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Explicación

Tres posiciones posibles

Dos rectas del plano pueden ser:

Posición	Ecuaciones $y = mx + n$ , $y = m'x + n'$	Puntos comunes	El sistema es…
Secantes	$m \neq m'$	uno: el punto de corte	compatible determinado (una solución)
Paralelas	$m = m'$ y $n \neq n'$	ninguno	incompatible (sin solución)
Coincidentes	$m = m'$ y $n = n'$	todos	compatible indeterminado (infinitas soluciones)

Para decidirlo, escribe las dos rectas en forma explícita y compara pendientes y ordenadas en el origen.

Truco con la forma general: si una ecuación es la otra multiplicada por un número, las rectas son coincidentes. Si solo los términos con $x$ e $y$ son proporcionales (y el término independiente no), son paralelas.

Punto de corte de dos rectas secantes

Se resuelve el sistema. Si las dos están despejadas, lo más cómodo es igualar: $mx + n = m'x + n'$ Se despeja $x$ y se sustituye en cualquiera de las dos para hallar $y$ .

Puntos clave

Secantes ( $m \neq m'$ ): un punto de corte; sistema compatible determinado.
Paralelas ( $m = m'$ , $n \neq n'$ ): sin puntos comunes; sistema incompatible.
Coincidentes ( $m = m'$ , $n = n'$ ): todos los puntos comunes; sistema compatible indeterminado.
Antes de comparar, escribe las rectas en forma explícita.
Punto de corte: igualando las dos expresiones de $y$ .

Errores frecuentes

ErrorDecir que $y = \dfrac{x}{2} + 1$ y $2y = x + 2$ son paralelas porque «tienen números distintos».
Cómo corregirloDespeja $y$ en la segunda: $y = \dfrac{x}{2} + 1$ . Es la misma recta: coincidentes.
ErrorPensar que si el sistema no tiene solución es que se ha hecho mal.
Cómo corregirloSi al resolver sale una igualdad imposible (como $0 = 5$ ), las rectas son paralelas: el sistema es incompatible.
ErrorCalcular solo la $x$ del punto de corte.
Cómo corregirloEl punto de corte tiene dos coordenadas: sustituye la $x$ para hallar la $y$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Rectas secantes: el punto de corte numérico
Estudia la posición relativa de $y = 3x - 5$ e $y = -x + 7$ y, si se cortan, halla el punto de corte.

Resolución
Pendientes $3$ y $-1$ , distintas → secantes.

Igualamos: $3x - 5 = -x + 7 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3$ . Sustituimos: $y = 3 \cdot 3 - 5 = 4$ .

Se cortan en $(3, 4)$ . Comprobación en la otra: $-3 + 7 = 4$ ✔.
Ejemplo 2. Paralelas y coincidentes en forma general numérico y gráfico
Estudia la posición relativa de las rectas de cada sistema y di cuántas soluciones tiene: a) $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}$ b) $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 \end{cases}$

Resolución
Despejamos $y$ en cada ecuación:

a) $y = 2x - 3$ e $y = 2x - 3$ (la segunda es la primera multiplicada por 2). Coincidentes: el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones (todos los puntos de la recta).

b) $y = 2x - 3$ e $y = 2x - \dfrac{1}{2}$ . Misma pendiente y distinta ordenada: paralelas. El sistema es incompatible, no tiene solución. Si intentas resolverlo por reducción (multiplica la primera por $-2$ y suma), llegas a $0 = -5$ , que es imposible.
Ejemplo 3. ¿Llegarán a tener lo mismo? situación real
Lucía tiene 40 € y ahorra 5 € cada semana. Su hermana Marta tiene 25 € y también ahorra 5 € cada semana. a) ¿Llegarán a tener la misma cantidad? b) ¿Y si Marta ahorrara 8 € cada semana?

