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Matemáticas 3.º ESO · Posición relativa de dos rectas

Recuerda: resolver un sistema gráficamente

Objetivo: Al terminar, sabrás representar las dos rectas de un sistema lineal, leer su punto de corte y relacionarlo con la solución del sistema, y reconocer si dos rectas son secantes, paralelas o coincidentes.

Recuerda

Sistemas y rectas

Una ecuación lineal con dos incógnitas, como $x + y = 5$ , tiene infinitas soluciones: todos los puntos $(x, y)$ de una recta.

Un sistema de dos ecuaciones lineales pide los valores de $x$ e $y$ que cumplen las dos a la vez: son los puntos que están en las dos rectas, es decir, su punto de corte.

Cómo resolverlo gráficamente

Despeja $y$ en cada ecuación (o busca dos puntos de cada recta con una tabla).
Representa las dos rectas en los mismos ejes.
Lee las coordenadas del punto de corte: esa es la solución $(x, y)$ .
Comprueba la solución sustituyendo en las dos ecuaciones.

La gráfica es muy visual, pero si el punto de corte no tiene coordenadas enteras solo da una aproximación: para el valor exacto hay que resolver el sistema algebraicamente.

Posición relativa de dos rectas

Dos rectas del plano pueden estar en tres posiciones. Si están escritas en la forma $y = mx + n$ , basta con comparar sus pendientes y sus ordenadas en el origen:

Posición	Pendientes y ordenadas	Puntos comunes	Soluciones del sistema
Secantes	pendientes distintas	uno: el punto de corte	una
Paralelas	misma pendiente y distinta $n$	ninguno	ninguna
Coincidentes	misma pendiente y misma $n$	todos (son la misma recta)	infinitas

Si una ecuación no tiene la $y$ despejada (por ejemplo, $2y = 6x - 4$ ), despéjala antes de comparar: $y = 3x - 2$ .

En problemas

Cuando dos situaciones se describen con rectas (dos tarifas, dos personas que se mueven, dos ahorros…), el punto de corte indica el valor de $x$ para el que las dos magnitudes son iguales; a un lado del corte es mayor una, y al otro lado, la otra.

Puntos clave

Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta.
La solución del sistema es el punto de corte de las dos rectas.
Representa con dos o tres puntos por recta, usando los mismos ejes.
Comprueba siempre la solución en las dos ecuaciones.
Si el corte no cae en un punto de la cuadrícula, la gráfica solo da una aproximación.
Pendientes distintas: secantes (una solución). Misma pendiente y distinta $n$ : paralelas (ninguna). Misma pendiente y misma $n$ : coincidentes (infinitas).
En un problema, el punto de corte es donde las dos magnitudes son iguales.

Errores frecuentes

ErrorDar como solución solo la $x$ del punto de corte.
Cómo corregirloLa solución de un sistema es una pareja: $x = 3$ , $y = 2$ .
ErrorDibujar las rectas con poca precisión y leer un punto equivocado.
Cómo corregirloUsa papel cuadriculado y regla, y comprueba el punto en las dos ecuaciones.
ErrorDecir que $y = 3x - 3$ y $2y = 6x - 6$ son paralelas porque «tienen números distintos».
Cómo corregirloDespeja $y$ en las dos: si quedan con la misma pendiente y la misma ordenada en el origen, son la misma recta (coincidentes).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Resolver un sistema gráficamente gráfico
Resuelve gráficamente el sistema $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Resolución
Despejamos $y$ : $y = -x + 5$ e $y = x - 1$ . Tablas:

$x$ $0$ $3$

$y = -x + 5$ $5$ $2$

$x$ $1$ $3$

$y = x - 1$ $0$ $2$

Las rectas se cortan en $(3, 2)$ . Solución: $x = 3$ , $y = 2$ .

Comprobación: $3 + 2 = 5$ ✔; $3 - 2 = 1$ ✔.
Ejemplo 2. Cuando el corte no es un punto de la cuadrícula gráfico y numérico
Observa la gráfica del sistema $\begin{cases} y = 2x \\ y = -x + 2 \end{cases}$ . ¿Puedes leer la solución exacta?

