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Matemáticas 3.º ESO · Modelización con funciones cuadráticas

Plantear y optimizar: área máxima e ingreso máximo

Objetivo: Al terminar, sabrás construir la función cuadrática que describe un problema (un rectángulo con perímetro fijo, un precio que cambia la demanda) y encontrar con el vértice el valor que hace máxima o mínima una cantidad.

Explicación

Problemas de optimización

Optimizar es encontrar el valor que hace máxima (o mínima) una cantidad: el área, el ingreso, el beneficio… Cuando esa cantidad resulta ser una función cuadrática, el máximo o el mínimo está en el vértice.

Pasos

Elige la incógnita $x$ y escribe qué significa (y en qué unidades).
Expresa con $x$ las demás cantidades que intervienen (el otro lado, el número de clientes…).
Escribe la función que hay que optimizar y desarróllala: $f(x) = ax^2 + bx + c$ .
Piensa qué valores de $x$ tienen sentido (longitudes positivas, número de personas…).
Calcula el vértice: $x_v = \dfrac{-b}{2a}$ . Si $a < 0$ es un máximo; si $a > 0$ , un mínimo.
Responde a lo que se pregunta, con frase y unidades, y comprueba.

Dos modelos muy frecuentes

Rectángulo de perímetro fijo $P$ . Si un lado mide $x$ , el otro mide $\dfrac{P}{2} - x$ y el área es $A(x) = x\left(\dfrac{P}{2} - x\right)$ . El área máxima se obtiene cuando el rectángulo es un cuadrado.
Precio y demanda. Si al subir el precio se pierden clientes (o al bajarlo se ganan), llamamos $x$ al número de subidas (o bajadas) y escribimos $\text{Ingreso} = (\text{precio con } x) \cdot (\text{n.º de clientes con } x)$

Puntos clave

Optimizar con una cuadrática: el máximo o mínimo está en el vértice.
Lo más importante es decir qué es $x$ y escribir bien la función.
Rectángulo de perímetro $P$ : $A(x) = x\left(\dfrac{P}{2} - x\right)$ ; el máximo es el cuadrado.
Ingreso = precio · cantidad vendida; los dos factores dependen de $x$ .
La respuesta no es $x_v$ : hay que traducirlo (dimensiones, precio, número de personas) y calcular el valor óptimo.

Errores frecuentes

ErrorCon el perímetro $P$ , escribir que el otro lado mide $P - x$ .
Cómo corregirloEl perímetro cuenta cada lado dos veces: $2x + 2y = P$ , así que $y = \dfrac{P}{2} - x$ .
ErrorEn precio y demanda, dar como precio óptimo el valor de $x$ (el número de subidas).
Cómo corregirlo $x$ es cuántas veces se sube el precio. El precio óptimo es el precio inicial más esas subidas.
ErrorOlvidar el muro o el lado que no lleva valla.
Cómo corregirloHaz un dibujo y marca qué lados se vallan antes de escribir la ecuación de la valla.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El parque canino geométrico (rectángulo de perímetro fijo) con gráfica
El ayuntamiento quiere cercar con 60 m de valla una zona rectangular de un parque de Madrid para hacer un área canina. ¿Qué dimensiones debe tener para que su área sea la mayor posible? ¿Cuál es esa área?

Resolución
1. $x$ = largo de la zona (m).
2. Perímetro: $2x + 2y = 60 \Rightarrow y = 30 - x$ (ancho).
3. Área: $A(x) = x(30 - x) = -x^2 + 30x$ .
4. Tiene sentido para $0 < x < 30$ .
5. $a = -1 < 0$ → máximo en $x_v = \dfrac{-30}{2 \cdot (-1)} = 15$ ; $A(15) = 15 \cdot 15 = 225$ .
6. La zona debe ser un cuadrado de 15 m de lado, con un área de 225 m².
Comprobación con otros rectángulos de 60 m de perímetro: $10 \times 20 = 200$ m²; $14 \times 16 = 224$ m². Todos dan menos.
Ejemplo 2. El precio de las entradas de un cine económico (precio y demanda)
Un cine de barrio vende 200 entradas por sesión a 6 € cada una. Ha comprobado que, por cada euro que sube el precio, vende 20 entradas menos. ¿A qué precio debe poner la entrada para que el ingreso por sesión sea máximo? ¿Cuántas entradas venderá y cuánto ingresará?

