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Matemáticas 3.º ESO · Modelización con funciones cuadráticas

Problemas con una función cuadrática dada: altura máxima, beneficio y cortes

Objetivo: Al terminar, sabrás usar una función cuadrática que describe una situación real (la altura de un objeto lanzado, el beneficio de un negocio) para calcular el valor máximo o mínimo, cuándo se alcanza, cuándo vale cero y cuándo toma un valor dado.

Explicación

Leer una función cuadrática en su contexto

Muchas situaciones reales se describen con una función cuadrática. Por ejemplo:

La altura de un objeto lanzado hacia arriba: $h(t) = h_0 + v_0 \cdot t - 5t^2$ (aproximadamente; $h$ en m, $t$ en s, $h_0$ altura inicial y $v_0$ velocidad inicial hacia arriba).
El beneficio de un negocio según el precio de venta o el número de unidades.

Cada pregunta del problema corresponde a un elemento de la parábola:

Pregunta	Qué se calcula
¿Desde qué altura sale? ¿Cuánto vale al principio?	$f(0)$ : corte con el eje vertical
¿Altura máxima? ¿Beneficio máximo? ¿Consumo mínimo? ¿Cuándo?	el vértice: $x_v = \dfrac{-b}{2a}$ (cuándo) e $y_v = f(x_v)$ (cuánto)
¿Cuándo llega al suelo? ¿Cuándo el beneficio es cero?	cortes con el eje X: $f(x) = 0$
¿Cuándo está a 15 m? ¿Qué precio da 160 € de beneficio?	resolver $f(x) = 15$ , $f(x) = 160$ …

Cuidado con el sentido de las soluciones

Un tiempo no puede ser negativo: si una ecuación da $t = -1$ , se descarta.
Una altura dada se puede alcanzar dos veces (subiendo y bajando) y las dos soluciones valen.
Responde siempre con una frase y con unidades.

Puntos clave

Valor inicial: $f(0)$ .
Máximo o mínimo y cuándo se alcanza: el vértice ( $x_v$ dice cuándo; $y_v$ , cuánto).
Llegar al suelo o beneficio cero: resolver $f(x) = 0$ .
Para un valor concreto $k$ : resolver $f(x) = k$ ; puede haber dos soluciones válidas.
Se descartan las soluciones sin sentido (tiempos negativos, precios negativos…).

Errores frecuentes

ErrorDar como altura máxima la coordenada $x_v$ del vértice (el tiempo).
Cómo corregirlo $x_v$ responde a «¿cuándo?» y $y_v$ a «¿cuánto?». Sustituye $x_v$ en la función para obtener la altura.
ErrorQuedarse con la solución negativa al calcular cuándo llega al suelo.
Cómo corregirloEl modelo solo vale desde $t = 0$ : los tiempos negativos se descartan.
ErrorAl calcular cuándo está a cierta altura, quedarse solo con una solución.
Cómo corregirloSi las dos soluciones están dentro del tiempo de vuelo, las dos valen: una al subir y otra al bajar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El saque del portero situación real (tiro parabólico) con gráfica
En el saque de un portero, la altura del balón en metros viene dada aproximadamente por $h(t) = 20t - 5t^2$ , con $t$ en segundos desde el golpeo. a) ¿A qué altura está al cabo de 1 s? b) ¿Cuál es la altura máxima y cuándo la alcanza? c) ¿Cuándo vuelve a tocar el suelo? d) ¿En qué instantes está a 15 m de altura?

Resolución
a) $h(1) = 20 - 5 = 15$ m.

b) Es una parábola con $a = -5 < 0$ : tiene un máximo en el vértice. $t_v = \dfrac{-20}{2 \cdot (-5)} = 2\ \text{s} \qquad h(2) = 40 - 20 = 20\ \text{m}$ Alcanza 20 m de altura a los 2 s.

c) $h(t) = 0$ : $20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow 5t(4 - t) = 0 \Rightarrow t = 0$ (el golpeo) o $t = 4$ s. Vuelve al suelo a los 4 s.

d) $20t - 5t^2 = 15 \Rightarrow 5t^2 - 20t + 15 = 0 \Rightarrow t^2 - 4t + 3 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{4 \pm 2}{2}$ : $t = 1$ s (subiendo) y $t = 3$ s (bajando).

