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Matemáticas 3.º ESO · Ecuación de la recta: punto-pendiente y dos puntos

Recuerda: la ecuación de una recta a partir de su gráfica

Objetivo: Al terminar, sabrás escribir la ecuación explícita de una recta leyendo en su gráfica la ordenada en el origen y la pendiente, y comprobar si un punto pertenece a una recta.

Recuerda

De la gráfica a la ecuación

Para escribir la ecuación $y = mx + n$ de una recta dibujada:

Ordenada en el origen $n$ : mira en qué punto corta la recta al eje Y. Si corta en $(0, 3)$ , $n = 3$ .
Pendiente $m$ : desde ese punto, avanza hacia la derecha hasta otro punto de la recta con coordenadas enteras (triángulo de pendiente): $m = \dfrac{\text{lo que sube (+) o baja (−)}}{\text{lo que avanza}}$
Escribe $y = mx + n$ y comprueba con otro punto de la gráfica.

¿Pertenece un punto a la recta?

Un punto $P(a, b)$ está en la recta si, al sustituir $x = a$ en la ecuación, sale $y = b$ .

Casos particulares

Si la recta es horizontal, $m = 0$ y la ecuación es $y = n$ (por ejemplo, $y = 3$ ).
Si pasa por el origen, $n = 0$ y la ecuación es $y = mx$ .

Si no se lee bien dónde corta al eje Y

A veces la recta corta al eje Y en un punto que no es de la cuadrícula. Entonces:

Busca dos puntos de la recta con coordenadas enteras y calcula la pendiente: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .
Escribe $y = mx + n$ , sustituye uno de los puntos y despeja $n$ .

Gráficas de situaciones reales

Lee primero qué magnitud hay en cada eje y en qué unidades. La ordenada en el origen $n$ es el valor inicial, y la pendiente $m$ , lo que cambia $y$ por cada unidad de $x$ , con sus unidades (€/h, km/min…).

Puntos clave

$n$ se lee donde la recta corta al eje Y.
$m$ se lee con un triángulo de pendiente: lo que sube o baja entre lo que avanza.
Comprueba la ecuación con un segundo punto de la gráfica.
$P(a, b)$ pertenece a la recta si al sustituir $x = a$ se obtiene $y = b$ .
Recta horizontal: $y = n$ . Recta que pasa por el origen: $y = mx$ .
Si el corte con el eje Y no se lee bien: $m$ con dos puntos y $n$ sustituyendo uno de ellos.

Errores frecuentes

ErrorLeer el corte con el eje X como si fuera $n$ .
Cómo corregirlo $n$ es el corte con el eje vertical (Y), donde $x = 0$ .
ErrorOlvidar el signo de la pendiente cuando la recta baja.
Cómo corregirloSi al avanzar hacia la derecha la recta baja, $m$ es negativa.
ErrorEn una gráfica de un problema, leer la pendiente contando cuadraditos sin mirar la escala.
Cómo corregirloUsa los valores de los ejes: $m = \dfrac{\text{variación de } y}{\text{variación de } x}$ , con sus unidades.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. De la gráfica a la ecuación gráfico
Escribe la ecuación de la recta $r$ de la gráfica. ¿Pertenecen a ella los puntos $P(4, -5)$ y $Q(-1, 4)$ ?

Resolución
1. Corta al eje Y en $(0, 3)$ : $n = 3$ .
2. De $(0, 3)$ a $(2, -1)$ : avanza 2 y baja 4. $m = \dfrac{-4}{2} = -2$ .
3. $y = -2x + 3$ .
- $P(4, -5)$ : $y = -2 \cdot 4 + 3 = -5$ ✔ → pertenece.
- $Q(-1, 4)$ : $y = -2 \cdot (-1) + 3 = 5 \neq 4$ → no pertenece.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe la ecuación de las rectas $A$ y $B$ de la gráfica.
Ver solución
A: y = x/2 − 2. B: y = −x + 1.
- $A$ : corta al eje Y en $(0, -2)$ ; de $(0, -2)$ a $(2, -1)$ avanza 2 y sube 1: $m = \dfrac{1}{2}$ . $y = \dfrac{1}{2}x - 2$ .
- $B$ : corta al eje Y en $(0, 1)$ ; avanza 1 y baja 1: $m = -1$ . $y = -x + 1$ .
2. Fácil
¿Cuáles de estos puntos pertenecen a la recta $y = 3x + 5$ ? $A(2, 11)$ , $B(-1, 2)$ , $C(4, 16)$ .
Ver solución
A y B.
- $A$ : $3 \cdot 2 + 5 = 11$ ✔.
- $B$ : $3 \cdot (-1) + 5 = 2$ ✔.
- $C$ : $3 \cdot 4 + 5 = 17 \neq 16$ ✘.
3. Media
a) Halla $k$ para que el punto $(k, 5)$ pertenezca a la recta $y = 4x - 7$ . b) Halla $h$ para que $(-2, h)$ también pertenezca.

Ver solución
a) k = 3. b) h = −15.
a) $5 = 4k - 7 \Rightarrow 4k = 12 \Rightarrow k = 3$ . b) $h = 4 \cdot (-2) - 7 = -15$ .

Para practicar más

1. Fácil
Escribe la ecuación de las rectas $C$ y $D$ de la gráfica.
Ver solución
C: y = −3x/2. D: y = 2x + 2.
- $C$ : pasa por el origen ( $n = 0$ ); de $(0, 0)$ a $(2, -3)$ avanza 2 y baja 3: $m = -\dfrac{3}{2}$ . $y = -\dfrac{3}{2}x$ .
- $D$ : corta al eje Y en $(0, 2)$ ; de $(-1, 0)$ a $(0, 2)$ avanza 1 y sube 2: $m = 2$ . $y = 2x + 2$ .
2. Fácil
Comprueba cuáles de los puntos $(3, 3)$ , $(-6, 6)$ y $(6, 0)$ están en la recta $y = -\dfrac{x}{3} + 4$ .
Ver solución
(3, 3) y (−6, 6) sí; (6, 0) no.
- $(3, 3)$ : $-1 + 4 = 3$ ✔.
- $(-6, 6)$ : $2 + 4 = 6$ ✔.
- $(6, 0)$ : $-2 + 4 = 2 \neq 0$ ✘.
3. Media
Una recta corta al eje Y en $(0, 6)$ y al eje X en $(3, 0)$ . a) Dibújala y escribe su ecuación. b) ¿Pasa por el punto $(5, -4)$ ?

Ver solución
a) y = −2x + 6. b) Sí.
a) $n = 6$ . De $(0, 6)$ a $(3, 0)$ avanza 3 y baja 6: $m = \dfrac{-6}{3} = -2$ . $y = -2x + 6$ . b) $-2 \cdot 5 + 6 = -4$ ✔: sí pasa.