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Matemáticas 3.º ESO · La parábola y = ax² y sus traslaciones

La parábola y = ax²

Objetivo: Al terminar, sabrás representar funciones y = ax² con una tabla de valores, describir su vértice y su eje de simetría, y explicar el efecto del signo y del valor de a en la forma de la parábola.

Explicación

La función $y = x^2$

Damos valores a $x$ :

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y = x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Al unir los puntos con una curva suave (¡no con segmentos!) obtenemos una parábola. Sus elementos:

Vértice: el punto donde la parábola cambia de bajar a subir (o al revés). En $y = x^2$ es $V(0, 0)$ .
Eje de simetría: la recta vertical que pasa por el vértice. En $y = x^2$ es el eje Y ( $x = 0$ ): los puntos $(2, 4)$ y $(-2, 4)$ son simétricos.
Ramas: las dos mitades de la curva.

La parábola $y = ax^2$ (con $a \neq 0$ )

Todas tienen el vértice en $(0, 0)$ y el eje Y como eje de simetría. El coeficiente $a$ decide su forma:

	$a > 0$	$a < 0$
Se abre hacia	arriba	abajo
El vértice es	el punto más bajo (mínimo)	el punto más alto (máximo)

Cuanto mayor es el valor de $a$ sin signo, más cerrada (estrecha) es la parábola.
Cuanto más cerca de 0 está $a$ , más abierta es.
$y = ax^2$ e $y = -ax^2$ son simétricas respecto al eje X.

Truco para la tabla: por la simetría, basta con calcular $y$ para $x = 0, 1, 2, 3$ ; para $-1, -2, -3$ salen los mismos valores.

Puntos clave

La gráfica de $y = ax^2$ es una parábola con vértice $(0, 0)$ y eje de simetría $x = 0$ .
$a > 0$ : abierta hacia arriba, vértice mínimo. $a < 0$ : abierta hacia abajo, vértice máximo.
Mayor $a$ sin signo → más cerrada; $a$ cerca de 0 → más abierta.
Los puntos $(x, y)$ y $(-x, y)$ son simétricos: la tabla se hace con la mitad de los cálculos.
Los puntos se unen con una curva suave, no con segmentos.

Errores frecuentes

ErrorCalcular $(-3)^2 = -9$ o, en $y = -x^2$ con $x = -3$ , obtener $+9$ .
Cómo corregirloEn $y = x^2$ , primero se eleva y el resultado es positivo: $(-3)^2 = 9$ . En $y = -x^2$ se eleva y luego se cambia el signo: $-(-3)^2 = -9$ .
ErrorUnir los puntos con segmentos y dibujar un pico en el vértice.
Cómo corregirloLa parábola es una curva suave y redondeada en el vértice.
ErrorPensar que $y = 0{,}5x^2$ es más cerrada que $y = x^2$ «porque se divide».
Cómo corregirloPara un mismo $x$ , $0{,}5x^2$ da valores más pequeños: la curva sube más despacio y es más abierta.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. y = x² e y = −x² numérico y gráfico (tabla de valores)
Haz una tabla de valores y representa en los mismos ejes $y = x^2$ e $y = -x^2$ . Indica el vértice, el eje de simetría y si el vértice es un máximo o un mínimo.

Resolución
$x$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$

$y = x^2$ $9$ $4$ $1$ $0$ $1$ $4$ $9$

$y = -x^2$ $-9$ $-4$ $-1$ $0$ $-1$ $-4$ $-9$
- $y = x^2$ : abierta hacia arriba; vértice $(0, 0)$ , que es un mínimo.
- $y = -x^2$ : abierta hacia abajo; vértice $(0, 0)$ , que es un máximo.
- Las dos tienen como eje de simetría el eje Y ( $x = 0$ ) y son simétricas entre sí respecto al eje X.
Ejemplo 2. Más abierta o más cerrada gráfico (comparar)
La gráfica muestra $y = 2x^2$ , $y = x^2$ e $y = 0{,}5x^2$ . ¿Qué efecto tiene el valor de $a$ ?

Resolución
Para $x = 2$ : $y = 2 \cdot 4 = 8$ ; $y = 4$ ; $y = 0{,}5 \cdot 4 = 2$ .

Con el mismo $x$ , cuanto mayor es $a$ , más alto está el punto: la parábola sube más deprisa y es más cerrada.
- $y = 2x^2$ : la más cerrada.
- $y = 0{,}5x^2$ : la más abierta.
Las tres tienen el vértice en $(0, 0)$ y se abren hacia arriba porque $a > 0$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Completa una tabla de valores y representa en los mismos ejes $y = 3x^2$ (con $x$ de $-2$ a $2$ ) e $y = -0{,}5x^2$ (con $x = -4, -2, 0, 2, 4$ ).

