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Matemáticas 3.º ESO · Ecuación de la recta: punto-pendiente y dos puntos

Ecuación de la recta: punto-pendiente y por dos puntos

Objetivo: Al terminar, sabrás obtener la ecuación de una recta conocidos un punto y la pendiente, o conocidos dos de sus puntos, y expresarla en la forma y = mx + n.

Explicación

Recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada

Si una recta pasa por el punto $P(x_0, y_0)$ y tiene pendiente $m$ , su ecuación es $y = y_0 + m(x - x_0)$

Es la ecuación punto-pendiente. ¿Por qué? Para cualquier otro punto $(x, y)$ de la recta, la pendiente entre él y $P$ tiene que ser $m$ : $\dfrac{y - y_0}{x - x_0} = m$ ; despejando $y$ sale la fórmula.

Después, quitando el paréntesis, se obtiene la forma explícita $y = mx + n$ .

Recta que pasa por dos puntos

Si conocemos dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ :

Calcula la pendiente: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .
Escribe la ecuación punto-pendiente con uno de los dos puntos.
Opera hasta la forma $y = mx + n$ .
Comprueba que el otro punto cumple la ecuación.

Puntos clave

Punto-pendiente: $y = y_0 + m(x - x_0)$ .
Recta por dos puntos: primero la pendiente, luego punto-pendiente con uno de ellos.
Se puede usar cualquiera de los dos puntos: la recta es la misma.
Comprueba siempre con el otro punto.
Rectas paralelas: misma pendiente.

Errores frecuentes

ErrorCon $P(-3, 2)$ escribir $y = 2 + m(x - 3)$ .
Cómo corregirloSe resta la coordenada: $x - (-3) = x + 3$ . Escribe primero el paréntesis con el signo y luego simplifica.
ErrorCambiar el orden de las coordenadas: usar $x_0$ donde va $y_0$ .
Cómo corregirloEn $y = y_0 + m(x - x_0)$ , la $y_0$ va sola y la $x_0$ va dentro del paréntesis, junto a la $x$ .
ErrorOlvidar multiplicar la pendiente por los dos términos del paréntesis.
Cómo corregirlo $-2(x + 1) = -2x - 2$ , no $-2x + 1$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un punto y la pendiente numérico
Halla la ecuación de la recta que pasa por $P(2, -1)$ y tiene pendiente $3$ . Exprésala en la forma $y = mx + n$ .

Resolución
Punto-pendiente con $x_0 = 2$ , $y_0 = -1$ , $m = 3$ : $y = -1 + 3(x - 2) = -1 + 3x - 6 \;\Rightarrow\; y = 3x - 7$

Comprobación: para $x = 2$ , $y = 6 - 7 = -1$ ✔.
Ejemplo 2. Dos puntos numérico
Halla la ecuación de la recta que pasa por $A(-2, 7)$ y $B(2, -5)$ .

Resolución
1. Pendiente: $m = \dfrac{-5 - 7}{2 - (-2)} = \dfrac{-12}{4} = -3$ .
2. Punto-pendiente con $A(-2, 7)$ : $y = 7 - 3(x + 2) = 7 - 3x - 6 \;\Rightarrow\; y = -3x + 1$
3. Comprobación con $B(2, -5)$ : $-3 \cdot 2 + 1 = -5$ ✔.
Con $B$ se llega a lo mismo: $y = -5 - 3(x - 2) = -3x + 1$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe la ecuación de la recta en la forma $y = mx + n$ : a) Pasa por $(1, 4)$ y tiene pendiente $2$ . b) Pasa por $(-3, 2)$ y tiene pendiente $-1$ . c) Pasa por $(4, 0)$ y tiene pendiente $\dfrac{1}{2}$ .

Ver solución
a) y = 2x + 2. b) y = −x − 1. c) y = x/2 − 2.
a) $y = 4 + 2(x - 1) = 2x + 2$ . b) $y = 2 - (x + 3) = -x - 1$ . c) $y = 0 + \dfrac{1}{2}(x - 4) = \dfrac{1}{2}x - 2$ .
2. Fácil
Halla la ecuación de la recta que pasa por $(1, 1)$ y $(3, 7)$ .

Ver solución
y = 3x − 2
$m = \dfrac{7 - 1}{3 - 1} = 3$ ; $y = 1 + 3(x - 1) = 3x - 2$ . Comprobación: $3 \cdot 3 - 2 = 7$ ✔.
3. Media
Halla la ecuación de la recta que pasa por $(-2, 3)$ y $(4, 0)$ .

Ver solución
y = −x/2 + 2
$m = \dfrac{0 - 3}{4 - (-2)} = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}$ ; $y = 0 - \dfrac{1}{2}(x - 4) = -\dfrac{1}{2}x + 2$ . Comprobación con $(-2, 3)$ : $1 + 2 = 3$ ✔.
4. Media
Halla la recta que pasa por $(2, 5)$ y es paralela a $y = 4x - 1$ (las rectas paralelas tienen la misma pendiente).

Ver solución
y = 4x − 3
$m = 4$ ; $y = 5 + 4(x - 2) = 4x - 3$ .

Para practicar más

1. Fácil
Escribe en la forma $y = mx + n$ la recta que: a) pasa por $(-1, -3)$ y tiene pendiente $4$ ; b) pasa por $(6, 1)$ y tiene pendiente $-\dfrac{1}{3}$ .

Ver solución
a) y = 4x + 1. b) y = −x/3 + 3.
a) $y = -3 + 4(x + 1) = 4x + 1$ . b) $y = 1 - \dfrac{1}{3}(x - 6) = 1 - \dfrac{1}{3}x + 2 = -\dfrac{1}{3}x + 3$ .
2. Fácil
Halla la ecuación de la recta que pasa por $(2, -1)$ y $(5, 5)$ .

Ver solución
y = 2x − 5
$m = \dfrac{5 - (-1)}{5 - 2} = 2$ ; $y = -1 + 2(x - 2) = 2x - 5$ . Comprobación: $10 - 5 = 5$ ✔.
3. Media
Una recta corta a los ejes en $(0, 4)$ y $(6, 0)$ . Halla su ecuación.

Ver solución
y = −2x/3 + 4
$m = \dfrac{0 - 4}{6 - 0} = -\dfrac{2}{3}$ ; como corta al eje Y en $(0, 4)$ , $n = 4$ : $y = -\dfrac{2}{3}x + 4$ .
4. Media
Halla la ecuación de la recta que pasa por $(-4, -2)$ y $(2, 1)$ . ¿Pasa por el origen? ¿Qué tipo de función es?

Ver solución
y = x/2; sí pasa por el origen: es lineal.
$m = \dfrac{1 - (-2)}{2 - (-4)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ ; $y = -2 + \dfrac{1}{2}(x + 4) = \dfrac{1}{2}x$ . Como $n = 0$ , pasa por el origen: es una función lineal (de proporcionalidad directa).