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Matemáticas 3.º ESO · Modelización con funciones lineales

Modelizar situaciones con funciones afines

Objetivo: Al terminar, sabrás escribir la función afín que describe una situación con una parte fija y un ritmo constante (tarifas, conversiones de unidades, depósitos) y usarla para predecir valores e interpretar el resultado.

Explicación

De un enunciado a una función afín

Muchas situaciones en las que una magnitud cambia a ritmo constante se describen con una función afín $y = mx + n$ . Para construir el modelo:

Variables. Decide qué es $x$ (la variable independiente) y qué es $y$ , con sus unidades.
Parte fija ( $n$ ). ¿Cuánto vale $y$ cuando $x = 0$ ? Es la cuota fija, la cantidad inicial…
Ritmo ( $m$ ). ¿Cuánto cambia $y$ por cada unidad de $x$ ? Si disminuye, $m$ es negativa.
Escribe $y = mx + n$ .
Úsala:
- para predecir $y$ , sustituye $x$ ;
- para saber cuándo o cuánto $x$ , sustituye $y$ y despeja $x$ .
Interpreta el resultado con sus unidades y piensa si tiene sentido: muchas veces el modelo solo vale para algunos valores de $x$ (no negativos, hasta que se llena un depósito…).

Si no hay parte fija ( $n = 0$ ), la función es lineal: las dos magnitudes son directamente proporcionales.

Puntos clave

Ritmo constante → función afín $y = mx + n$ .
$n$ : valor para $x = 0$ (parte fija o inicial). $m$ : cambio por cada unidad de $x$ .
Predecir: sustituir $x$ . Averiguar $x$ : sustituir $y$ y despejar.
Sin parte fija, el modelo es lineal: $y = mx$ .
Comprueba que el resultado tiene sentido y para qué valores vale el modelo.

Errores frecuentes

ErrorSumar la parte fija tantas veces como unidades: $C = 25 \cdot (t + 30)$ .
Cómo corregirloLa parte fija se paga una vez: $C = 25t + 30$ .
ErrorMezclar unidades: tarifa por minuto y tiempo en horas.
Cómo corregirloPasa el tiempo a la unidad de la tarifa antes de sustituir: 1 h 15 min = 75 min.
ErrorDar un resultado que no tiene sentido (un depósito con más agua de la que cabe, un número de meses con decimales).
Cómo corregirloComprueba el resultado en el contexto y redondea según la pregunta (meses completos, a la baja si no se puede pasar de un presupuesto).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Grados Celsius y Fahrenheit situación real (conversión de unidades)
En Estados Unidos la temperatura se mide en grados Fahrenheit (°F). El agua se congela a 0 °C, que son 32 °F, y cada grado Celsius equivale a 1,8 °F. a) Escribe la función que pasa de °C a °F. b) Un día de verano en Madrid hay 25 °C. ¿Cuántos °F son? c) Un termómetro marca 98,6 °F. ¿Cuántos °C son? d) ¿Hay alguna temperatura que se exprese con el mismo número en las dos escalas?

Resolución
a) Parte fija: para $C = 0$ , $F = 32$ . Ritmo: $1{,}8$ °F por cada °C. $F = 1{,}8C + 32$ b) $F = 1{,}8 \cdot 25 + 32 = 45 + 32 = 77$ °F. c) $98{,}6 = 1{,}8C + 32 \Rightarrow 1{,}8C = 66{,}6 \Rightarrow C = 37$ °C (temperatura normal del cuerpo). d) Buscamos $C = F$ : $C = 1{,}8C + 32 \Rightarrow -0{,}8C = 32 \Rightarrow C = -40$ . −40 °C = −40 °F.
Ejemplo 2. El patinete eléctrico situación real y gráfico
Una empresa de patinetes eléctricos cobra 1 € por desbloquear el patinete y 0,25 € por minuto de uso (precios aproximados). a) Escribe la función que da el precio $C$ (€) según los minutos $t$ . b) ¿Cuánto cuesta un viaje de 12 min? c) Si tienes 6 €, ¿cuántos minutos puedes usarlo?

Resolución
a) Parte fija 1 €; ritmo 0,25 €/min: $C = 0{,}25t + 1$ . b) $C = 0{,}25 \cdot 12 + 1 = 3 + 1 = 4$ €. c) $6 = 0{,}25t + 1 \Rightarrow 0{,}25t = 5 \Rightarrow t = 20$ min.

En la gráfica, la recta empieza en $(0, 1)$ : aunque uses el patinete 0 minutos, pagas el desbloqueo. Solo tiene sentido para $t \geq 0$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un fontanero cobra 30 € por desplazarse a casa y 25 € por cada hora de trabajo. a) Escribe la función que da el precio según las horas $t$ . b) ¿Cuánto cobrará por 2 h 30 min? c) Si la factura fue de 155 €, ¿cuántas horas trabajó?

Ver solución
a) C = 25t + 30. b) 92,50 €. c) 5 h.
a) $C = 25t + 30$ . b) $2\ \text{h}\ 30\ \text{min} = 2{,}5$ h: $C = 25 \cdot 2{,}5 + 30 = 92{,}50$ €. c) $155 = 25t + 30 \Rightarrow 25t = 125 \Rightarrow t = 5$ h.
2. Fácil
Para un viaje a Londres, 1 € equivale aproximadamente a 0,85 libras (£). a) Escribe la función que da las libras $L$ que se obtienen por $e$ euros. ¿Es lineal o afín? b) ¿Cuántas libras dan por 240 €? c) Un recuerdo cuesta 17 £. ¿Cuántos euros son?