Resolución
1. $x$ = número de euros que sube el precio.
2. Precio: $6 + x$ €. Entradas vendidas: $200 - 20x$ .
3. Ingreso: $I(x) = (6 + x)(200 - 20x) = 1200 - 120x + 200x - 20x^2 = -20x^2 + 80x + 1200$ .
4. Tiene sentido mientras se vendan entradas: $0 \le x < 10$ .
5. $a = -20 < 0$ → máximo en $x_v = \dfrac{-80}{2 \cdot (-20)} = 2$ .
6. Precio: $6 + 2 = 8$ €. Entradas: $200 - 40 = 160$ . Ingreso: $8 \cdot 160 = 1280$ €.
La entrada debe costar 8 €; venderá 160 entradas e ingresará 1280 € (ahora ingresa $6 \cdot 200 = 1200$ €).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dos números suman 20. ¿Cuáles son si su producto es el mayor posible? ¿Cuánto vale ese producto?

Ver solución
10 y 10; producto 100.
$x$ = uno de los números; el otro es $20 - x$ . Producto: $P(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x$ . $x_v = \dfrac{-20}{-2} = 10$ → los números son 10 y 10, y el producto máximo es $P(10) = 100$ .
2. Media
Una granja de la sierra de Madrid quiere hacer un corral rectangular junto a un muro de piedra, de forma que el muro haga de uno de los lados largos y no haya que vallarlo. Tienen 80 m de valla para los otros tres lados. ¿Qué dimensiones dan el corral de mayor área? ¿Cuál es esa área?

Ver solución
20 m de ancho (los dos lados perpendiculares al muro) por 40 m de largo (paralelo al muro); 800 m².
$x$ = cada uno de los dos lados perpendiculares al muro (m). El lado paralelo al muro mide $80 - 2x$ . $A(x) = x(80 - 2x) = -2x^2 + 80x$ , con $0 < x < 40$ . $x_v = \dfrac{-80}{2 \cdot (-2)} = 20$ m; el otro lado: $80 - 40 = 40$ m. Área: $20 \cdot 40 = 800$ m². (Aquí el óptimo no es un cuadrado, porque un lado no lleva valla.)
3. Media
Una academia de baile cobra 40 € al mes y tiene 60 alumnos. Calcula que, por cada euro que baje la cuota, se apuntarán 3 alumnos más. ¿Qué cuota le da el máximo ingreso mensual? ¿Cuántos alumnos tendrá y cuánto ingresará?

Ver solución
Cuota de 30 €, 90 alumnos, 2700 € al mes.
$x$ = euros que baja la cuota. Cuota: $40 - x$ ; alumnos: $60 + 3x$ . $I(x) = (40 - x)(60 + 3x) = 2400 + 120x - 60x - 3x^2 = -3x^2 + 60x + 2400$ . $x_v = \dfrac{-60}{2 \cdot (-3)} = 10$ → cuota $40 - 10 = 30$ €; alumnos $60 + 30 = 90$ ; ingreso $30 \cdot 90 = 2700$ € (ahora ingresa $40 \cdot 60 = 2400$ €).
4. Difícil
Una agencia organiza una excursión en autobús a Segovia. Si van 30 personas, cada una paga 25 €. Por cada persona más que se apunte, el precio baja 0,50 € para todos. El autobús tiene 55 plazas. ¿Cuántas personas deben ir para que la agencia ingrese lo máximo posible? ¿Cuánto paga cada una y cuánto ingresa la agencia?

