El discriminante y los cortes de la parábola con el eje X

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorCalcular mal $b^2$ cuando $b$ es negativo: con $b = -5$, escribir $b^2 = -25$.

  Cómo corregirloUn número al cuadrado nunca es negativo: $(-5)^2 = 25$. Usa paréntesis al sustituir.

• ErrorEquivocarse con los signos de $-4ac$: con $a = -1$ y $c = -5$, poner $-4ac = +20$.

  Cómo corregirloSustituye con paréntesis y cuenta los signos: $-4 \cdot (-1) \cdot (-5) = -20$ (hay tres factores negativos). Con $a = -1$ y $c = 5$, en cambio, sí sale $+20$.

• ErrorPensar que si $\Delta < 0$ la parábola «no existe» o que la función no tiene vértice.

  Cómo corregirloLa parábola existe y tiene vértice; lo único que pasa es que no toca el eje X.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Tres parábolas, tres casos numérico

   Sin dibujarlas, averigua cuántas veces corta al eje X cada parábola y, cuando los haya, calcula los puntos de corte: a) $y = 2x^2 - 5x + 2$ b) $y = x^2 - 6x + 9$ c) $y = -x^2 + 2x - 5$

   Resolución

   a) $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 > 0$ → dos cortes. $$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \dfrac{5 \pm 3}{4} \;\Rightarrow\; x_1 = \dfrac{1}{2},\ x_2 = 2$$ Puntos de corte: $\left(\tfrac{1}{2}, 0\right)$ y $(2, 0)$.

   b) $\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$ → un corte: $x = \dfrac{6}{2} = 3$. La parábola toca al eje X en $(3, 0)$, que es su vértice.

   c) $\Delta = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 4 - 20 = -16 < 0$ → no corta al eje X. Como $a = -1 < 0$, está entera por debajo del eje: la función es siempre negativa.

2. Ejemplo 2. ¿Qué gráfica es cada una? gráfico (asociar expresión y gráfica)

   En los ejes están dibujadas tres parábolas, A, B y C. Asocia cada una con su expresión usando el signo de $a$ y el discriminante: $f(x) = x^2 + 2x + 3 \qquad g(x) = -x^2 - 4x - 4 \qquad h(x) = x^2 - x - 2$

   Resolución

   • $f$: $a = 1 > 0$; $\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$ → abierta hacia arriba y sin cortes: es la parábola A (entera por encima del eje X).
   • $g$: $a = -1 < 0$; $\Delta = 16 - 16 = 0$ → abierta hacia abajo y tocando el eje X en un punto, $x = \dfrac{4}{-2} = -2$: es la B.
   • $h$: $a = 1 > 0$; $\Delta = 1 + 8 = 9 > 0$ → abierta hacia arriba y con dos cortes, $x = \dfrac{1 \pm 3}{2}$, es decir, $x = -1$ y $x = 2$: es la C.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Calcula el discriminante y di cuántas veces corta al eje X cada parábola. Si corta, halla los puntos de corte. a) $y = x^2 + 3x - 10$ b) $y = 4x^2 - 4x + 1$ c) $y = 3x^2 - x + 2$ d) $y = -x^2 + 5x$

   Ver solución

   a) Δ = 49: dos cortes, (−5, 0) y (2, 0). b) Δ = 0: un corte, (1/2, 0). c) Δ = −23: ninguno. d) Δ = 25: dos cortes, (0, 0) y (5, 0).

   a) $\Delta = 9 + 40 = 49 > 0$; $x = \dfrac{-3 \pm 7}{2}$ → $x = -5$, $x = 2$. b) $\Delta = 16 - 16 = 0$; $x = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ → toca en $\left(\tfrac{1}{2}, 0\right)$. c) $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$ → no corta. d) $\Delta = 25 - 0 = 25 > 0$; más rápido sacando factor común: $x(-x + 5) = 0$ → $x = 0$, $x = 5$.

2. 2. Media

   Sin dibujarlas, describe la posición de cada parábola respecto al eje X y di qué signo tiene la función: a) $y = -2x^2 + 3x - 4$ b) $y = x^2 - 10x + 25$

   Ver solución

   a) Δ = −23 y a < 0: entera por debajo del eje X; siempre negativa. b) Δ = 0 y a > 0: toca el eje en (5, 0) y está por encima; positiva salvo en x = 5, donde vale 0.

   a) $\Delta = 9 - 4 \cdot (-2) \cdot (-4) = 9 - 32 = -23 < 0$: no corta al eje X. Como $a = -2 < 0$, se abre hacia abajo y queda entera por debajo: $y < 0$ para todo $x$. b) $\Delta = 100 - 100 = 0$: toca el eje X en $x = \dfrac{10}{2} = 5$ (es el vértice). Como $a > 0$, el resto de la parábola está por encima: $y > 0$ para $x \neq 5$ e $y = 0$ en $x = 5$.

3. 3. Media

   Una fuente del parque del Retiro lanza un chorro de agua cuya altura, en metros, es $h(x) = -0{,}5x^2 + 2x$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros a la boquilla. a) ¿Puede el chorro llegar a 2,5 m de altura? Responde con el discriminante. b) ¿A qué distancias de la boquilla está a 1,5 m de altura? c) ¿Cuál es su altura máxima?

