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Explicación

Un modelo afín a partir de dos datos

Si sabemos (o suponemos) que una magnitud cambia a ritmo constante y conocemos dos observaciones $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ , podemos construir el modelo $y = mx + n$ :

Ritmo: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (con sus unidades).
Parte fija: sustituye uno de los datos en $y = mx + n$ y despeja $n$ .
Comprueba con el otro dato e interpreta $m$ y $n$ .
Piensa en la validez: el modelo suele servir solo en un rango de valores de $x$ .

Comparar dos modelos

Cuando hay dos ofertas $y = m_1x + n_1$ e $y = m_2x + n_2$ :

Se igualan para hallar el valor de $x$ en que cuestan lo mismo (el punto de corte de las rectas).
A un lado de ese valor es mejor una oferta y al otro lado, la otra. En la gráfica, la más barata es la recta que queda por debajo.
Normalmente, la de mayor parte fija y menor ritmo conviene cuando $x$ es grande.

Movimientos uniformes

La posición de un móvil que va a velocidad constante es una función afín del tiempo, $x = x_0 + v \cdot t$ : la pendiente es la velocidad y la ordenada en el origen, la posición inicial. Dos móviles se encuentran donde se cortan sus rectas.

Puntos clave

Con dos datos: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ y después $n$ sustituyendo un dato.
Interpreta $m$ (ritmo) y $n$ (parte fija) con unidades.
Un modelo vale solo en un rango; fuera de él puede dar resultados absurdos.
Para comparar ofertas, iguala las dos funciones: el punto de corte separa las zonas donde conviene cada una.
Movimiento uniforme: $x = x_0 + v \cdot t$ ; el encuentro es el punto de corte.

Errores frecuentes

ErrorTomar como pendiente el cociente $\dfrac{y_2}{x_2}$ de un solo dato.
Cómo corregirloEso solo vale si la función es lineal. Con parte fija, usa los incrementos: $\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .
ErrorConcluir qué oferta es mejor mirando solo un valor de $x$ .
Cómo corregirloHalla el punto de corte: a un lado conviene una oferta y al otro lado, la otra.
ErrorAplicar el modelo fuera de su rango (una planta que crece 5 metros en un año, agua a 139 °C).
Cómo corregirloPregúntate si el resultado tiene sentido en la situación real.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una pila de vasos experimental (dos medidas)
Apilamos vasos de plástico iguales, uno dentro de otro. Una pila de 2 vasos mide 14 cm y una de 6 vasos mide 22 cm. a) Halla la función afín que da la altura $h$ (cm) según el número de vasos $v$ . b) ¿Qué significan $m$ y $n$ ? c) ¿Cuántos vasos forman una pila de 50 cm? d) ¿Cuántos vasos caben, como mucho, en un armario de 45 cm de alto?

Resolución
a) $m = \dfrac{22 - 14}{6 - 2} = \dfrac{8}{4} = 2$ cm/vaso. Con $(2, 14)$ : $14 = 2 \cdot 2 + n \Rightarrow n = 10$ . $h = 2v + 10$ Comprobación: $2 \cdot 6 + 10 = 22$ ✔.

b) $m = 2$ cm: cada vaso más añade 2 cm (el borde que sobresale). $n = 10$ cm: es la parte del primer vaso que no queda tapada; un solo vaso mide $2 + 10 = 12$ cm. El modelo solo tiene sentido para $v = 1, 2, 3…$

c) $50 = 2v + 10 \Rightarrow v = 20$ vasos.

d) $2v + 10 = 45 \Rightarrow v = 17{,}5$ . No hay medios vasos, y con 18 la pila mediría $2 \cdot 18 + 10 = 46$ cm: caben como mucho 17 vasos (44 cm).
Ejemplo 2. ¿Qué furgoneta alquilamos? gráfico (comparar ofertas)
Para una mudanza, la empresa A alquila furgonetas por 60 € más 0,40 € por km, y la empresa B, por 30 € más 0,60 € por km. ¿Cuándo conviene cada una?