Ver solución
a) L = 0,85e, lineal. b) 204 £. c) 20 €.
a) $L = 0{,}85e$ . No hay parte fija: es lineal (proporcionalidad directa). b) $L = 0{,}85 \cdot 240 = 204$ £. c) $17 = 0{,}85e \Rightarrow e = \dfrac{17}{0{,}85} = 20$ €.
3. Media
Una tarjeta de móvil de prepago tiene 20 € de saldo y cada minuto de llamada cuesta 0,08 €. a) Escribe el saldo $S$ que queda según los minutos $t$ hablados. b) ¿Cuánto saldo queda tras hablar 1 h 15 min? c) ¿Cuántos minutos se puede hablar en total?

Ver solución
a) S = 20 − 0,08t. b) 14 €. c) 250 min.
a) Saldo inicial 20 €; baja 0,08 € por minuto: $S = 20 - 0{,}08t$ . b) $1\ \text{h}\ 15\ \text{min} = 75$ min: $S = 20 - 0{,}08 \cdot 75 = 20 - 6 = 14$ €. c) $S = 0$ : $0{,}08t = 20 \Rightarrow t = 250$ min (4 h 10 min).
4. Difícil
Un depósito de riego de 75 m³ de capacidad tiene 15 m³ de agua. Se abre un grifo que aporta 4 m³ por hora. a) Escribe la función que da el volumen $V$ según las horas $t$ . b) ¿Cuándo se llena? c) ¿Para qué valores de $t$ tiene sentido el modelo? ¿Tiene sentido calcular $V$ para $t = 20$ h?

Ver solución
a) V = 4t + 15. b) A las 15 h. c) Para 0 ≤ t ≤ 15; no, daría 95 m³ y solo caben 75.
a) $V = 4t + 15$ . b) $75 = 4t + 15 \Rightarrow 4t = 60 \Rightarrow t = 15$ h. c) Solo para $t$ en $[0, 15]$ : antes de abrir el grifo no tiene sentido y después de 15 h el depósito ya está lleno. Para $t = 20$ , el modelo da $4 \cdot 20 + 15 = 95$ m³, más de lo que cabe: fuera de su rango de validez.

Para practicar más

1. Fácil
Un gimnasio cobra 40 € de matrícula y 32 € al mes. a) Escribe el coste $C$ según los meses $x$ . b) ¿Cuánto se paga en un año? c) Con 300 €, ¿cuántos meses completos se pueden pagar (incluida la matrícula)?

Ver solución
a) C = 32x + 40. b) 424 €. c) 8 meses.
a) $C = 32x + 40$ . b) $C = 32 \cdot 12 + 40 = 424$ €. c) $300 = 32x + 40 \Rightarrow x = \dfrac{260}{32} = 8{,}125$ . Como han de ser meses completos y no se puede pasar de 300 €: 8 meses.
2. Fácil
Una vela de 24 cm se consume a razón de 1,5 cm por hora. a) Escribe su altura $h$ según las horas $t$ que lleva encendida. b) ¿Cuándo medirá 15 cm? c) ¿Cuánto tiempo dura? d) ¿Para qué valores de $t$ vale el modelo?

Ver solución
a) h = 24 − 1,5t. b) A las 6 h. c) 16 h. d) 0 ≤ t ≤ 16.
a) $h = 24 - 1{,}5t$ . b) $15 = 24 - 1{,}5t \Rightarrow 1{,}5t = 9 \Rightarrow t = 6$ h. c) $0 = 24 - 1{,}5t \Rightarrow t = 16$ h. d) $t$ en $[0, 16]$ .
3. Media
La factura del agua de una vivienda tiene una parte fija de 12 € al bimestre más 1,60 € por cada m³ consumido (datos aproximados). a) Escribe el importe $C$ según los m³ consumidos $x$ . b) ¿Cuánto se paga por 15 m³? c) Si una factura es de 44 €, ¿cuántos m³ se consumieron?

Ver solución
a) C = 1,6x + 12. b) 36 €. c) 20 m³.
a) $C = 1{,}6x + 12$ . b) $C = 1{,}6 \cdot 15 + 12 = 24 + 12 = 36$ €. c) $44 = 1{,}6x + 12 \Rightarrow 1{,}6x = 32 \Rightarrow x = 20$ m³.
4. Difícil
Un coche eléctrico llega a un cargador con la batería al 20 %. Supón que la carga sube de forma uniforme un 1,5 % cada minuto y que se desconecta al llegar al 80 %. a) Escribe el porcentaje de batería $B$ según los minutos $t$ . b) ¿Cuánto tarda en desconectarse? c) Representa la función en su rango de validez. d) ¿Qué porcentaje tiene a los 10 min?

Ver solución
a) B = 1,5t + 20. b) 40 min. c) Segmento de (0, 20) a (40, 80). d) 35 %.
a) $B = 1{,}5t + 20$ . b) $80 = 1{,}5t + 20 \Rightarrow 1{,}5t = 60 \Rightarrow t = 40$ min. c) Solo vale para $t$ en $[0, 40]$ : es el segmento que une $(0, 20)$ y $(40, 80)$ . d) $B = 1{,}5 \cdot 10 + 20 = 35$ %.