Resolución
Con $x$ = semanas: Lucía $y = 5x + 40$ ; Marta $y = 5x + 25$ .

a) Misma pendiente (5 €/semana) y distinta ordenada: rectas paralelas. Nunca tendrán lo mismo: Lucía siempre tendrá 15 € más.

b) Marta: $y = 8x + 25$ . Pendientes distintas → secantes. $5x + 40 = 8x + 25 \Rightarrow 15 = 3x \Rightarrow x = 5$ . A las 5 semanas tendrán las dos $5 \cdot 5 + 40 = 65$ €.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Estudia la posición relativa de cada par de rectas. Si son secantes, halla el punto de corte. a) $y = 3x + 2$ e $y = 3x - 1$ b) $y = -x + 4$ e $y = x - 2$ c) $y = \dfrac{x}{2} + 1$ y $2y = x + 2$ d) $y = 2x$ e $y = -\dfrac{x}{2} + 5$

Ver solución
a) Paralelas. b) Secantes en (3, 1). c) Coincidentes. d) Secantes en (2, 4).
a) $m = m' = 3$ , $n \neq n'$ : paralelas. b) $-x + 4 = x - 2 \Rightarrow x = 3$ , $y = 1$ : secantes en $(3, 1)$ . c) $2y = x + 2 \Rightarrow y = \dfrac{x}{2} + 1$ : coincidentes. d) $2x = -\dfrac{x}{2} + 5 \Rightarrow \dfrac{5x}{2} = 5 \Rightarrow x = 2$ , $y = 4$ : secantes en $(2, 4)$ .
2. Media
Halla el punto de corte de: a) $y = 3x + 4$ e $y = -x - 4$ b) $y = \dfrac{x}{2} - 1$ e $y = -2x + 9$

Ver solución
a) (−2, −2). b) (4, 1).
a) $3x + 4 = -x - 4 \Rightarrow 4x = -8 \Rightarrow x = -2$ ; $y = -6 + 4 = -2$ . b) $\dfrac{x}{2} - 1 = -2x + 9 \Rightarrow \dfrac{5x}{2} = 10 \Rightarrow x = 4$ ; $y = 2 - 1 = 1$ . Se cortan en $(4, 1)$ .
3. Media
Sin resolverlos, di si cada sistema tiene una solución, ninguna o infinitas. Resuelve el que tenga una. a) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 6 \end{cases}$ b) $\begin{cases} 4x - y = 3 \\ 8x - 2y = 1 \end{cases}$ c) $\begin{cases} x - 3y = 1 \\ 2x + y = 9 \end{cases}$

Ver solución
a) Infinitas (coincidentes). b) Ninguna (paralelas). c) Una: x = 4, y = 1.
a) La segunda ecuación es la primera por 2: coincidentes → infinitas. b) $8x - 2y$ es el doble de $4x - y$ , pero $1$ no es el doble de $3$ : paralelas → ninguna. c) Pendientes $\dfrac{1}{3}$ y $-2$ : secantes → una. De la primera, $x = 1 + 3y$ ; en la segunda: $2 + 6y + y = 9 \Rightarrow y = 1$ , $x = 4$ .
4. Media
Escribe la ecuación de una recta que sea: a) paralela a $y = 5x - 2$ ; b) secante a ella; c) coincidente con ella pero escrita en forma general.

Ver solución
Por ejemplo: a) y = 5x. b) y = x. c) 5x − y − 2 = 0.
a) Misma pendiente, otra ordenada: por ejemplo $y = 5x$ o $y = 5x + 3$ . b) Cualquier pendiente distinta de $5$ : por ejemplo $y = x$ . c) Pasamos todo a un miembro: $5x - y - 2 = 0$ (o cualquier múltiplo, como $10x - 2y - 4 = 0$ ).
5. Difícil
Las rectas $y = x + 1$ , $y = -x + 7$ e $y = 1$ forman un triángulo. Dibújalo, halla sus vértices y calcula su área.
Ver solución
Vértices (3, 4), (0, 1) y (6, 1); área 9 unidades cuadradas.
Vértices (puntos de corte de cada par):
- $x + 1 = -x + 7 \Rightarrow x = 3$ , $y = 4$ : $(3, 4)$ .
- $x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$ : $(0, 1)$ .
- $-x + 7 = 1 \Rightarrow x = 6$ : $(6, 1)$ .
Base (sobre $y = 1$ ): de $x = 0$ a $x = 6$ , mide 6. Altura: de $y = 1$ a $y = 4$ , mide 3. Área $= \dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9$ unidades cuadradas.

