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Matemáticas 3.º ESO · Problemas con funciones cuadráticas: ¿durante cuánto tiempo?

¿Durante cuánto tiempo…? Intervalos en problemas con funciones cuadráticas

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas en los que hay que hallar el intervalo de valores en que una función cuadrática cumple una condición: estar por encima de una altura, superar un beneficio, no pasar de una distancia…

Explicación

Cuándo se cumple una condición

Muchas preguntas no piden un valor concreto, sino un intervalo: ¿durante cuánto tiempo está el balón por encima de 26 m? ¿Para qué producción se ganan más de 200 €?

Para saber cuándo $f(x) \ge k$ (o $\le k$ ):

Resuelve la ecuación $f(x) = k$ . Sus soluciones $x_1 < x_2$ son los puntos donde la parábola corta a la recta horizontal $y = k$ .
Mira la forma de la parábola:
- Si se abre hacia abajo ( $a < 0$ ), está por encima de $y = k$ entre $x_1$ y $x_2$ : $f(x) \ge k$ en $[x_1, x_2]$ .
- Si se abre hacia arriba ( $a > 0$ ), está por debajo de $y = k$ entre $x_1$ y $x_2$ : $f(x) \le k$ en $[x_1, x_2]$ .
Quédate solo con los valores que tienen sentido en el problema (tiempos y longitudes positivos, unidades enteras…).
Responde con el intervalo y, si se pregunta «cuánto tiempo», con su longitud: $x_2 - x_1$ .

Usa corchetes si el extremo vale ( $\ge$ , $\le$ ) y paréntesis si no ( $>$ , $<$ ).

Puntos clave

Primero se resuelve la ecuación $f(x) = k$ .
Con $a < 0$ , la función supera a $k$ entre las dos soluciones; con $a > 0$ , queda por debajo de $k$ entre ellas.
Se recorta el intervalo a los valores con sentido en el problema.
«¿Cuánto tiempo?» es la longitud del intervalo: $x_2 - x_1$ .

Errores frecuentes

ErrorDar solo los dos instantes ( $t = 1$ y $t = 5$ ) cuando se pregunta durante cuánto tiempo.
Cómo corregirloLos dos valores son los extremos: la respuesta es el intervalo $[1, 5]$ , es decir, 4 s.
ErrorElegir el intervalo de fuera cuando la parábola se abre hacia abajo.
Cómo corregirloHaz un esbozo con la recta $y = k$ : mira dónde está la curva por encima y dónde por debajo.
ErrorIncluir valores negativos de tiempo o de longitud en el resultado.
Cómo corregirloRecorta el intervalo con las condiciones del problema; por ejemplo, $v \ge 0$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una bola alta en béisbol situación real con gráfica
En un partido de béisbol, un bateador golpea la bola hacia arriba. Su altura, en metros, es aproximadamente $h(t) = -5t^2 + 30t + 1$ ( $t$ en segundos). ¿Durante cuánto tiempo está la bola a 26 m de altura o más?

Resolución
1. Ecuación: $-5t^2 + 30t + 1 = 26 \Rightarrow -5t^2 + 30t - 25 = 0 \Rightarrow t^2 - 6t + 5 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{6 \pm 4}{2}$ → $t_1 = 1$ s, $t_2 = 5$ s.
2. La parábola se abre hacia abajo ( $a = -5$ ), así que está por encima de la recta $h = 26$ entre los dos instantes: $h(t) \ge 26$ para $t \in [1, 5]$ .
3. Los dos valores son positivos y la bola sigue en el aire (su altura máxima es $h(3) = 46$ m).
4. Está a 26 m o más desde el segundo 1 hasta el 5: durante 4 s.
En la gráfica se ve el tramo de la parábola que queda por encima de la recta horizontal.
Ejemplo 2. Un taller de cerámica económico (unidades enteras)
Un taller de cerámica de Lavapiés fabrica y vende $x$ jarrones a la semana. Su beneficio semanal, en euros, es $B(x) = -x^2 + 50x - 400$ . ¿Cuántos jarrones debe fabricar para que el beneficio sea mayor que 200 €?

Resolución
1. Ecuación: $-x^2 + 50x - 400 = 200 \Rightarrow x^2 - 50x + 600 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{50 \pm \sqrt{2500 - 2400}}{2} = \dfrac{50 \pm 10}{2}$ → $x_1 = 20$ , $x_2 = 30$ .
2. Con $a = -1 < 0$ , el beneficio supera los 200 € entre 20 y 30: $B(x) > 200$ para $x \in (20, 30)$ . Los extremos no valen porque en ellos el beneficio es exactamente 200 €.
3. $x$ es un número entero de jarrones.
4. Debe fabricar entre 21 y 29 jarrones a la semana. (El máximo, 225 €, se obtiene con 25 jarrones, justo en medio.)

