(0, 8)$ .

Eje X: $x^2 - 6x + 8 = 0$ : $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \dfrac{6 \pm 2}{2} \;\Rightarrow\; x = 4,\; x = 2$ Cortes: $(2, 0)$ y $(4, 0)$ . Comprobación: el punto medio de 2 y 4 es 3 $= x_v$ ✔.
Ejemplo 2. Una parábola abierta hacia abajo numérico
Calcula el vértice y los cortes con los ejes de $y = -x^2 - 4x + 5$ . ¿El vértice es un máximo o un mínimo?

Resolución
$a = -1$ , $b = -4$ , $c = 5$ .

Vértice: $x_v = \dfrac{-(-4)}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{4}{-2} = -2$ ; $y_v = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$ . $V(-2, 9)$ ; como $a < 0$ , es un máximo.

Eje Y: $(0, 5)$ .

Eje X: $-x^2 - 4x + 5 = 0$ ; multiplicando por $-1$ , $x^2 + 4x - 5 = 0$ : $x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \dfrac{-4 \pm 6}{2} \;\Rightarrow\; x = 1,\; x = -5$ Cortes: $(1, 0)$ y $(-5, 0)$ . Punto medio: $-2$ ✔.
Ejemplo 3. Una parábola que no corta al eje X numérico y razonado
Calcula el vértice y los cortes con los ejes de $y = 2x^2 - 4x + 5$ .

Resolución
Vértice: $x_v = \dfrac{4}{4} = 1$ ; $y_v = 2 - 4 + 5 = 3$ . $V(1, 3)$ .

Eje Y: $(0, 5)$ .

Eje X: $2x^2 - 4x + 5 = 0$ : $b^2 - 4ac = 16 - 40 = -24 < 0$ . No tiene solución: no corta al eje X.

Tiene sentido: se abre hacia arriba ( $a > 0$ ) y su punto más bajo, el vértice, está por encima del eje X.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula el vértice de cada parábola: a) $y = x^2 - 8x + 10$ b) $y = -x^2 + 6x$ c) $y = 2x^2 + 4x - 1$ d) $y = x^2 - 5$ e) $y = -3x^2 + 6x + 2$

Ver solución
a) (4, −6). b) (3, 9). c) (−1, −3). d) (0, −5). e) (1, 5).
a) $x_v = \dfrac{8}{2} = 4$ ; $y_v = 16 - 32 + 10 = -6$ . b) $x_v = \dfrac{-6}{-2} = 3$ ; $y_v = -9 + 18 = 9$ . c) $x_v = \dfrac{-4}{4} = -1$ ; $y_v = 2 - 4 - 1 = -3$ . d) $b = 0 \Rightarrow x_v = 0$ ; $y_v = -5$ . e) $x_v = \dfrac{-6}{-6} = 1$ ; $y_v = -3 + 6 + 2 = 5$ .
2. Fácil
Calcula el vértice, el eje y los cortes con los ejes de $y = x^2 + 2x - 3$ .

Ver solución
V(−1, −4); eje x = −1; eje X en (1, 0) y (−3, 0); eje Y en (0, −3).
$x_v = \dfrac{-2}{2} = -1$ ; $y_v = 1 - 2 - 3 = -4$ . Eje $x = -1$ . Eje Y: $(0, -3)$ . Eje X: $x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \dfrac{-2 \pm 4}{2} \Rightarrow x = 1,\ x = -3$ . Punto medio $-1$ ✔.
3. Media
Calcula el vértice y los cortes con los ejes de $y = -x^2 + 6x - 9$ . ¿Qué tiene de especial?

Ver solución
V(3, 0); toca al eje X solo en (3, 0); eje Y en (0, −9).
$x_v = \dfrac{-6}{-2} = 3$ ; $y_v = -9 + 18 - 9 = 0$ . $V(3, 0)$ . Eje X: $-x^2 + 6x - 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$ (solución doble). Eje Y: $(0, -9)$ . Lo especial: el vértice está sobre el eje X, así que la parábola lo toca en un solo punto.
4. Difícil
Calcula el vértice y los cortes con los ejes de $y = 3x^2 - 6x + 1$ . Da los cortes con el eje X de forma exacta y aproximados a las centésimas.

Ver solución
V(1, −2); eje X en x = 1 ± √6/3 ≈ 1,82 y 0,18; eje Y en (0, 1).
$x_v = \dfrac{6}{6} = 1$ ; $y_v = 3 - 6 + 1 = -2$ . $V(1, -2)$ . Eje Y: $(0, 1)$ . Eje X: $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \dfrac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ . Aproximados: $x \approx 1{,}82$ y $x \approx 0{,}18$ . Punto medio: $1$ ✔.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula el vértice y el eje de simetría: a) $y = x^2 + 6x + 7$ b) $y = -2x^2 + 4x + 1$ c) $y = 0{,}5x^2 - 2x$

Ver solución
a) V(−3, −2), x = −3. b) V(1, 3), x = 1. c) V(2, −2), x = 2.
a) $x_v = \dfrac{-6}{2} = -3$ ; $y_v = 9 - 18 + 7 = -2$ . b) $x_v = \dfrac{-4}{-4} = 1$ ; $y_v = -2 + 4 + 1 = 3$ . c) $x_v = \dfrac{2}{1} = 2$ ; $y_v = 2 - 4 = -2$ .
2. Fácil
Calcula el vértice y los cortes con los ejes de $y = x^2 - 2x - 15$ .

Ver solución
V(1, −16); eje X en (5, 0) y (−3, 0); eje Y en (0, −15).
$x_v = 1$ ; $y_v = 1 - 2 - 15 = -16$ . Eje X: $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \dfrac{2 \pm 8}{2} \Rightarrow x = 5,\ x = -3$ . Eje Y: $(0, -15)$ .
3. Media
Calcula el vértice y los cortes con los ejes de $y = -x^2 + 4x + 5$ . ¿El vértice es máximo o mínimo?

Ver solución
V(2, 9), máximo; eje X en (5, 0) y (−1, 0); eje Y en (0, 5).
$x_v = \dfrac{-4}{-2} = 2$ ; $y_v = -4 + 8 + 5 = 9$ . Máximo ( $a < 0$ ). Eje X: $x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4 \pm 6}{2} \Rightarrow x = 5,\ x = -1$ . Eje Y: $(0, 5)$ .
4. Difícil
Calcula el vértice de $y = x^2 - 4x + 7$ y, sin resolver ninguna ecuación, razona cuántas veces corta al eje X. Después compruébalo.

Ver solución
V(2, 3); no corta al eje X.
$x_v = 2$ ; $y_v = 4 - 8 + 7 = 3$ . $V(2, 3)$ . Se abre hacia arriba ( $a = 1 > 0$ ) y su punto más bajo está a altura 3: no corta al eje X. Comprobación: $b^2 - 4ac = 16 - 28 = -12 < 0$ : la ecuación no tiene solución.