Ver solución
40 personas; 20 € cada una; 800 €.
$x$ = personas más sobre las 30. Personas: $30 + x$ ; precio: $25 - 0{,}5x$ . $I(x) = (30 + x)(25 - 0{,}5x) = 750 - 15x + 25x - 0{,}5x^2 = -0{,}5x^2 + 10x + 750$ . $x_v = \dfrac{-10}{2 \cdot (-0{,}5)} = 10$ → $30 + 10 = 40$ personas (caben: hay 55 plazas). Precio: $25 - 5 = 20$ €. Ingreso: $40 \cdot 20 = 800$ €.

Para practicar más

1. Fácil
Un rectángulo tiene 48 cm de perímetro. Escribe su área en función de la base $x$ y halla las dimensiones del rectángulo de área máxima. ¿Cuál es esa área?

Ver solución
A(x) = x(24 − x); cuadrado de 12 cm de lado; 144 cm².
Altura: $24 - x$ . $A(x) = x(24 - x) = -x^2 + 24x$ , con $0 < x < 24$ . $x_v = \dfrac{-24}{-2} = 12$ → base 12 cm y altura 12 cm (un cuadrado). Área máxima: $144$ cm².
2. Media
Una frutería del mercado de San Fernando vende cada día 120 kg de cerezas a 5 €/kg. Ha observado que, por cada 0,50 € que sube el kilo, vende 10 kg menos. ¿A qué precio debe vender el kilo para que el ingreso sea máximo? ¿Cuántos kilos venderá y cuánto ingresará?

Ver solución
A 5,50 €/kg; 110 kg; 605 €.
$x$ = número de subidas de 0,50 €. Precio: $5 + 0{,}5x$ ; kilos: $120 - 10x$ . $I(x) = (5 + 0{,}5x)(120 - 10x) = 600 - 50x + 60x - 5x^2 = -5x^2 + 10x + 600$ . $x_v = \dfrac{-10}{-10} = 1$ → precio $5{,}50$ €/kg; kilos $110$ ; ingreso $5{,}5 \cdot 110 = 605$ €.
3. Media
La diferencia de dos números es 8. ¿Cuáles son si su producto es el menor posible? ¿Cuál es ese producto?

Ver solución
4 y −4; producto −16.
$x$ = el número mayor; el menor es $x - 8$ . $P(x) = x(x - 8) = x^2 - 8x$ . Ahora $a = 1 > 0$ : el vértice es un mínimo. $x_v = \dfrac{8}{2} = 4$ → los números son $4$ y $-4$ ; producto mínimo $P(4) = -16$ .
4. Difícil
Con 100 m de valla se quiere cercar un terreno rectangular y dividirlo en dos parcelas iguales con otra valla paralela a dos de los lados (en total se vallan tres lados iguales y dos lados iguales). ¿Qué dimensiones hacen máxima el área total? ¿Cuál es esa área? Da los resultados exactos y redondeados a centésimas.

Ver solución
Lados de 50/3 ≈ 16,67 m (los tres paralelos) y 25 m; área 1250/3 ≈ 416,67 m².
$x$ = longitud de cada uno de los tres lados paralelos (los dos extremos y la valla divisoria); $y$ = cada uno de los otros dos lados. Valla: $3x + 2y = 100 \Rightarrow y = 50 - 1{,}5x$ . $A(x) = x(50 - 1{,}5x) = -1{,}5x^2 + 50x$ , con $0 < x < \dfrac{100}{3}$ . $x_v = \dfrac{-50}{2 \cdot (-1{,}5)} = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}67$ m; $y = 50 - 1{,}5 \cdot \dfrac{50}{3} = 25$ m. Área: $\dfrac{50}{3} \cdot 25 = \dfrac{1250}{3} \approx 416{,}67$ m².