Resolución
A: $C_A = 0{,}40x + 60$ . B: $C_B = 0{,}60x + 30$ ( $x$ en km, $C$ en €).

Igualamos: $0{,}40x + 60 = 0{,}60x + 30 \Rightarrow 30 = 0{,}20x \Rightarrow x = 150$ km. Las dos cuestan $0{,}40 \cdot 150 + 60 = 120$ €.
- Menos de 150 km: conviene B (por ejemplo, con 100 km, B cuesta 90 € y A, 100 €).
- Más de 150 km: conviene A (con 300 km, A cuesta 180 € y B, 210 €).
- Justo 150 km: cuestan lo mismo.
En la gráfica, a la izquierda del corte la recta de B está por debajo, y a la derecha, la de A.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una planta de bambú medía 12 cm el día 4 y 21 cm el día 10 de un experimento. Supón que crece a ritmo constante. a) Halla la altura $h$ en función del día $d$ . b) ¿Cuánto medía al empezar? c) ¿Qué altura predice el modelo para el día 20? ¿Y para dentro de un año? ¿Te parece razonable?

Ver solución
a) h = 1,5d + 6. b) 6 cm. c) 36 cm; 553,5 cm, poco razonable.
a) $m = \dfrac{21 - 12}{10 - 4} = 1{,}5$ cm/día; $12 = 1{,}5 \cdot 4 + n \Rightarrow n = 6$ . $h = 1{,}5d + 6$ . b) $n = 6$ cm (día 0). c) $h(20) = 36$ cm. $h(365) = 1{,}5 \cdot 365 + 6 = 553{,}5$ cm: más de 5 m. No es razonable suponer que el ritmo se mantiene un año: el modelo solo vale durante el experimento.
2. Media
La copistería A cobra 0,05 € por fotocopia. La copistería B cobra 6 € fijos más 0,02 € por fotocopia. a) Escribe las dos funciones. b) ¿Con cuántas copias cuestan lo mismo? c) ¿Cuál conviene para 150 copias? ¿Y para 500?

Ver solución
a) A = 0,05x; B = 0,02x + 6. b) 200 copias (10 €). c) A con 150; B con 500.
a) $C_A = 0{,}05x$ ; $C_B = 0{,}02x + 6$ . b) $0{,}05x = 0{,}02x + 6 \Rightarrow 0{,}03x = 6 \Rightarrow x = 200$ copias; cuestan 10 €. c) 150 copias: A $7{,}50$ €, B $9$ € → A. 500 copias: A $25$ €, B $16$ € → B.
3. Difícil
A las 9:00 sale un autobús de Moncloa por la A-6 a 80 km/h constantes. A las 9:30 sale del mismo sitio un coche a 120 km/h por la misma carretera. a) Escribe la posición de cada uno ( $x$ en km) en función de las horas $t$ desde las 9:00. b) Represéntalas. c) ¿A qué hora y a qué distancia de Moncloa alcanza el coche al autobús?

Ver solución
a) x_A = 80t; x_C = 120(t − 0,5). c) A las 10:30, a 120 km.
a) Autobús: $x_A = 80t$ . El coche sale media hora después: $x_C = 120(t - 0{,}5) = 120t - 60$ (para $t \geq 0{,}5$ ). b) Autobús: recta de $(0, 0)$ a $(2, 160)$ . Coche: recta de $(0{,}5;\ 0)$ a $(2, 180)$ . c) $80t = 120t - 60 \Rightarrow 40t = 60 \Rightarrow t = 1{,}5$ h → a las 10:30, a $80 \cdot 1{,}5 = 120$ km.
4. Difícil
En el laboratorio se calienta agua y se anota su temperatura: a los 2 min está a 31 °C y a los 5 min, a 49 °C. Supón que la temperatura sube a ritmo constante. a) Escribe el modelo. b) ¿A qué temperatura estaba al principio? c) ¿Cuándo llegará a 100 °C? d) ¿Qué predice el modelo para los 20 min? ¿Es creíble?