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En un club de modelismo de Cuatro Vientos, se lanza desde el suelo un cohete de juguete con un lanzador de aire comprimido. Su altura sigue aproximadamente la función $h(t) = -5t^2 + 40t$ ( $h$ en m, $t$ en s). ¿Durante cuánto tiempo está a 75 m de altura o más?

Ver solución
Entre t = 3 s y t = 5 s: durante 2 s.
$-5t^2 + 40t = 75 \Rightarrow t^2 - 8t + 15 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{8 \pm 2}{2}$ → $t = 3$ s y $t = 5$ s. Como $a < 0$ : $h(t) \ge 75$ en $[3, 5]$ , es decir, durante $5 - 3 = 2$ s.
2. Media
Un modelo aproximado de la temperatura de un día de verano en Madrid, entre las 6 h y las 22 h, es $T(h) = -0{,}25h^2 + 7h - 11$ ( $T$ en °C, $h$ en horas). Se activa la alerta por calor cuando la temperatura es de 34 °C o más. a) ¿Entre qué horas está activa la alerta? ¿Cuántas horas dura? b) ¿Cuál es la temperatura máxima y a qué hora se alcanza?

Ver solución
a) De las 10 h a las 18 h: 8 horas. b) 38 °C a las 14 h.
a) $-0{,}25h^2 + 7h - 11 = 34 \Rightarrow -0{,}25h^2 + 7h - 45 = 0 \Rightarrow h^2 - 28h + 180 = 0$ (multiplicando por $-4$ ). $h = \dfrac{28 \pm \sqrt{784 - 720}}{2} = \dfrac{28 \pm 8}{2}$ → $h = 10$ y $h = 18$ . Con $a < 0$ : $T \ge 34$ en $[10, 18]$ , dentro de las horas del modelo. Alerta de 10 h a 18 h: 8 horas. b) $h_v = \dfrac{-7}{2 \cdot (-0{,}25)} = 14$ ; $T(14) = -49 + 98 - 11 = 38$ °C a las 14 h.
3. Difícil
Un rectángulo tiene 20 m de perímetro. ¿Qué valores puede tomar su base $x$ para que el área sea de al menos 21 m²?

Ver solución
x entre 3 y 7 m: [3, 7].
Altura: $10 - x$ ; área: $A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x$ , con $0 < x < 10$ . $-x^2 + 10x = 21 \Rightarrow x^2 - 10x + 21 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{10 \pm 4}{2}$ → $x = 3$ , $x = 7$ . Con $a < 0$ : $A(x) \ge 21$ en $[3, 7]$ (dentro de $0 < x < 10$ ). La base debe medir entre 3 y 7 m.

Para practicar más

1. Fácil
La altura de un balón de baloncesto lanzado hacia arriba es $h(t) = -5t^2 + 15t + 2$ ( $h$ en m, $t$ en s). ¿Durante cuánto tiempo está a 12 m de altura o más?

Ver solución
Entre t = 1 s y t = 2 s: durante 1 s.
$-5t^2 + 15t + 2 = 12 \Rightarrow t^2 - 3t + 2 = 0 \Rightarrow t = 1$ , $t = 2$ . Con $a < 0$ : $h(t) \ge 12$ en $[1, 2]$ → durante 1 s.
2. Media
La distancia que necesita un coche para detenerse, en metros, en función de su velocidad $v$ (en km/h) es aproximadamente $d(v) = 0{,}01v^2 + 0{,}2v$ . ¿A qué velocidades se detiene en menos de 48 m? Comprueba el resultado con $v = 50$ km/h.

Ver solución
A velocidades menores que 60 km/h: [0, 60). Con 50 km/h se detiene en 35 m.
$0{,}01v^2 + 0{,}2v = 48 \Rightarrow v^2 + 20v - 4800 = 0 \Rightarrow v = \dfrac{-20 \pm \sqrt{400 + 19\,200}}{2} = \dfrac{-20 \pm 140}{2}$ → $v = 60$ o $v = -80$ . Con $a > 0$ , $d(v) < 48$ entre $-80$ y $60$ ; como la velocidad no es negativa: $0 \le v < 60$ km/h. Comprobación: $d(50) = 25 + 10 = 35$ m $< 48$ m ✔.
3. Difícil
Se quiere poner un marco de anchura uniforme $x$ (en cm) alrededor de una foto de 20 cm × 30 cm. El área del marco (sin contar la foto) no puede pasar de 336 cm². ¿Qué anchuras puede tener el marco?

Ver solución
0 < x ≤ 3 cm.
Foto con marco: $(20 + 2x)(30 + 2x)$ . Área del marco: $(20 + 2x)(30 + 2x) - 600 = 4x^2 + 100x$ . $4x^2 + 100x = 336 \Rightarrow x^2 + 25x - 84 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{-25 \pm \sqrt{625 + 336}}{2} = \dfrac{-25 \pm 31}{2}$ → $x = 3$ o $x = -28$ . Con $a > 0$ : $4x^2 + 100x \le 336$ en $[-28, 3]$ ; como la anchura es positiva: $0 < x \le 3$ cm.