Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

Matemáticas 3.º ESO · Ecuación de la recta: punto-pendiente y dos puntos

Formas de la ecuación de la recta y puntos alineados

Objetivo: Al terminar, sabrás pasar la ecuación de una recta entre las formas explícita, punto-pendiente y general, y comprobar si tres puntos están alineados.

Explicación

Tres formas de escribir la misma recta

Forma	Ecuación	Qué se ve a simple vista
Explícita	$y = mx + n$	la pendiente y la ordenada en el origen
Punto-pendiente	$y = y_0 + m(x - x_0)$	un punto $(x_0, y_0)$ y la pendiente
General (o implícita)	$Ax + By + C = 0$	todos los términos en un miembro, normalmente con coeficientes enteros

De general a explícita: se despeja $y$ . Por ejemplo, $4x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow -2y = -4x - 6 \Rightarrow y = 2x + 3$ . En general, si $B \neq 0$ , la pendiente es $m = -\dfrac{A}{B}$ .

De explícita (o punto-pendiente) a general: se quitan paréntesis y denominadores y se pasa todo a un miembro.

Puntos alineados

Tres puntos $A$ , $B$ y $C$ están alineados (en la misma recta) si la pendiente de $A$ a $B$ es igual que la de $B$ a $C$ : $m_{AB} = m_{BC}$

Otra forma: halla la recta que pasa por dos de ellos y comprueba si el tercero la cumple.

Puntos clave

Explícita $y = mx + n$ ; punto-pendiente $y = y_0 + m(x - x_0)$ ; general $Ax + By + C = 0$ .
De general a explícita: despejar $y$ . La pendiente es $-\dfrac{A}{B}$ .
De explícita a general: quitar denominadores y pasar todo a un miembro.
$A$ , $B$ , $C$ alineados si $m_{AB} = m_{BC}$ .

Errores frecuentes

ErrorEn $2x + 3y - 6 = 0$ , decir que la pendiente es 2.
Cómo corregirloSolo en la forma explícita la pendiente es el número que multiplica a $x$ . Despeja antes $y$ : $m = -\dfrac{2}{3}$ .
ErrorAl despejar, dividir entre el coeficiente de $y$ solo un término.
Cómo corregirloDivide todos los términos: $\dfrac{-2x + 6}{3} = -\dfrac{2}{3}x + 2$ .
ErrorDecir que tres puntos están alineados porque dos pendientes «se parecen».
Cómo corregirloLas pendientes tienen que ser iguales: $\dfrac{2}{3} \neq 1$ aunque estén cerca.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. De la forma general a la explícita numérico
Expresa la recta $2x + 3y - 6 = 0$ en forma explícita e indica su pendiente y su ordenada en el origen.

Resolución
Despejamos $y$ : $3y = -2x + 6 \;\Rightarrow\; y = \dfrac{-2x + 6}{3} \;\Rightarrow\; y = -\dfrac{2}{3}x + 2$ Pendiente $m = -\dfrac{2}{3}$ ; ordenada en el origen $n = 2$ .
Ejemplo 2. De punto-pendiente a explícita y general numérico
La recta $r$ pasa por $(2, 4)$ y tiene pendiente $\dfrac{1}{2}$ . Escribe su ecuación en las tres formas.

Resolución
- Punto-pendiente: $y = 4 + \dfrac{1}{2}(x - 2)$ .
- Explícita: $y = 4 + \dfrac{1}{2}x - 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}x + 3$ .
- General: multiplicamos por 2: $2y = x + 6 \Rightarrow x - 2y + 6 = 0$ .
Comprobación con $(2, 4)$ en la general: $2 - 8 + 6 = 0$ ✔.
Ejemplo 3. ¿Están alineados? numérico y gráfico
¿Están alineados los puntos $A(-1, -1)$ , $B(1, 3)$ y $C(3, 7)$ ? ¿Y $A$ , $B$ y $D(2, 6)$ ?

Resolución
$m_{AB} = \dfrac{3 - (-1)}{1 - (-1)} = \dfrac{4}{2} = 2 \qquad m_{BC} = \dfrac{7 - 3}{3 - 1} = \dfrac{4}{2} = 2$ Son iguales: $A$ , $B$ y $C$ están alineados (en la recta $y = 2x + 1$ ).