La gráfica muestra la altura del balón frente al tiempo (no es la trayectoria del balón). Fíjate en la simetría: sube durante 2 s y baja durante otros 2 s.
Ejemplo 2. Sudaderas del instituto económico (beneficio según el precio)
La asociación de alumnos de un instituto de Vallecas vende sudaderas personalizadas. Si cada sudadera se vende a $x$ euros, el beneficio total de la campaña, en euros, es $B(x) = -10x^2 + 300x - 2000$ . a) ¿A qué precio deben venderlas para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio? b) ¿A qué precios no ganan ni pierden? c) ¿Qué ocurre si las venden a 25 €?

Resolución
a) $a = -10 < 0$ → hay un máximo en el vértice: $x_v = \dfrac{-300}{2 \cdot (-10)} = 15 \qquad B(15) = -2250 + 4500 - 2000 = 250$ Vendiendo cada sudadera a 15 €, el beneficio es máximo: 250 €.

b) $B(x) = 0$ : $-10x^2 + 300x - 2000 = 0 \Rightarrow x^2 - 30x + 200 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{30 \pm \sqrt{900 - 800}}{2} = \dfrac{30 \pm 10}{2}$ $x = 10$ € o $x = 20$ €: a esos precios el beneficio es cero. Entre 10 € y 20 € ganan dinero.

c) $B(25) = -6250 + 7500 - 2000 = -750$ : pierden 750 € (a ese precio venden muy pocas).

Comprueba que el vértice está en medio de los cortes: $\dfrac{10 + 20}{2} = 15$ ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una saltadora se lanza desde la plataforma de 10 m de una piscina de saltos. Su altura sobre el agua, en metros, es aproximadamente $h(t) = -5t^2 + 5t + 10$ ( $t$ en segundos). a) ¿Desde qué altura salta? b) Calcula su altura máxima y cuándo la alcanza. c) ¿Cuándo entra en el agua? Comprueba tus respuestas en la gráfica.

Ver solución
a) 10 m. b) 11,25 m a los 0,5 s. c) A los 2 s.
a) $h(0) = 10$ m. b) $t_v = \dfrac{-5}{2 \cdot (-5)} = 0{,}5$ s; $h(0{,}5) = -1{,}25 + 2{,}5 + 10 = 11{,}25$ m. c) $-5t^2 + 5t + 10 = 0 \Rightarrow t^2 - t - 2 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1 \pm 3}{2}$ → $t = 2$ s ( $t = -1$ se descarta).
2. Media
En las fiestas de San Isidro se lanza un cohete de fuegos artificiales desde una terraza. Su altura sobre el suelo, en metros, es $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ ( $t$ en segundos). a) ¿A qué altura está la terraza? b) Si el cohete estalla en el punto más alto, ¿a qué altura y cuándo lo hace? c) Si no estallara, ¿cuándo llegaría al suelo?

Ver solución
a) 25 m. b) A 45 m, a los 2 s. c) A los 5 s.
a) $h(0) = 25$ m. b) $t_v = \dfrac{-20}{-10} = 2$ s; $h(2) = -20 + 40 + 25 = 45$ m. c) $-5t^2 + 20t + 25 = 0 \Rightarrow t^2 - 4t - 5 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{4 \pm 6}{2}$ → $t = 5$ s ( $t = -1$ no tiene sentido).
3. Media
Una academia de Madrid organiza un viaje de fin de curso. Su beneficio, en euros, depende del número $x$ de alumnos que se apuntan: $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$ . a) ¿Con cuántos alumnos el beneficio es máximo? ¿Cuánto es? b) ¿Con cuántos alumnos no gana ni pierde? c) ¿Gana o pierde dinero si se apuntan 8 alumnos?

Ver solución
a) Con 30 alumnos: 800 €. b) Con 10 o con 50 alumnos. c) Pierde 168 €.
a) $x_v = \dfrac{-120}{2 \cdot (-2)} = 30$ ; $B(30) = -1800 + 3600 - 1000 = 800$ €. b) $-2x^2 + 120x - 1000 = 0 \Rightarrow x^2 - 60x + 500 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{60 \pm \sqrt{3600 - 2000}}{2} = \dfrac{60 \pm 40}{2}$ → $x = 10$ o $x = 50$ alumnos. c) $B(8) = -128 + 960 - 1000 = -168$ : pierde 168 €.
4. Difícil
En el taller de ciencias se lanza un cohete de agua desde el suelo del patio. Su altura, en metros, es $h(t) = 25t - 5t^2$ ( $t$ en segundos). a) ¿Cuál es la altura máxima? b) ¿En qué instantes está a 20 m del suelo? c) ¿Cuánto tiempo está en el aire?