Ver solución
a) T = 6t + 19. b) 19 °C. c) A los 13,5 min. d) 139 °C; no, el agua hierve a unos 100 °C y deja de subir.
a) $m = \dfrac{49 - 31}{5 - 2} = 6$ °C/min; $31 = 12 + n \Rightarrow n = 19$ . $T = 6t + 19$ . b) 19 °C. c) $100 = 6t + 19 \Rightarrow t = 13{,}5$ min. d) $T(20) = 139$ °C. No es creíble: al hervir, el agua se queda a unos 100 °C (a presión normal). El modelo solo vale hasta que empieza a hervir.

Para practicar más

1. Fácil
En un taller de cerámica, pintar 3 tazas cuesta 27 € y pintar 8 tazas, 52 € (el taller cobra una parte fija y un tanto por taza). a) Halla la función. b) Interpreta sus números. c) ¿Cuánto cuesta pintar 5 tazas?

Ver solución
a) C = 5x + 12. b) 12 € fijos; 5 € por taza. c) 37 €.
a) $m = \dfrac{52 - 27}{8 - 3} = 5$ ; $27 = 15 + n \Rightarrow n = 12$ . $C = 5x + 12$ . b) 12 € de parte fija (material, horno); 5 € por cada taza. c) $C = 25 + 12 = 37$ €.
2. Media
Para una excursión, la tienda A alquila bicicletas por 15 € más 4 € por hora y la tienda B, por 7 € por hora. a) ¿Con cuántas horas cuestan lo mismo? b) ¿Cuál conviene para 3 horas? ¿Y para 8?

Ver solución
a) 5 h (35 €). b) B con 3 h; A con 8 h.
$C_A = 4t + 15$ ; $C_B = 7t$ . a) $4t + 15 = 7t \Rightarrow t = 5$ h; las dos cuestan 35 €. b) 3 h: A 27 €, B 21 € → B. 8 h: A 47 €, B 56 € → A.
3. Media
Irene sale de casa andando a velocidad constante. Un rato después, su hermano sale en bici detrás de ella por la misma calle. La gráfica muestra sus posiciones. a) ¿Cuánto tiempo después sale el hermano? b) Calcula la velocidad de cada uno. c) Escribe sus funciones posición-tiempo. d) ¿Cuándo y dónde la alcanza?

Ver solución
a) 120 s. b) Irene 1,2 m/s; hermano 3 m/s. c) x_I = 1,2t; x_H = 3t − 360. d) A los 200 s, a 240 m de casa.
a) La recta del hermano empieza en $(120, 0)$ : sale 120 s (2 min) después. b) Irene: $\dfrac{360}{300} = 1{,}2$ m/s. Hermano: $\dfrac{540 - 0}{300 - 120} = 3$ m/s. c) $x_I = 1{,}2t$ ; $x_H = 3(t - 120) = 3t - 360$ (para $t \geq 120$ ). d) $1{,}2t = 3t - 360 \Rightarrow 1{,}8t = 360 \Rightarrow t = 200$ s; $x = 1{,}2 \cdot 200 = 240$ m.
4. Difícil
A las 9:00 la batería de un móvil está al 85 % y a las 12:00, al 61 %. Supón que baja a ritmo constante. a) Escribe el porcentaje $B$ según las horas $t$ transcurridas desde las 9:00. b) ¿A qué hora se agotará?

Ver solución
a) B = 85 − 8t. b) A las 19:37 aproximadamente.
a) $m = \dfrac{61 - 85}{3 - 0} = -8$ %/h; $n = 85$ : $B = 85 - 8t$ . b) $0 = 85 - 8t \Rightarrow t = 10{,}625$ h $= 10$ h $37{,}5$ min. Se agotará hacia las 19:37.

Modelos afines a partir de dos datos y comparación de ofertas