Traslaciones de la parábola: y = a(x − p)² + q

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorDecir que el vértice de $y = (x - 3)^2$ está en $x = -3$.

  Cómo corregirloEl vértice está donde el paréntesis vale 0: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

• ErrorEn $y = -(x + 1)^2 + 3$, calcular $-(x + 1)^2$ como $(-x - 1)^2$.

  Cómo corregirloPrimero se eleva al cuadrado el paréntesis y después se cambia el signo: para $x = 1$, $-(2)^2 + 3 = -4 + 3 = -1$.

• ErrorPensar que la traslación cambia la apertura de la parábola.

  Cómo corregirloSolo cambia la posición; la apertura y la orientación las da $a$.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Traslación vertical gráfico

   Compara las gráficas de $y = x^2$, $y = x^2 + 2$ e $y = x^2 - 3$. ¿Dónde está el vértice de cada una?

   Resolución

   Para cada $x$, $x^2 + 2$ vale 2 más que $x^2$, y $x^2 - 3$ vale 3 menos:

   $x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
   $y = x^2$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$
   $y = x^2 + 2$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$
   $y = x^2 - 3$	$1$	$-2$	$-3$	$-2$	$1$

   La misma parábola, 2 unidades más arriba (vértice $(0, 2)$) y 3 unidades más abajo (vértice $(0, -3)$).

2. Ejemplo 2. Traslación horizontal gráfico

   Compara las gráficas de $y = x^2$, $y = (x - 3)^2$ e $y = (x + 2)^2$. ¿Hacia dónde se ha movido cada una?

   Resolución

   • $y = (x - 3)^2$ vale 0 cuando $x = 3$: vértice $(3, 0)$. Es $y = x^2$ desplazada 3 unidades a la derecha.
   • $y = (x + 2)^2$ vale 0 cuando $x = -2$: vértice $(-2, 0)$. Desplazada 2 unidades a la izquierda.

   Comprobación: en $y = (x - 3)^2$, para $x = 4$ sale $1$ y para $x = 5$ sale $4$; son los mismos valores que da $y = x^2$ en $x = 1$ y $x = 2$, pero 3 unidades más a la derecha.

3. Ejemplo 3. Representar a partir de la forma canónica numérico y gráfico

   Representa $y = -2(x - 1)^2 + 2$ indicando su vértice, su eje y hacia dónde se abre.

   Resolución

   • $p = 1$, $q = 2$: vértice $V(1, 2)$; eje $x = 1$.
   • $a = -2 < 0$: se abre hacia abajo (el vértice es un máximo) y es más cerrada que $y = x^2$.

   Tabla con $x$ simétricos alrededor de 1 (atajo: a 1 unidad del vértice, $y$ cambia en $a = -2$; a 2 unidades, en $4a = -8$):

   $x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
   $y$	$-6$	$0$	$2$	$0$	$-6$

   Corta al eje X en $x = 0$ y $x = 2$.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Indica el vértice, el eje de simetría y hacia dónde se abre cada parábola: a) $y = (x - 4)^2 + 1$ b) $y = -(x + 1)^2 + 3$ c) $y = 2x^2 - 5$ d) $y = 0{,}5(x + 3)^2$

   Ver solución

   a) V(4, 1), x = 4, arriba. b) V(−1, 3), x = −1, abajo. c) V(0, −5), x = 0, arriba. d) V(−3, 0), x = −3, arriba.

   a) $p = 4$, $q = 1$, $a = 1 > 0$. b) $(x + 1) = (x - (-1))$: $p = -1$, $q = 3$, $a = -1 < 0$. c) $p = 0$, $q = -5$, $a = 2 > 0$. d) $p = -3$, $q = 0$, $a = 0{,}5 > 0$.

2. 2. Fácil

   Escribe la ecuación de la parábola que se obtiene al: a) desplazar $y = 3x^2$ dos unidades a la derecha y una hacia abajo; b) desplazar $y = -x^2$ cuatro unidades a la izquierda y dos hacia arriba.