Ver solución
a) 31,25 m (a los 2,5 s). b) A 1 s y a 4 s. c) 5 s.
a) $t_v = \dfrac{-25}{-10} = 2{,}5$ s; $h(2{,}5) = 62{,}5 - 31{,}25 = 31{,}25$ m. b) $25t - 5t^2 = 20 \Rightarrow t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{5 \pm 3}{2}$ → $t = 1$ s (subiendo) y $t = 4$ s (bajando). c) $25t - 5t^2 = 0 \Rightarrow 5t(5 - t) = 0$ → sale en $t = 0$ y cae en $t = 5$ s: está 5 s en el aire.

Para practicar más

1. Fácil
Una niña lanza una pelota hacia arriba desde el suelo. Su altura, en metros, es $h(t) = 10t - 5t^2$ ( $t$ en segundos). a) ¿Qué altura máxima alcanza y cuándo? b) ¿Cuándo vuelve al suelo?

Ver solución
a) 5 m, al cabo de 1 s. b) A los 2 s.
a) $t_v = \dfrac{-10}{-10} = 1$ s; $h(1) = 10 - 5 = 5$ m. b) $10t - 5t^2 = 0 \Rightarrow 5t(2 - t) = 0$ → $t = 2$ s.
2. Media
Un food truck que va a un festival en Madrid Río calcula que, si vende cada menú a $x$ euros, su beneficio diario, en euros, es $B(x) = -5x^2 + 100x - 320$ . a) ¿Qué precio le da el máximo beneficio? ¿Cuánto gana entonces? b) ¿A qué precios el beneficio es cero? c) ¿Qué le pasa si pone el menú a 18 €?

Ver solución
a) 10 €; gana 180 €. b) 4 € y 16 €. c) Pierde 140 €.
a) $x_v = \dfrac{-100}{-10} = 10$ €; $B(10) = -500 + 1000 - 320 = 180$ €. b) $x^2 - 20x + 64 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{20 \pm 12}{2}$ → 4 € y 16 €. c) $B(18) = -1620 + 1800 - 320 = -140$ : pierde 140 €.
3. Media
El consumo de un coche, en litros cada 100 km, depende de la velocidad $v$ (en km/h) según el modelo aproximado $C(v) = 0{,}002v^2 - 0{,}24v + 12$ , válido entre 30 y 130 km/h. a) ¿A qué velocidad consume menos? ¿Cuál es ese consumo mínimo? b) ¿Cuánto consume a 100 km/h y a 120 km/h?

Ver solución
a) A 60 km/h; 4,8 L/100 km. b) 8 L/100 km y 12 L/100 km.
a) Ahora $a = 0{,}002 > 0$ : la parábola tiene un mínimo. $v_v = \dfrac{0{,}24}{2 \cdot 0{,}002} = 60$ km/h; $C(60) = 7{,}2 - 14{,}4 + 12 = 4{,}8$ L/100 km. b) $C(100) = 20 - 24 + 12 = 8$ L/100 km; $C(120) = 28{,}8 - 28{,}8 + 12 = 12$ L/100 km.
4. Difícil
En un lanzamiento de falta, la trayectoria del balón sigue aproximadamente la parábola $y = -0{,}05x^2 + x$ , donde $x$ es la distancia horizontal recorrida y $y$ la altura (las dos en metros). a) ¿Qué altura máxima alcanza y a qué distancia del punto de lanzamiento? b) ¿A qué distancia cae al suelo? c) ¿A qué distancias el balón está a 4,2 m de altura?

Ver solución
a) 5 m, a 10 m del lanzamiento. b) A 20 m. c) A 6 m y a 14 m.
a) $x_v = \dfrac{-1}{2 \cdot (-0{,}05)} = 10$ m; $y(10) = -5 + 10 = 5$ m. b) $-0{,}05x^2 + x = 0 \Rightarrow x(1 - 0{,}05x) = 0$ → $x = 0$ o $x = 20$ m. c) $-0{,}05x^2 + x = 4{,}2 \Rightarrow x^2 - 20x + 84 = 0$ (multiplicando por $-20$ ) $\Rightarrow x = \dfrac{20 \pm \sqrt{400 - 336}}{2} = \dfrac{20 \pm 8}{2}$ → $x = 6$ m y $x = 14$ m. Fíjate: en este caso la parábola $y = -0{,}05x^2 + x$ sí es el dibujo del camino del balón, porque las dos variables son distancias.