Resolución
En la gráfica el corte está cerca de $(0{,}7;\ 1{,}3)$ , pero no cae en la cuadrícula: solo es una aproximación.

Algebraicamente (igualación): $2x = -x + 2 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3}$ ; $y = 2 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$ .

Solución exacta: $x = \dfrac{2}{3}$ , $y = \dfrac{4}{3}$ ( $\approx 0{,}67$ y $1{,}33$ ).

$x$	$0$	$3$
$y = -x + 5$	$5$	$2$

$x$	$1$	$3$
$y = x - 1$	$0$	$2$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Resuelve gráficamente y comprueba: $\begin{cases} y = 2x - 5 \\ y = -x + 4 \end{cases}$

Ver solución
x = 3, y = 1
Tablas: $y = 2x - 5$ : $(1, -3)$ , $(3, 1)$ , $(4, 3)$ . $y = -x + 4$ : $(0, 4)$ , $(3, 1)$ , $(4, 0)$ . Se cortan en $(3, 1)$ . Comprobación: $2 \cdot 3 - 5 = 1$ ✔; $-3 + 4 = 1$ ✔.
2. Media
Resuelve gráficamente: $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 2y = 0 \end{cases}$

Ver solución
x = 2, y = 1
Despejamos: $y = -2x + 5$ e $y = \dfrac{x}{2}$ . $y = -2x + 5$ : $(0, 5)$ , $(1, 3)$ , $(2, 1)$ . $y = \dfrac{x}{2}$ : $(0, 0)$ , $(2, 1)$ , $(4, 2)$ . Corte: $(2, 1)$ . Comprobación: $4 + 1 = 5$ ✔; $2 - 2 = 0$ ✔.
3. Fácil
La gráfica muestra las rectas del sistema $\begin{cases} x - 2y = -2 \\ x + y = 4 \end{cases}$ . Lee la solución y comprueba que lo es.

Ver solución
x = 2, y = 2
Las rectas se cortan en $(2, 2)$ . Comprobación: $2 - 2 \cdot 2 = -2$ ✔; $2 + 2 = 4$ ✔.

Para practicar más

1. Fácil
Resuelve gráficamente: $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

Ver solución
x = 2, y = 3
Despejamos: $y = -\dfrac{x}{2} + 4$ (puntos $(0, 4)$ , $(2, 3)$ , $(4, 2)$ ) e $y = 2x - 1$ (puntos $(0, -1)$ , $(1, 1)$ , $(2, 3)$ ). Corte: $(2, 3)$ . Comprobación: $2 + 6 = 8$ ✔; $4 - 3 = 1$ ✔.
2. Media
Resuelve gráficamente: $\begin{cases} y = 3x + 1 \\ y = x - 3 \end{cases}$

Ver solución
x = −2, y = −5
$y = 3x + 1$ : $(0, 1)$ , $(-1, -2)$ , $(-2, -5)$ . $y = x - 3$ : $(0, -3)$ , $(-2, -5)$ . Corte: $(-2, -5)$ . Comprobación: $-6 + 1 = -5$ ✔; $-2 - 3 = -5$ ✔.
3. Media
Las rectas $r$ y $s$ de la gráfica corresponden al sistema $\begin{cases} 2x + y = -1 \\ x - y = -2 \end{cases}$ . a) ¿Cuál es la solución? b) Comprueba que lo es. c) ¿Qué ecuación corresponde a cada recta?

Ver solución
a) x = −1, y = 1. c) r: 2x + y = −1; s: x − y = −2.
a) Se cortan en $(-1, 1)$ . b) $2 \cdot (-1) + 1 = -1$ ✔; $-1 - 1 = -2$ ✔. c) $2x + y = -1 \Rightarrow y = -2x - 1$ (corta al eje Y en $-1$ y baja): es $r$ . $x - y = -2 \Rightarrow y = x + 2$ (corta en $2$ y sube): es $s$ .