   Ver solución

   a) No (la ecuación tiene Δ < 0). b) A 1 m y a 3 m. c) 2 m, a 2 m de la boquilla.

   a) $-0{,}5x^2 + 2x = 2{,}5 \Rightarrow -0{,}5x^2 + 2x - 2{,}5 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 5 = 0$ (multiplicando por $-2$). $\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$: no hay solución, el chorro nunca llega a 2,5 m. b) $-0{,}5x^2 + 2x = 1{,}5 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$; $\Delta = 16 - 12 = 4$; $x = \dfrac{4 \pm 2}{2}$ → $x = 1$ m y $x = 3$ m (una vez subiendo y otra bajando). c) $x_v = \dfrac{-2}{2 \cdot (-0{,}5)} = 2$; $h(2) = -2 + 4 = 2$ m. Por eso no puede llegar a 2,5 m.

4. 4. Difícil

   Dada la parábola $y = x^2 + 6x + k$, halla para qué valores de $k$: a) corta al eje X en dos puntos; b) lo toca en un solo punto (¿cuál?); c) no lo corta.

   Ver solución

   a) k < 9. b) k = 9, en (−3, 0). c) k > 9.

   $\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 36 - 4k$. a) $36 - 4k > 0 \Rightarrow k < 9$. b) $36 - 4k = 0 \Rightarrow k = 9$. La parábola es $y = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ y toca el eje X en $(-3, 0)$. c) $36 - 4k < 0 \Rightarrow k > 9$.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Di cuántas veces corta al eje X cada parábola y halla los puntos de corte cuando existan: a) $y = x^2 - 7x + 12$ b) $y = -x^2 + 8x - 16$ c) $y = 2x^2 + 3x + 4$

   Ver solución

   a) Δ = 1: (3, 0) y (4, 0). b) Δ = 0: (4, 0). c) Δ = −23: no corta.

   a) $\Delta = 49 - 48 = 1 > 0$; $x = \dfrac{7 \pm 1}{2}$ → $x = 3$, $x = 4$. b) $\Delta = 64 - 4 \cdot (-1) \cdot (-16) = 64 - 64 = 0$; $x = \dfrac{-8}{-2} = 4$ → toca en $(4, 0)$. c) $\Delta = 9 - 32 = -23 < 0$ → no corta.

2. 2. Media

   Escribe la expresión de una función cuadrática que cumpla cada condición (hay muchas respuestas posibles): a) No corta al eje X y tiene un máximo. b) Toca al eje X solo en $x = -2$ y tiene un mínimo. c) Corta al eje X en $x = 1$ y en $x = 4$.

   Ver solución

   Por ejemplo: a) y = −x² − 1. b) y = (x + 2)² = x² + 4x + 4. c) y = (x − 1)(x − 4) = x² − 5x + 4.

   a) Necesitamos $a < 0$ y $\Delta < 0$: $y = -x^2 - 1$ ($\Delta = 0 - 4 = -4$; vértice $(0, -1)$, máximo). b) El vértice debe ser $(-2, 0)$ y $a > 0$: $y = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ ($\Delta = 16 - 16 = 0$). c) Si se anula en 1 y en 4: $y = (x - 1)(x - 4) = x^2 - 5x + 4$. Comprobación: $\Delta = 25 - 16 = 9$; $x = \dfrac{5 \pm 3}{2}$ → 1 y 4 ✔. (También valen $y = 2(x - 1)(x - 4)$, $y = -(x - 1)(x - 4)$…)

3. 3. Media

   ¿Puede la expresión $x^2 - 3x + 5$ dar un resultado negativo para algún número $x$? Razónalo con el discriminante y halla el menor valor que puede tomar.

   Ver solución

   No: es siempre positiva. Su valor mínimo es 11/4 = 2,75, en x = 3/2.

   $\Delta = 9 - 20 = -11 < 0$: la parábola $y = x^2 - 3x + 5$ no corta al eje X, y como $a = 1 > 0$ está entera por encima. Por tanto, $x^2 - 3x + 5 > 0$ para todo $x$. El menor valor está en el vértice: $x_v = \dfrac{3}{2}$, $y_v = \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2} + 5 = \dfrac{11}{4} = 2{,}75$.

4. 4. Difícil

   Halla el valor de $m$ para que la parábola $y = 2x^2 - 8x + m$ toque al eje X en un solo punto. ¿Cuál es ese punto? ¿Qué pasa si $m$ es mayor que ese valor?

   Ver solución

   m = 8; el punto es (2, 0). Si m > 8, la parábola no corta al eje X.

   $\Delta = 64 - 4 \cdot 2 \cdot m = 64 - 8m$. Un solo punto: $64 - 8m = 0 \Rightarrow m = 8$. Entonces $y = 2x^2 - 8x + 8 = 2(x - 2)^2$, que toca el eje X en $(2, 0)$. Si $m > 8$, $\Delta = 64 - 8m < 0$: no corta (la parábola sube y queda entera por encima del eje X).