   Ver solución

   a) y = 3(x − 2)² − 1. b) y = −(x + 4)² + 2.

   a) $p = 2$, $q = -1$: $y = 3(x - 2)^2 - 1$. b) $p = -4$, $q = 2$: $y = -(x + 4)^2 + 2$.

3. 3. Media

   Representa $y = (x - 3)^2 - 4$ con una tabla de valores simétricos alrededor del vértice. ¿Dónde corta a los ejes?

   Ver solución

   V(3, −4); puntos (1, 0), (2, −3), (3, −4), (4, −3), (5, 0); corta al eje X en x = 1 y x = 5 y al eje Y en (0, 5).

   Vértice $(3, -4)$, eje $x = 3$, abierta hacia arriba. $x = 1, 2, 3, 4, 5 \to y = 0, -3, -4, -3, 0$. Corta al eje X en $(1, 0)$ y $(5, 0)$. Eje Y: $x = 0 \Rightarrow y = 9 - 4 = 5$, punto $(0, 5)$; su simétrico es $(6, 5)$.

4. 4. Media

   La gráfica es una traslación de $y = x^2$. Escribe su ecuación y compruébala con otro punto de la gráfica.

   Ver solución

   y = (x + 1)² − 2

   El vértice es $(-1, -2)$ y tiene la misma forma que $y = x^2$ ($a = 1$): $y = (x + 1)^2 - 2$. Comprobación con $(1, 2)$: $(1 + 1)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$ ✔.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Indica el vértice, el eje y si el vértice es máximo o mínimo: a) $y = (x + 5)^2 - 2$ b) $y = -3(x - 2)^2$ c) $y = x^2 + 7$ d) $y = -(x - 6)^2 - 1$

   Ver solución

   a) (−5, −2), x = −5, mínimo. b) (2, 0), x = 2, máximo. c) (0, 7), x = 0, mínimo. d) (6, −1), x = 6, máximo.

   a) $p = -5$, $q = -2$, $a > 0$ → mínimo. b) $p = 2$, $q = 0$, $a < 0$ → máximo. c) $p = 0$, $q = 7$, $a > 0$ → mínimo. d) $p = 6$, $q = -1$, $a < 0$ → máximo.

2. 2. Fácil

   a) Describe qué traslación lleva $y = 2x^2$ a $y = 2(x + 1)^2 + 3$. b) Escribe la ecuación de la parábola que resulta de desplazar $y = -0{,}5x^2$ tres unidades a la derecha y cuatro hacia arriba.

   Ver solución

   a) 1 a la izquierda y 3 hacia arriba. b) y = −0,5(x − 3)² + 4.

   a) $p = -1$, $q = 3$: 1 unidad a la izquierda y 3 hacia arriba (vértice de $(0, 0)$ a $(-1, 3)$). b) $y = -0{,}5(x - 3)^2 + 4$.

3. 3. Media

   Representa $y = -(x - 1)^2 + 4$ con una tabla de cinco puntos. Indica dónde corta al eje X.

   Ver solución

   Puntos (−1, 0), (0, 3), (1, 4), (2, 3), (3, 0); corta al eje X en x = −1 y x = 3.

   Vértice $(1, 4)$, abierta hacia abajo. $x = -1, 0, 1, 2, 3 \to y = 0, 3, 4, 3, 0$. Corta al eje X en $(-1, 0)$ y $(3, 0)$.

4. 4. Difícil

   La parábola de la gráfica tiene la forma $y = a(x - p)^2 + q$. a) Lee el vértice. b) Halla $a$ usando el punto $(3, 3)$. c) Escribe su ecuación.

   Ver solución

   a) V(2, 1). b) a = 2. c) y = 2(x − 2)² + 1.

   a) $V(2, 1)$, así que $y = a(x - 2)^2 + 1$. b) Por $(3, 3)$: $3 = a(3 - 2)^2 + 1 \Rightarrow a = 2$. c) $y = 2(x - 2)^2 + 1$. (Comprobación: para $x = 4$, $2 \cdot 4 + 1 = 9$, como en la gráfica.)