Ver solución
y = 3x²: 12, 3, 0, 3, 12. y = −0,5x²: −8, −2, 0, −2, −8.
$y = 3x^2$ : $x = -2, -1, 0, 1, 2 \to y = 12, 3, 0, 3, 12$ . Abierta hacia arriba y muy cerrada. $y = -0{,}5x^2$ : $x = -4, -2, 0, 2, 4 \to y = -8, -2, 0, -2, -8$ . Abierta hacia abajo y más abierta.
2. Fácil
Sin dibujarlas, indica hacia dónde se abre cada parábola y si su vértice es máximo o mínimo. Después ordénalas de más abierta a más cerrada. a) $y = 4x^2$ b) $y = -x^2$ c) $y = 0{,}2x^2$ d) $y = -2{,}5x^2$

Ver solución
a) Arriba, mínimo. b) Abajo, máximo. c) Arriba, mínimo. d) Abajo, máximo. Orden: c, b, d, a.
Signo de $a$ : a) y c) se abren hacia arriba (mínimo); b) y d) hacia abajo (máximo). Valores de $a$ sin signo: $0{,}2 < 1 < 2{,}5 < 4$ . De más abierta a más cerrada: c, b, d, a.
3. Media
Asocia cada parábola de la gráfica con su ecuación: $y = -2x^2$ , $y = 3x^2$ , $y = \dfrac{1}{4}x^2$ . Explica cómo lo decides.
Ver solución
A: y = 3x². B: y = x²/4. C: y = −2x².
- La única abierta hacia abajo es $C$ : $y = -2x^2$ .
- De las dos abiertas hacia arriba, la más cerrada es la de mayor $a$ : $A$ es $y = 3x^2$ y $B$ , $y = \dfrac{1}{4}x^2$ .
- Comprobación: $B$ pasa por $(2, 1)$ y $\dfrac{1}{4} \cdot 4 = 1$ ✔.
4. Media
Halla el valor de $a$ para que la parábola $y = ax^2$ pase por el punto: a) $(3, -18)$ ; b) $(2, 1)$ .

Ver solución
a) a = −2. b) a = 1/4.
a) $-18 = a \cdot 3^2 = 9a \Rightarrow a = -2$ . b) $1 = a \cdot 2^2 = 4a \Rightarrow a = \dfrac{1}{4}$ .

Para practicar más

1. Fácil
Haz una tabla de valores de $y = -2x^2$ para $x$ entre $-2$ y $2$ y representa la parábola. Indica su vértice, su eje de simetría y si el vértice es máximo o mínimo.

Ver solución
−8, −2, 0, −2, −8; vértice (0, 0), eje x = 0, máximo.
$x = -2, -1, 0, 1, 2 \to y = -8, -2, 0, -2, -8$ . Vértice $(0, 0)$ ; eje de simetría $x = 0$ ; como $a = -2 < 0$ , se abre hacia abajo y el vértice es un máximo.
2. Fácil
Observa las parábolas $y = -\dfrac{x^2}{3}$ , $y = 5x^2$ , $y = -3x^2$ e $y = 0{,}8x^2$ . a) ¿Cuáles se abren hacia abajo? b) ¿Cuál es la más cerrada? ¿Y la más abierta?

Ver solución
a) y = −x²/3 e y = −3x². b) Más cerrada y = 5x²; más abierta y = −x²/3.
a) Las de $a < 0$ : $y = -\dfrac{x^2}{3}$ e $y = -3x^2$ . b) Valores de $a$ sin signo: $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$ ; $5$ ; $3$ ; $0{,}8$ . La más cerrada, $y = 5x^2$ ; la más abierta, $y = -\dfrac{x^2}{3}$ .
3. Media
La parábola $y = ax^2$ pasa por $(-2, 6)$ . a) Halla $a$ . b) Sin hacer cálculos, ¿pasa también por $(2, 6)$ ? ¿Por qué? c) ¿Pasa por $(4, 24)$ ?

Ver solución
a) a = 3/2. b) Sí, por simetría. c) Sí.
a) $6 = a \cdot (-2)^2 = 4a \Rightarrow a = \dfrac{3}{2}$ . b) Sí: $(2, 6)$ es el simétrico de $(-2, 6)$ respecto al eje Y. c) $\dfrac{3}{2} \cdot 16 = 24$ ✔: sí pasa.
4. Difícil
La distancia de frenado de un coche en carretera seca se puede aproximar por $d = 0{,}006v^2$ ( $d$ en metros, $v$ en km/h). a) Calcula la distancia de frenado a 50 km/h y a 100 km/h. b) ¿Qué le pasa a la distancia de frenado si la velocidad se duplica? c) ¿A qué velocidad la distancia de frenado es de 37,5 m?

Ver solución
a) 15 m y 60 m. b) Se multiplica por 4. c) A unos 79 km/h.
a) $d(50) = 0{,}006 \cdot 2500 = 15$ m; $d(100) = 0{,}006 \cdot 10\,000 = 60$ m. b) Si $v$ se multiplica por 2, $v^2$ se multiplica por 4: la distancia se cuadruplica (de 15 m a 60 m). c) $37{,}5 = 0{,}006v^2 \Rightarrow v^2 = 6250 \Rightarrow v = \sqrt{6250} \approx 79$ km/h (redondeado a las unidades; la solución negativa no tiene sentido).

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y = x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$
$y = -x^2$	$-9$	$-4$	$-1$	$0$	$-1$	$-4$	$-9$