Para practicar más

1. Fácil
Estudia la posición relativa de cada par de rectas y halla el punto de corte cuando exista: a) $y = -2x + 1$ e $y = -2x + 5$ b) $y = 4x - 3$ e $y = -x + 2$ c) $y = x - 2$ y $3x - 3y = 6$ d) $y = 5$ e $y = 2x + 1$

Ver solución
a) Paralelas. b) Secantes en (1, 1). c) Coincidentes. d) Secantes en (2, 5).
a) Misma pendiente, distinta ordenada: paralelas. b) $4x - 3 = -x + 2 \Rightarrow x = 1$ , $y = 1$ . c) $3x - 3y = 6 \Rightarrow y = x - 2$ : coincidentes. d) $5 = 2x + 1 \Rightarrow x = 2$ : secantes en $(2, 5)$ .
2. Media
Halla el punto de corte de: a) $y = 2x + 5$ e $y = -3x - 5$ b) $y = -\dfrac{x}{3} + 2$ e $y = x - 2$

Ver solución
a) (−2, 1). b) (3, 1).
a) $2x + 5 = -3x - 5 \Rightarrow 5x = -10 \Rightarrow x = -2$ ; $y = 1$ . b) $-\dfrac{x}{3} + 2 = x - 2 \Rightarrow 4 = \dfrac{4x}{3} \Rightarrow x = 3$ ; $y = 1$ .
3. Media
Di cuántas soluciones tiene cada sistema y resuelve el que tenga solución única: a) $\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases}$ b) $\begin{cases} x - y = 4 \\ -2x + 2y = 3 \end{cases}$ c) $\begin{cases} x + y = 1 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$

Ver solución
a) Infinitas. b) Ninguna. c) x = 2, y = −1.
a) La segunda es la primera por 2: coincidentes, infinitas soluciones. b) $-2x + 2y$ es $(x - y) \cdot (-2)$ , pero $3 \neq 4 \cdot (-2)$ : paralelas, ninguna solución. c) Sumando: $4x = 8 \Rightarrow x = 2$ , $y = -1$ .
4. Media
Observa las rectas $r$ , $s$ y $t$ de la gráfica. a) Escribe sus ecuaciones. b) Indica la posición relativa de cada pareja. c) Halla analíticamente los puntos de corte que existan.

Ver solución
a) r: y = x + 2; s: y = x − 1; t: y = −2x + 5. b) r y s paralelas; r y t, s y t secantes. c) r∩t = (1, 3); s∩t = (2, 1).
a) $r$ : $n = 2$ , $m = 1$ → $y = x + 2$ . $s$ : $n = -1$ , $m = 1$ → $y = x - 1$ . $t$ : $n = 5$ , $m = -2$ → $y = -2x + 5$ . b) $r$ y $s$ : misma pendiente → paralelas. $t$ tiene otra pendiente: corta a las dos. c) $x + 2 = -2x + 5 \Rightarrow x = 1$ , $y = 3$ . $x - 1 = -2x + 5 \Rightarrow x = 2$ , $y = 1$ .
5. Difícil
a) ¿Qué valor debe tener $a$ para que la recta $y = ax + 2$ sea paralela a $6x - 2y = 10$ ? b) Con ese valor, ¿cuántas soluciones tiene el sistema formado por las dos ecuaciones? c) ¿Y si en lugar de $+2$ fuera $-5$ ?

Ver solución
a) a = 3. b) Ninguna. c) Infinitas.
a) $6x - 2y = 10 \Rightarrow -2y = -6x + 10 \Rightarrow y = 3x - 5$ : pendiente 3. Para ser paralela, $a = 3$ . b) $y = 3x + 2$ e $y = 3x - 5$ : paralelas → sistema incompatible, ninguna solución. c) $y = 3x - 5$ es la misma recta: coincidentes → infinitas soluciones.

Posición relativa de dos rectas