$m_{BD} = \dfrac{6 - 3}{2 - 1} = 3 \neq 2$ $A$ , $B$ y $D$ no están alineados.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe en forma explícita e indica $m$ y $n$ : a) $3x - y + 2 = 0$ b) $x + 2y - 6 = 0$ c) $6x - 3y - 12 = 0$

Ver solución
a) y = 3x + 2 (m = 3, n = 2). b) y = −x/2 + 3 (m = −1/2, n = 3). c) y = 2x − 4 (m = 2, n = −4).
a) $-y = -3x - 2 \Rightarrow y = 3x + 2$ . b) $2y = -x + 6 \Rightarrow y = -\dfrac{1}{2}x + 3$ . c) $-3y = -6x + 12 \Rightarrow y = 2x - 4$ .
2. Media
Escribe en forma general: a) $y = \dfrac{2}{3}x - 1$ b) $y = -x + 5$ c) $y = -2 + 3(x - 1)$

Ver solución
a) 2x − 3y − 3 = 0. b) x + y − 5 = 0. c) 3x − y − 5 = 0.
a) Multiplicamos por 3: $3y = 2x - 3 \Rightarrow 2x - 3y - 3 = 0$ . b) $x + y - 5 = 0$ . c) $y = 3x - 5 \Rightarrow 3x - y - 5 = 0$ .
3. Media
¿Están alineados los puntos $(0, 2)$ , $(2, 5)$ y $(6, 11)$ ?

Ver solución
Sí (pendiente 3/2).
$m_1 = \dfrac{5 - 2}{2 - 0} = \dfrac{3}{2}$ ; $m_2 = \dfrac{11 - 5}{6 - 2} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ . Iguales: sí están alineados.
4. Media
¿Están alineados los puntos $(-2, 1)$ , $(1, 3)$ y $(4, 6)$ ?

Ver solución
No (2/3 ≠ 1).
$m_1 = \dfrac{3 - 1}{1 - (-2)} = \dfrac{2}{3}$ ; $m_2 = \dfrac{6 - 3}{4 - 1} = 1$ . Distintas: no están alineados.

Para practicar más

1. Fácil
Escribe en forma explícita e indica la pendiente y la ordenada en el origen: a) $4x + 2y - 10 = 0$ b) $5x - 2y = 0$ c) $3y + 9 = 0$

Ver solución
a) y = −2x + 5. b) y = 5x/2. c) y = −3 (constante).
a) $2y = -4x + 10 \Rightarrow y = -2x + 5$ : $m = -2$ , $n = 5$ . b) $-2y = -5x \Rightarrow y = \dfrac{5}{2}x$ : $m = \dfrac{5}{2}$ , $n = 0$ . c) $3y = -9 \Rightarrow y = -3$ : $m = 0$ , $n = -3$ (función constante).
2. Media
Escribe la recta $y = 1 - \dfrac{3}{4}(x + 4)$ en forma explícita y en forma general.

Ver solución
y = −3x/4 − 2; 3x + 4y + 8 = 0.
Explícita: $y = 1 - \dfrac{3}{4}x - 3 = -\dfrac{3}{4}x - 2$ . General: multiplicamos por 4: $4y = -3x - 8 \Rightarrow 3x + 4y + 8 = 0$ .
3. Media
Comprueba que los puntos $(-3, 5)$ , $(0, 3)$ y $(6, -1)$ están alineados y escribe la ecuación general de la recta que los contiene.

Ver solución
Pendiente −2/3 en los dos tramos; 2x + 3y − 9 = 0.
$m_1 = \dfrac{3 - 5}{0 - (-3)} = -\dfrac{2}{3}$ ; $m_2 = \dfrac{-1 - 3}{6 - 0} = -\dfrac{4}{6} = -\dfrac{2}{3}$ ✔. Recta: $n = 3$ , $y = -\dfrac{2}{3}x + 3 \Rightarrow 3y = -2x + 9 \Rightarrow 2x + 3y - 9 = 0$ .
4. Difícil
Halla $k$ para que el punto $(5, k)$ esté alineado con $(1, 2)$ y $(3, 5)$ .

Ver solución
k = 8
La pendiente de $(1, 2)$ a $(3, 5)$ es $\dfrac{3}{2}$ . De $(3, 5)$ a $(5, k)$ debe ser igual: $\dfrac{k - 5}{5 - 3} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow k - 5 = 3 \Rightarrow k = 8$